§ 2. Развитие квантовой физики

Основная особенность современной физической мысли, резко отличающая ее от физического мышления классической физики,- это идея квантования. Возникнув в работах Планка по черному излучению, она получила дальнейшее развитие в работах Эйнштейна по фотоэффекту и теплоемкости. В 1917 г. Эйнштейн сделал дальнейший шаг в развитии квантовых представлений, введя идею "игольчатого" излучения.

Эволюционизировал и вывод формулы излучения. Если в выводах Планка идея квантования казалась случайной и временной, то в выводе Нернста, изложенном Зоммерфельдом в 1911 г., она была уже совершенно необходимой. Только замена интегрирования суммированием при вычислении средней энергии осциллятора привела к правильной формуле излучения. Однако в этом выводе использовалась зависимость между плотностью энергии излучения и средней энергией осциллятора, выводимая из классических соображений, а также классический закон Вина.

В работе 1917 г. Эйнштейн отказался от этих предпосылок. Из классической физики он сохранил закон распределения Больцмана и закон Рэлея - Джинса, как предельный случай квантового закона. Основная идея его вывода - это идея равновесия между полем излучения и атомами, излучающими и поглощающими энергию. Равновесие наступает тогда, когда атомы столько же поглощают энергии, сколько и излучают. Излучение атомов происходит по квантовым постулатам Бора и состоит из двух частей: спонтанное излучение, обусловленное самопроизвольным переходом атома с высшего энергетического уровня на низший, и индуцированное излучение, происходящее под влиянием окружающего атом излучения. В наше время идея индуцированного излучения получила важное практическое применение в квантовых генераторах и усилителях.

Идею световых квантов Эйнштейна, обладающих энергией E = hν и импульсом использовал в 1922 г. Шредингер для квантового обоснования эффекта Допплера. Движущийся атом излучает дополнительную энергию hΔv, причем

где v₁ - скорость атома до излучения, v₂ - скорость после излучения.

Закон сохранения количества движения требует, чтобы

Откуда и - формула эффекта Допплера.

Через год после этого вывода американский физик Артур Комптон открыл эффект рассеяния рентгеновских лучей с изменением частоты. Комптон и Дебай в том же, 1923 г. теоретически истолковали этот эффект, который, как известно, состоит в том, что квант света ("фотон" - по терминологии Комптона) сталкивается с электроном по законам упругого удара. Применяя к этому столкновению законы сохранения энергии и импульса, получаем для изменения длины рассеянного света формулу:

В 1924 г. советские физики А. Ф. Иоффе и Н. И. Добронравов на опыте показали, что свет излучается по законам эйнштейновского "игольчатого" излучения. Квант излучения вылетает из сконструированной ими миниатюрной рентгеновской трубки по дискретным направлениям по законам случая. Таким образом, в 1924 г. квантовая природа излучения подтвердилась экспериментально.

В том же, 1924 г. индийский физик Ш. Бозе показал, что формула Планка может быть получена, если рассматривать излучение как газ, подчиняющийся новой статистике, отличающейся от статистики Больцмана тем, что частицы излучения неразличимы и потому не могут быть перенумерованы. Если в статистике Больцмана считают число различных распределений частиц по состояниям, то в статистике Бозе подсчитывают число различных распределений ячеек, содержащих разное число частиц.

Эйнштейн снабдил статью Бозе следующим примечанием: "Данный Бозе вывод формулы Планка представляет, по моему мнению, большое достижение. Как я предполагаю показать в другом месте, использованный здесь метод позволит также получить квантовую теорию идеального газа". И действительно, в том же, 1924 г. появилась работа Эйнштейна "Квантовая теория одноатомного газа". Так родилась новая статистика Бозе - Эйнштейна.

Квантовые идеи одерживали новые победы и в исследовании атомных процессов. После классических опытов Франка и Герца, убедительно доказавших наличие квантовых энергетических уровней в атоме, появились новые доказательства господства квантовых законов в атомном мире.

