68. Просим к роялю!

А Перед вами хорошо настроенное пианино. Вам разрешается трогать клавиши, но, естественно, запрещается перестраивать струны, передвигать по ним порожки и вообще забираться внутрь инструмента.

Можно ли заставить струну "до" первой октавы звучать, как "соль" второй?

Б Прежде всего условимся в обозначениях: все ноты первой октавы будем писать с приставкой 1 (до-1, ре-1, фа-диез-1 и т. д.), второй - с приставкой 2 (си-2) и т. д.

Если читатель не музыкант, то он убежденно заявляет, что поскольку высота тона струны определяется ее длиной, толщиной и натяжением, то, не перестраивая струну, нельзя заставить до-1 звучать иначе, чем до-1. Таковы законы физики, и тут ничего не поделаешь. Разве только вынести пианино на трескучий мороз, тогда струна при остыванииг укоротится, сильнее натянется и тон ее повысится.

Чтобы ваше мнение о возможностях струны изменилось в благоприятную сторону, решите две задачи полегче.

1. Частота, соответствующая до-1, равна 261,63 Гц. Чему равны частоты второй, третьей, четвертой гармоник этой струны? Можете ли вы назвать ноты, соответствующие этим гармоникам? Если не можете, то даем подсказку: увеличение частоты вдвое повышает любую ноту на октаву. Поскольку в октаве 12 полутонов, то повышение на полтона (при равномерно темперированной шкале) увеличивает частоту в раз, на тон - в , на полтора тона - в и т. д. Впрочем, чтобы уж совсем избавить вас от вычислений, приводим таблицу абсолютных частот всех нот первой и второй октав (в- графе ^f/_f1 - относительные "частоты, т. е. числа, показывающие, во сколько раз частота f выше частоты f₁ = 261,63 Гц).
   
   
   Частота ноты ля-1 написана без знаков за запятой, потому что условились считать ее в точности равной 440 Гц, а остальные ноты получать из нее путем вычислений.
2. Освободите до-1, т. е. осторожно, без звука, нажмите на соответствующую клавишу. При этом демпфирующий (заглушающий) молоточек поднимается. Ударьте по до-2 и через секунду-другую отпустите ее клавишу. Почему до-2 продолжает звучать? Отпустите до-1. Почему перестала звучать до-2?

B Рассмотрим сначала вспомогательные задачи.

1. Если бы струна колебалась так, как показано на рис. 87, а, то она излучала бы чистый тон, т. е. колебание единственной частоты. Чистый тон сух и не очень приятен. Поэтому для музыки большая удача, что струна одновременно совершает несколько видов колебаний. Она одновременно колеблется всей длиной (рис. 87, а, первая гармоника), двумя половинками (рис. 87, б, вторая гармоника), тремя третями (рис. 87, в, третья гармоника), четырьмя четвертями (рис. 87, г) и т. д. Частота колебаний обратно пропорциональна длине соответствующей волны. Если рис. 87, a, б, в и г изображают струну до-1, то эти гармоники имеют частоты f₁ = 261,6 Гц, 2f₁ = 523,2 Гц, 3f₁ = 784,9 Гц и 4f₁ = 1046,5 Гц соответственно. Это до-1, до-2, почти точно соль-2 (точное значение 784,0 Гц) и до-3. С увеличением номера гармоники ее интенсивность A, как правило, уменьшается (рис. 88, а).
   
   Рис. 87
   
   
2. Ударив по до-2, мы возбудили колебания на частоте f₂ = 2f₂ = 523,2 Гц и ее гармониках f₃ = 2f₂ = 4f₁ = 1046,5 Гц и др. Струна до-1 освобождена от демпфера и могла бы начать колебаться, если бы ее кто-нибудь возбудил. Этим возбудителем и будет звучащее до-2. Правда, вся струна до-1 настроена на октаву ниже, т. е. не находится в резонансе с до-2, но зато ее половинки (рис. 87, б) могут поддержать колебания на частоте до-2. Иными словами, струна до-2 возбудит в струне до-1 вторую гармонику, не возбуждая первой (!). Вторая гармоника до-2 возбудит в до-1 ее четвертую гармонику (2f₂ = 4f₁), и т. д. Струна до-1 будет излучать только четные свои гармоники. Отпустив клавишу до-2> мы заглушаем струну до-2 и прекращаем ее колебания. Но часть энергии ее первой гармоники передана второй гармонике струны до-1. Поэтому мы продолжаем слышать до-2: эта нота исходит от струны до-1. В том, что это именно так, легко убедиться! отпустим клавишу до-1, и нота до-2 прекратится!
   
