13. Под куполом озера

А Спокойная гладь озера кажется плоскостью. Но вы прекрасно знаете, что эта поверхность куполообразна: ведь если бы озеро занимало всю поверхность земного шара, то поверхность озера и была бы поверхностью шара. Перед вами два круглых озера: одно диаметром 1 км, второе - 10 км. Во сколько раз высота купола второго озера больше высоты купола первого?

Б Обычно с ходу отвечают: "Приблизительно в 10 раз". А теперь проделайте точные вычисления, и вы увидите, что не в 10, а в 100 раз!

В Из рис. 10 следует, что высоту купола можно определить следующим соотношением

где r - радиус земного шара (6380 км), α - угол, под которым виден, диаметр озера из центра Земли. Однако по этой формуле вычислять крайне неудобно: ведь угол вычислять крайне неудобно: ведь угол α очень мал, косинус оказывается очень близким к единице, и, чтобы получить h с точностью хотя бы до двух знаков, необходимо определить этот косинус с точностью до десятого знака. Поэтому лучше формулу несколько преобразовать.

Вводя новое обозначение х = ^α/₄ и используя известную формулу sin²x = ^{(1-cos 2x)}/₂, имеем h= r[1 - cos(^α/₂)] = r(1 - cos 2x) = 2r sin² x = 2r sin²(^α/₄). Эта формула удобнее первой: для определения h с точностью до двух знаков требуется знать синус также с точностью до двух знаков.

Найдем угол α. Поскольку длине экватора, равной 40 000 км, соответствует угол α = 360°, то диаметру озера d = 1 км соответствует угол α₁ = 0,009°, у 10-километрового же озера α₁₀ = 0,09°. Для таких малых углов синус угла с высокой степенью точности равен самому углу, выраженному в радианах: sin(^α/₄) ≈ ^α/₄. Следовательно, формулу для вычисления h можно упростить:

Написав эту формулу для обоих озер,

и разделив почленно одно равенство на другое, получаем

Отсюда немедленно следует, что высота купола второго озера больше, чем первого, не в 10, а в 100 раз: поскольку α₁₀ = 10α₁,

то h₁₀ = 100h₁

Интересно узнать, какова величина h количественно. Для первого озера

Высота купола

Для второго озера

Не такое уж плоское это озеро! Под его куполом может свободно прогуливаться каждый из вас.

Заметим, что поскольку земной шар несколько сплюснут у полюсов, то там сплюснута и водная поверхность. В результате из двух одинаковых озер несколько более высоким куполом обладает озеро, расположенное ближе к экватору. Однако эта разница очень мала.

Будьте осторожны: если вас спросят, а какова была бы высота купола того же 10-километрового озера, если бы оно находилось на Луне (г= 1740 км), то не следует делать из формулы h = ^rα2/₈ опрометчивого вывода, что там h в ⁶³⁸⁰/₁₇₄₀ = 3,7 раза меньше, чем на Земле: радиус уменьшился в 3,7 раза, но зато угол а возрос во только же раз, а поскольку α входит в формулу во второй степени, о для того же озера h на Луне была бы не меньше, а больше в 3,7 раза. Впрочем, это ощущается и без формулы: ведь кривизна поверхности меньшего шара больше, чем большего. Кстати сказать, эта большая кривизна доставит исследователям Луны немало хлопот. Для космонавта, стоящего на лунной равнине, расстояние до горизонта всего лишь 2,3 км - рукой подать. Расходясь на 4,6 км, космонавты будут полностью терять друг друга из виду, причем даже радиосвязь на ультракоротких волнах между ними будет обрываться (УКВ распространяются только в пределах прямой видимости). Короткие же волны, распространяющиеся на Земле далеко за горизонт благодаря многократным отражениям от Земли и ионосферы (верхний заряженный слой атмосферы), на Луне непригодны из-за отсутствия ионосферы. Придется держать связь через далекую родину - Землю или через другой ретранслятор.