В своей нобелевской речи 11 декабря 1922 г. Н. Бор указал на коренное отличие динамической системы атома от классических динамических систем типа Солнечной системы. "Движения тел в планетной системе,- говорил он,- хотя и следуют общему закону тяготения, не определяются полностью этими законами, а существенно зависят от предыдущей истории системы. Так, продолжительность года определяется на только массами Солнца и Земли, но и отношениями, имевшими место в момент образования Солнечной системы, деталей которых мы не знаем. Если бы однажды через Солнечную систему, близко к Земле прошло бы чуждое небесное тело, то мы должны бы быть готовыми к тому, что продолжительность года с этого дня может существенно отличаться от современной. Совершенно иначе обстоит дело с атомами. Определенные неизменяемые свойства элементов как раз требуют того, чтобы состояние атома от внешних воздействий испытывало несохраняющиеся изменения. Если атом возвращается к прежнему состоянию, то атомные частицы должны располагаться и двигаться так, что их движение и расположение полностью определяются зарядами и массами частиц".

Отсюда Бор делает правильный вывод, что обычные механические законы не могут дать отчета об этой характерной устойчивости атома. Эта устойчивость диктует принятие квантовых постулатов об устойчивых сосстояниях. После того как Зоммерфельд в 1916 г. расширил первоначальную теорию Бора допущением эллиптических орбит и учетом релятивистского изменения массы, ему удалось истолковать тонкую структуру спектральных линий и происхождение характеристических рентгеновских спектров.

Вскоре после этого, в том же, 1916 г. П. С. Эпштейну и Шварцшильду удалось, исходя из тех же соображений, объяснить эффект расщепления спектральных линий в электрическом поле, открытый Штарком в 1913 г. В следующем, 1.917 г. Зоммерфельд и Дебай дали квантовое истолкование эффекту Зеемана, предположив, что допустимы только определенные ориентации атома по отношению к магнитному полю. Идея квантования магнитного момента атома блестяще экспериментально подтвердилась опытами Штерна и Герлаха (1921-1922 гг.).

Сам Бор в 1921 г., исходя из модели Зоммерфельда, впервые истолковал периодический закон Менделеева.

Наибольшим достижением этой первой теории системы было истолкование сходства редких земель, "что обусловлено тем, что мы имеем здесь дело с электронными группами, лежащими глубже в атоме" (Бор). Уже этот первый шаг в построении теории периодической системы позволил сделать вывод, что остававшийся в то время неизвестным элемент с атомным номером 72 не принадлежит к редким землям. Теория Бора приводила к выводу, что электронная группа с четырехвалентными орбитами полностью сформирована уже у лютеция (атомный номер 71). "Этот элемент должен быть поэтому последним в ряду веществ с аналогичными свойствами в первой половине шестого периода; на месте 72 следует ожидать элемента гомологического по своим физическим и химическим свойствам циркону и тору". Действительно, в 1923 г. Костер и Хевеши открыли в цирконовых минералах элемент номер 72 со свойствами, аналогичными цирконию. Этот элемент был назван в честь города Копенгагена гафнием (старинное название Копенгагена).

Но еще в 1922 г. Бор был так уверен в правильности своего истолкования периодической системы, что заявил в нобелевской речи: "Если бы существование редких земель не было давно установлено прямыми химическими исследованиями, то существование семейства элементов такого характера внутри 6-го периода естественной системы элементов можно было бы предсказать теоретически".

Но эти успехи носили до известной степени случайный эмпирический характер. Для полного представления периодической системы еще не был найден общий принцип. Значительно позже, вспоминая этот период квантовой теории, Бор писал:

"Я живо вспоминаю дискуссии с Паули, в которых он выражал свою неудовлетворенность слабостью аргументации, на которой основывалась попытка объяснить особую стабильность замкнутых электронных оболочек, имеющую столь фундаментальное значение для объяснения периодичности в свойствах элементов, расположенных в соответствии с зарядом их ядер. Обоснованность его замечаний самым поразительным образом была доказана неустанными работами Паули в последующие годы, завершившиеся открытием принципа запрета, выражающего фундаментальное свойство систем тождественных частиц, для которого, как и для самого кванта действия, классическая физика не имела своего аналога".