   Рис. 88
   
   

Итак, можно заставить струну звучать не на той ноте, на кото: рой она официально обязана звучать. Теперь вы наверняка сумеете сами решить первоначальную задачу. Для этого следует перестать читать и подумать. Вот это решение.

Чтобы заставить до-1 звучать, как соль-2, нужно возбудить ее третью гармонику (не возбуждая первой и второй, иначе эти сильные гармоники заглушат слабую третью). Для этого нужно освободить до-1 и ударить соль-2 (которая-, как мы выяснили ранее, и является третьей гармоникой до-1). Отпустив соль-2, мы услышим ноту соль-2 теперь уже от струны до-1.

Весьма любопытно, что извлечь ноту соль-2 из струны до-1 можно и без участия струны соль-2. Вместо нее можно использовать струну соль-1. Как же при этом произойдет возбуждение струны до-1? Вторая гармоника струны соль-1 возбудит третью гармонику струны до-1:

На рис. 87, д показана первая гармоника струны соль-1, на рис. 87, е - вторая. Видно, что колебания на рис. 87, е находятся в резонансе с колебаниями на рис. 87, в, изображающем третью гармонику струны до-1. Первая же и вторая гармоники струны до-1 не будут возбуждены: в спектре струны соль-1 (рис. 88, б) нет совпадающих с ними гармоник. Однако шестая гармоника до-1 будет возбуждена с помощью четвертой гармоники соль-1, девятая - с помощью шестой, и т. д.

Если вы как следует прочувствовали эти диковинные вещи, то вы неминуемо задержитесь у пианино на десяток минут и найдете у него самые невероятные возможности. Так, освободив соль малой октавы (соль-М, f = ³⁹²/₂ = 196 Гц) и ударив по ми-1, вы услышите си-2! Это значит, что третья гармоника струны ми-1 возбудит пятую гармонику струны соль-М: 5f_соль-М = 5*196 = 980 ≈ 3f_ми-1 =3*329,6 = 988,8 ≈ f_си-2 = 987,8.

Из каждой струны можно извлечь только те ноты, которые являются гармониками основного тона. С помощью струны соль-1 можно извлечь из струны до-1 звуки соль-2, соль-3 (см. рис. 88, а и б), с помощью до-М можно извлечь до-1, до-2, до-3, с помощью до-1 - слабый ми-3 (как видно из рисунка, пятая гармоника до-1 почти точно совпадает с точкой, изображающей ми-3). Но нет никакого способа (кроме уже упомянутого мороза) заставить струну до-1 звучать, как ре-1, ре-диез-1, ми-1 и т. д., так как в пределах первой октавы струна до-1 содержит единственную гармонику. Днако в пределах второй октавы струна до-1 дает уже две гармоники, в пределах третьей- четыре, четвертой - восемь, пятой - шестнадцать, шестой - тридцать две! Поскольку в октаве всего двенадцать нот, то на каждую из них придется почти по три гармоники от до-1. Следовательно, струна до-1 принципиально могла бы дать любую ноту шестой октавы. Но для этого пришлось бы возбудить, например, сороковую гармонику струны до-1. Однако амплитуда ее так мала, что столь высокую гармонику обычно услышать не удается.

На рис. 88, а и б ось частот имеет равномерный масштаб. На рис. 88, в изображена клавиатура пианино так, чтобы каждая кла-_ виша заняла свое место на оси частот. Поскольку повышение тона на октаву требует удвоения частоты, то при равномерной шкале частот шкала нот (клавиатура) будет неравномерной. Наоборот, если в привычном масштабе изобразить клавиатуру (рис.89), то неравномерной окажется шкала частот (логарифмический масштаб). Из рис. 89 особенно хорошо видно, что на каждую новую, октаву приходится вдвое больше гармоник струны до-1, чем на предыдущую.

Рис. 89

Описанное в задаче явление можно обнаружить и на гитаре. Роль демпфирующих молоточков должны выполнять пальцы левой руки. Известный гитаристам прием извлечения так называемых флажолетт имеет прямое отношение к нашей задаче.