Штаны для мира

Пока наши разговоры о моллюске отсчета, сменившем старый аквариум, не более, чем слова. Пока есть только изложение замысла. Реализовать замысел - значит указать, каков моллюск, каковы конкретно закономерности изменений его формы, как она зависит от заполняющего его движущегося вещества.

Поставив перед собой эту цель, Эйнштейн шел к ней долго, с исключительным упорством. Надо было влить математическое содержание в идею кривизны четырехмерной пространственно-временной диаграммы. Дать формулы для ее вычисления и, как следствие, для предсказания движений тел в реальном мире.

Отправным пунктом работы послужила общая математическая характеристика кривизны - не что иное, как усложненная и обобщенная форма хорошо знакомой нам теоремы Пифагора.

Напомню, что эта теорема - метрическая, то есть содержит в себе рецепт определения расстояний. На плоскости она имела простейший школьный вид:

На искривленной поверхности изменилась: S² стало не равно а² + b². Не стоит выписывать измененной формы этой теоремы. Скажу лишь, что для определения квадрата расстояния на любой искривленной поверхности а2 и b2 надо на что-то умножить да еще в формуле появится член с произведением а на b. (Тут к тому же а и b будут бесконечно малыми величинами.) Аналогично изменится вид трехмерной теоремы Пифагора в изогнутом трехмерном пространстве.

А в мире Минковского? На четырехмерной диаграмме быстрых движений?

Эта диаграмма строилась на основе постулатов Эйнштейна. В результате на ней отобразилась связь пространства и времени: появились гиперболические калибровочные линии, отсекающие на разных осях разные масштабы длин и длительностей. Это определило выражение для квадрата интервала (то есть, опять напоминаю, расстояния между двумя событиями в четырехмерном пространственно-временном мире). В двенадцатой главе оно было записано так: S² = l²- с²t², Расшифровав по "прямой" пространственной теореме Пифагора l² как сумму х² + у² + z², получим:

Очень похоже на теорему Пифагора, только четвертое слагаемое отрицательно. Но от этого можно избавиться. Ради симметрии сделаем замену: вместо - с²t² будем писать t². Тогда сходство, во всяком случае по математической форме, будет полным.

Таково метрическое правило для измерения интервала на диаграмме частной теории относительности - без учета тяготеющих масс. Тут мир не имеет кривизны.

Ну, а в искривленном мире выражение интервала усложнится - подобно тому, как усложнилась теорема Пифагора на шаре или седле. Каждый член правой части формулы на что-то умножится, появятся члены с произведениями ху, хz и т. д. Что же получится?

Дабы подчеркнуть неравномерную кривизну мира, все отсчеты снабдим значком Δ (дельта) - это будет означать, что измерения ведутся в достаточно малой области мира, где кривизна его остается постоянной. И тогда (поверьте на слово) интервал между двумя близкими событиями в искривленном мире пространства - времени будет выглядеть так:

Множители g, снабженные парой индексов (от 1 до 4), - коэффициенты кривизны. Их всего десять. От них-то, в конечном итоге, и зависит искривление мира. А сами они зависят от масс и расстояний до окружающих тел.

Написанное выражение носит громкий и почетный титул -фундаментальный метрический тензор. Отметив музыкальную звучность термина, воздержимся от расшифровки его смысла (это чистая математика). По существу, здесь не что иное, как усложнение и обобщение "покроя" школьных "Пифагоровых штанов" на случай искривленного четырехмерного мира, диаграммы движения в эйнштейновском моллюске отсчета.

В далекой от звезд и планет пустоте при равномерном движении моллюск обращается в аквариум и никакой кривизны мира нет. Фундаментальный метрический тензор становится интервалом специальной теории относительности. В этом случае (при обратной замене τ² на - с²t²) g₁₁ = g₂₂ = g₃₃=l; g₄₄= - с², a g₁₂ = g₁₃ = g₁₄ = g₂₃= g₂₄ = g₃₄ = 0.

Там же, где нет вокруг полной пустоты, где сравнительно недалеки звезды и планеты, должны иметь место отклонения от этих "нормальных" значений метрических коэффициентов.