К этому времени выяснились серьезные трудности в объяснении аномального эффекта Зеемана, в объяснении мультиплетности спектральных линий. Об этом времени в своей нобелевской речи вспоминал В. Паули (1900-1958): "Проблема заполнения электронных оболочек тогда не продвинулась еще ни на шаг. Единственное, что было ясно, это то, что между этой проблемой и теорией мультиплетной структуры должна существовать теснейшая связь".

В 1926 г. Ланде, применив найденную им векторную модель орбитальных моментов электронов, нашел полуэмпирическое правило, позволяющее рассчитать расщепление в аномальном эффекте Зеемана. Для дуплетных спектров щелочных металлов он использовал полуцелые магнитные числа. В. Паули с 1922 г. начал заниматься проблемой аномального эффекта Зеемана. Хотя он и достиг некоторых существенных результатов, но не смог найти удовлетворительного решения проблемы. Наконец, осенью 1924 г. он выдвинул идею о необходимости ввести "предположение о новом, квантово-теоретическом свойстве электрона", названного им "двузначностью, не поддающейся квантовому описанию". Это привело Паули к выводу, что состояние электрона должно характеризоваться четырьмя квантовыми числами, включая это новое число, и к принципу, что "невырожденный уровень является уже "заполненным", если он занят одним-единственным электроном. Состояния, противоречащие этому принципу, запрещаются".

"Эта общая формулировка принципа,- говорит Паули,- была опубликована в Гамбурге весной 1925 г.". Смысл нового квантового числа был неясен. Но в том же, 1925 г. Юленбек и Гаудсмит выдвинули гипотезу о существовании собственного момента электрона (спина). Теперь стало яснее, почему квантовое состояние электрона должно описываться четырьмя квантовыми числами. Но В. Паули сначала сомневался в том, что новая характеристика должна быть связана со спином, т. к. ему казалось, что идея спина классическая. Но Бор показал, что спин следует рассматривать как квантовое свойство.

Принцип Паули явился ключом к теории периодической системы и позволил, используя векторную модель Ланде, дать формальное истолкование аномальному эффекту Зеемана и мультиплетам. На основе принципа Паули Ферми и Дирак разработали в 1925 г. статистику электронов в металлах.

Но, несмотря на эти очевидные успехи, теория Бора испытывала некоторые трудности. Она не могла справиться с проблемой многоэлектронных атомов, начиная с простейшего атома гелия; не могла ничего сказать об интенсивности спектральных линий и руководилась в этом отношении только принципом соответствия, сформулированным Бором в 1918 г.

Говоря об этом кризисе атомной теории, Гейзенберг писал в 1929 г.: "Так как физика тем временем также столкнулась в атомной теории с принципиальными трудностями, то она обратилась с новым интересом к нерешенным проблемам теории излучения, чтобы узнать что-либо путем сравнения трудностей в различных областях". "В теории излучения,- писал Гейзенберг,- находят странный дуализм между двумя наглядными картинами: волновой картиной и корпускулярной картиной. Дифракционные и интерференционные опыты не оставляют никакого сомнения в далеко идущей применяемости классической теории света. Тем не менее фотоэлектрический эффект указывает на совершенною несостоятельность этой теории. Если мы не хотим отказаться от закона сохранения энергии, то из фотоэффекта с необходимостью следует эйнштейновская корпускулярная теория света. Обе картины, несомненно, несовместимы, если их принимать некритически.

