Когда длинный путь быстрее короткого?

Но неужели ломаный путь может быстрее привести к цели, чем прямой? Да, в тех случаях, когда скорость движения в различных частях пути различна. Вспомните, что приходится делать жителям деревни, расположенной между двумя железнодорожными станциями в соседстве одной из них. Чтобы попасть скорее на дальнюю станцию, они едут на лошади сначала в обратном направлении, к ближайшей станции, там садятся в поезд и едут на место назначения. Им короче было бы, разумеется, прямо ехать туда на лошади,- они предпочитают более длинный путь на лошади и в вагоне, потому что он приводит к цели скорее. Здесь длинный путь быстрее короткого.

Рис. 117. Задача о кавалеристе. Найти скорейший путь из А в С

Уделим минуту внимания ещё одному примеру, валерист должен прибыть с донесением из точки палатке командира в точке С (рис. 117). Его отделяют от палатки полоска глубокого песка Я и полоса луга, разграничейные между собою прямой линией EF. По песчаной почве лошадь движется в двое медленнее, чем по лугу. Какой же путь должен выбрать кавалерист, чтобы достигнуть палатки в кратчайшее время?

На первый взгляд кажется, что самый скорый путь - прямая линия, проведённая от А до С. Но это совершенно ошибочно, и я не думаю, чтобы нашёлся кавалерист, который выбрал бы такой путь. Медленное движение по песку наведёт его на правильную мысль сократить эту медленную часть пути, прорезав песчаную полосу по менее косой линии; конечно, тем самым удлинится вторая часть пути - по лугу; но так как по лугу можно двигаться вдвое быстрее, то удлинение пути не перевесит полученной выгоды, и в общем итоге путь будет проделан в меньший промежуток времени. Другими словами," путь кавалериста должен преломиться на границе обоих родов почвы и притом так, чтобы путь по лугу составлял с перпендикуляром к границе больший угол, чем путь по песчаной почве.

Рис. 118. Решение задачи о кавалеристе. Скорейший путь АМС

Кто знаком с геометрией, именно с теоремой Пифагора, тот может проверить, что прямой путь АС действительно не является путём скорейшим и что при тех размерах для ширины полос и расстояний, которые мы здесь имеем в виду, можно скорее достичь цели, если направиться, например, по ломаной АЕС (рис. 118).

На рис. 118 указано, что ширина песчаной полосы 2 км, луговой - 3 км, а расстояние ВС - 7 км. Тогда вся длина АС (рис. 118) равна, по теореме Пифагора, Часть AN - путь по песку - этого отрезка составляет, как легко сообразить, ²/₅ этой величины, т. е. 3, 44 км. Так как по песку движение происходит вдвое медленнее, чем по лугу, то 3,44 км песчаного пути равнозначащи, в смысле требуемого времени, 6,88 км по лугу. И, следовательно, весь смешанный путь по прямой АС, равный 8,60 км, соответствует 12,04 км пути по лугу.

Теперь сделаем такое же "приведение к лугу" и для ломаного пути АЕС. Часть АЕ = 2 км и соответствует 4 км пути по лугу. Часть Итого, весь ломаный путь АЕС отвечает 4 + 7,6 = 11,6 км.

Итак, "короткий" прямой путь соответствует 12,0 км движения по лугу, а "длинный" ломаный - всего только 11,6 км по той же почве. "Длинный" путь, как видите, даёт выгоду в 12,0 - 11,6 = 0,4, почти в полкилометра! Но мы не указали ещё самого быстрого пути. Быстрейший путь, как учит теория, будет тот, при котором (нам придётся здесь обратиться к услугам тригонометрии) синус угла b относится к синусу угла а, как скорость на лугу относится к скорости на песке, т. е. как 2:1.

Другими словами, нужно выбрать направление так, чтобы sin b был вдвое больше sin а. Для этого нужно перешагнуть границу между полосами в такой точке М, которая находится в одном километре от Е. Действительно, тогда

отношение

т. е. как раз отношению скоростей.

А какова будет в таком случае "приведённая к лугу" длина пути? Вычислим: что отвечает 4,47 км пути по лугу. Длина всего пути 4,47 + 6,49=10,96, т. е. на 1,08 км короче прямолинейного пути, который, как мы уже знаем, соответствует 12,04 км.

Вы видите, какие выгоды доставляет при данных условиях изламывание пути. Световой луч как раз и избирает такой скорейший путь, потому что закон преломления света строго удовлетворяет требованию математического решения задачи: синус угла преломления относится к синусу угла падения, как скорость света в новой среде к скорости его в покидаемой среде; с другой стороны, это отношение равно показателю преломления света в указанных средах.

Объединяя в одно правило особенности и отражения и преломления, мы можем сказать, что световой луч во всех случаях следует по быстрейшему пути, т. е. подчиняется правилу, которое физики называют "принципом скорейшего прихода".

Рис. 119. Что такое 'синус'? Отношение m к радиусу есть синус угла 1; отношение m к радиусу - синус угла 2

Если среда неоднородна и её преломляющая способность меняется постепенно, как, например, в нашей атмосфере,- то и в таком случае вполне осуществляется быстрейший приход. Этим объясняется то небольшое искривление лучей небесных светил в атмосфере, которое на языке астрономов называется "атмосферной рефракцией". В атмосфере, постепенно уплотняющейся книзу, луч света изгибается так, что вогнутость его обращена к Земле. Тогда луч остаётся дольше в высоких слоях, которые слабее замедляют его путь, и проводит меньше времени в "медленных" низких слоях; в итоге он приходит к цели быстрее, чем по пути строго прямолинейному.

Принцип быстрейшего прихода справедлив не для одних лишь световых явлений: ему в полной мере подчиняется также распространение звука и всех вообще волнообразных движений, какова бы ни была природа этих волн.

Читатель, без сомнения, желал бы узнать, чем объясняется это странное свойство волнообразных движений, свойство, которое, к слову сказать, в новейших физических теориях играет чрезвычайно важную роль. Приведу поэтому относящиеся сюда соображения, которые может высказать современный физик.

Исходя из знакомого уже нам примера марширующих солдат и имея в виду случай движения светового луча в среде постепенно изменяющейся плотности, он скажет:

"Пусть для того, чтобы сохранить строгую правильность фронта, солдаты соединены длинным шестом, который каждый из них крепко удерживает в руках. Команда гласит: всем бежать возможно быстрее! Если характер почвы медленно меняется от точки к точке, то сначала, скажем, правое, а позднее левое крыло фронта будет подвигаться быстрее - и поворот фронта осуществится сам собой. Мы заметим при этом, что пройденный путь - не прямолинейный, а искривлённый. То, что путь этот строго совпадает с кратчайшим в смысле времени прибытия в данный пункт при заданных свойствах почвы,- довольно понятно, так как ведь каждый солдат старался подвигаться как можно быстрее".