Таким образом, физики благодаря совершенно очевидным трудностям в наглядном истолковании экспериментов оказались вынужденными ревизовать свой классический мир понятий. Прослеживая физическую литературу того времени, ясно видишь постепенное разрыхление классических идей, возрастающее самоосвобождение от тех предрассудков старой физики, которые, очевидно, ответственны за противоречие. Рука об руку с этим разрушением идей идет все более ощутимое проникновение в мир идей квантовой физики". "Исключительные идейные трудности,- продолжает Гейзенберг,- с которыми боролась в ту пору теория, нашли наиболее яркое выражение в известной работе Бора, Крамерса и Слэтера по теории излучения. Это исследование представляет, по существу, высший пункт в процессе квантовой теории и способствовало, несмотря на то что оно не могло дать правильного выхода из затруднений, более чем какая-либо другая работа, уяснению ситуации в квантовой теории. Прежде всего Бор, Крамерc и Слэтер подчеркнули со всей резкостью невозможность отступления от результатов классической теории интерференционных и дифракционных явлений. Для объяснения фотоэлектрического эффекта они отказались от закона сохранения энергии; волны должны рассматриваться как волны вероятностей для адсорбции и эмиссии носителей энергии".

Другими словами, Бор, Крамерс и Слэтер (их работа появилась в 1924 г.) пошли на отказ от закона сохранения энергии в элементарных актах излучения и поглощения, с тем чтобы сохранить волновую картину. Но в 1925 г. В. Боте (1891-1957) и Гейгер непосредственными экспериментами доказали, что закон сохранения энергии выполняется в элементарных актах излучения и поглощения атомов. Ситуация оставалась напряженной. Эту напряженность не мог разрядить даже отказ от закона сохранения энергии. Хорошей иллюстрацией остроты сложившейся ситуации были выступления О. Д. Хвольсона и П. Эренфеста на IV съезде физиков в Ленинграде в октябре 1924 г. "Борются,- говорил в своем выступлении О. Д. Хвольсон,- две теории лучистой энергии: волновая А и квантовая В... оказывается, что теория А с поразительным излишеством и простотой, до мельчайших подробностей объясняет все явления левой части (в левой части доски Хвольсон выписал все факты волновой оптики) и совершенно бессильна объяснить явления правой части. С другой стороны, теория В столь же изящно и просто добавляет явления правой части (здесь Хвольсон выписал: испускание, поглощение, фотоэффект, эффект Комптона), между тем как явления левой части ей недоступны, она стоит перед ними беспомощная, бессильная и никаких объяснений дать не может...

...Я хочу подчеркнуть,- говорит Хвольсон,- и обратить ваше особенное внимание на то, что мы теперь зрители такой фазы эволюции физики, подобно которой не было в истории этой науки. Это нечто совершенно новое, небывалое! И я думаю, что не будет слишком смело, если я скажу, что такого случая не было ни в одной из индуктивных наук".

Хвольсон задает вопрос: "Нет ли более глубокой связи между тем небывалым в истории физики явлением, которое мы наблюдаем, и тем новым духом, которым пропитана новая физика? Теперь смелость и непонятность заменили прежние осторожность и ясность, причем, однако, успех и польза для науки приняли огромные размеры и расцвет науки идет небывалым темпом". "Ясно,- заключает Хвольсон,- что наука идет по верному пути, но ее дух странен".

П. Эренфест, коснувшись этого выступления Хвольсона, сказал: "К его замечанию можно добавить, что эта борьба происходит в сердце каждого физика. Ни волновая, ни квантовая теория света не в состоянии охватить всей области световых явлений. Возможно, что будущую теорию света удастся создать, развивая обе теории и пытаясь строить "мосты", связывающие одну с другой".

"Будущая" теория уже начала создаваться. В 1924 г. де Бройль распространил корпускулярно-волновой дуализм и на материю. "Но если,- писал спустя несколько лет после создания квантовой механики де Бройль,- в теории света в течение целого столетия слишком пренебрегали понятием "частицы" для того, чтобы пользоваться исключительно понятием "волны", не была ли допущена обратная ошибка в теории материи? Были ли вправе физики пренебрегать понятием "волны" и думать только о понятии "частицы?" Эти вопросы несколько лет тому назад задал себе автор, обдумывая аналогию между принципом наименьшего действия и принципом Ферма и ища смысл тангенциальных квантовых условий, введенных во внутриатомную динамику Планком, Бором, Вильсоном и Зоммерфельдом".

Де Бройль определил частоту v и длину λ, для волнового процесса, связанного с частицей, обладающей энергией Е и импульсом р, равными:

В 1926 г. появилось сообщение Э. Шредингера (1887-1907), который, развивая оптико-механическую аналогию Гамильтона и используя соотношения де Бройля, установил свое знаменитое волновое уравнение

Теперь квантовые условия стали естественным результатом интегрирования дифференциального уравнения при заданных краевых условиях ("проблема собственных значений"). Подобно тому как уравнение струны с закрепленными концами допускает только определенные виды установившихся колебаний, так и проблемы квантовой механики (осциллятор, ротатор, атом водорода) допускают только определенные типы решений уравнений Шредингера при определенных значениях параметров уравнения. Это приводит автоматически к квантованию энергии и момента количества движения.

Несколько ранее работы Шредингера к той же проблеме другим путем подошли Гейзенберг и Дирак.

Если де Бройль и Шредингер пытались перебросить мост от квантовой к классической физике, то Гейзенберг, наоборот, начал со сжигания таких мостов. Он пытался вначале изгнать из физики такие понятия, как координаты и скорости электрона, являющиеся "ненаблюдаемыми" величинами и потому, по его мнению, не подлежащие научному анализу. Взамен он ввел новые матричные величины "координаты" q и "импульсы" р, определяющие набор спектральных частот и энергетические уровни атома, которые могут быть наблюдены на опыте. Эти величины q и р удовлетворяют перестановочному соотношению Гейзенберга:

где ε - единичная диагональная матрица. Из этого соотношения получаются в качестве необходимого следствия квантовые условия Бора.

Борн и Иордан разработали математический аппарат новой механики в виде так называемого матричного исчисления. Вскоре Шредингер показал, что эта новая механика тождественна с его волновой механикой. Почти одновременно с Гейзенбергом Дирак придал формализм квантовой теории, обобщив понятие состояния и предложив его характеризовать некоторым "сверхкомплексным числом" q, которое можно интерпретировать как особый вектор в многомерном фазовом пространстве. Гейзенберг писал в своей и дираковской теории: "При последовательном дальнейшем развитии тенденции к усилению принципа соответствия Геттингенскому кружку и Дираку удалось найти замкнутую в себе механическую схему, которая была подходящей для количественной формулировки принципа соответствия.

Основная идея этой теории была та, что между действительно наблюдаемыми амплитудами и частотами атома должна существовать связь, аналогичная той, какая существует между соответствующими величинами классической модели. Математическим аппаратом теории была элементарная некоммутативная алгебра и ее представление через матрицы".

Далее Гейзенберг писал:

"Шредингер и Эккарт спустя короткое время после открытия "волновой механики" доказали ее математическую эквивалентность с возникшей из принципа соответствия "квантовой механикой"... "Волновая механика и квантовая механика были обобщены, так сказать, в высшем единстве в теории преобразований Дирака, Иордана и Лондона".

В результате разработанного математического аппарата были успешно решены основные задачи атомной механики. Но эти исключительные успехи достигались за счет совершенной неясности физических основ теории. Неясен был физический смысл функции. Попытка Шредингера трактовать квадрат модуля этой функции как реальную плотность материи оказалась несостоятельной. Борн предложил вероятностную интерпретацию волновой функции. Ареной действия новой теории было не обычное пространство и время, а многомерное математическое пространство. Гейзенберг писал о сложившейся ситуации:

"Несмотря на исключительные успехи в области квантово-теоретической математики, до конца 1926 г. едва ли выходили за интуитивно правильное применение формализма. В физических основах еще не было никакой ясноcти. Хотя формализм квантовой теории не допускал никаких казуальных пространственно-временных связей физических явлений и, напротив, развертывался в многомерных математических пространствах, для описания фактов применяли некритические понятия, заимствованные из нашего пространственно-временного мира и, естественно, при этом запутывались в противоречиях".

Гейзенберг предложил в качестве физического ключа теории "соотношение неопределенности", а Бор, в свою очередь, предложил в качестве философского ключа "принцип дополнительности". Все это не могло не привести и действительно привело к острым философским дискуссиям, в которых против концепции Бора выступали (правда, с разных позиций) Эйнштейн, К. Никольский, Д. Блохинцев, Я. Терлецкий, Д. Бом, де Бройль, М. Э. Омельяновский, Вижье и другие. Эта дискуссия не закончилась и в наши дни, и мы отсылаем читателя к соответствующей литературе^*.

^* (В. Гейзенберг, Философские проблемы атомной физики, ИЛ, М., 1952;

Н. Бор, Атомная физика и человеческое познание, ИЛ, М., 1961.)

Новая теория вскоре блестяще подтвердилась экспериментально. Эйнштейн в 1925 г., исходя из идеи де Бройля, пытался объяснить явление вырождения газа при низких температурах тем, что в области низких температур длина волны де Бройля становится сравнимой с диаметром молекул. Эльзасеер развил представления Эйнштейна и высказал идею о необходимости учитывать дифракционные явления при изучении столкновений свободных электронов с атомами. В 1924 г. Рамзауэр открыл эффект уменьшения столкновений электронов при уменьшении их скорости при прохождении пучка электронов через благородные газы. Эльзасеер обратил внимание на эти явления и указал, что его следует отнести к дифракции электронных волн де Бройля. Даймонд в 1926 г. подтвердил гипотезу Эльзассера, открыв существование дифракционных максимумов в пучке электронов, рассеянных атомами гелия. И, наконец, Дэвиссон и Джермер в 1927-1928 гг. окончательно доказали наличие волновых свойств у электронов, изучая рассеяние электронов от кристалла никеля. В 1928 г. Д. П. Томсон получил дифракционную картину при прохождении пучка электронов через тонкие листки металлов. Картина была совершенно аналогична картине Дебая-Шерера, получающейся при прохождении рентгеновских лучей через такие же листки.

Новая квантовая механика позволила рассмотреть не решенную теорией Бора проблему атома гелия и других многоэлектронных атомов. При этом теория дала новое качественное явление - существование обменных сил, возникающих при обмене электронами. Этот обмен приводит в свою очередь к следствию, что все собственные значения энергетических уровней в атоме можно разбить на два класса не комбинируемых друг с другом систем термов. Каждому классу термов соответствуют шредингеровские функции определенного класса симметрии. Симметричным волновым функциям соответствует статистика Бозе-Эйнштейна, антисимметричным - статистика Ферми-Дирака.

В решении проблемы многоэлектронных атомов большую роль сыграл приближенный метод Хартри, предложенный им в 1928 г., теоретически обоснованный в 1930 г. советским ученым В. А. Фоком и получивший в литературе название метода самосогласованного поля Хартри-Фока.

Квантовая механика Гейзенберга-Шредингера не была релятивистской. Дирак поставил в 1928 г. задачу выяснить, "какого рода изменениям может подвергнуться теория, если применить к ней требования теории относительности". Дираку удалось установить волновое уравнение для электрона, из которого вытекало существование спина. Это было большим успехом теории, так как до сих пор спин вводится в расчеты как эмпирическая величина. Теория Дирака давала формулу для структуры спектральных линий, которая совпадала с формулой Зоммерфельда, и подтверждалась на опыте до тех пор, пока новые радиоспектроскопические методы не обнаружили небольшого расхождения, повлекшего за собой новые теоретические обобщения.

Но волновое уравнение Дирака обладало важной особенностью. Оно допускало вдвое большее количество решений, чем следовало бы, причем половина всех решений относилась к состояниям с отрицательным значением кинетической энергии. Дирак предложил следующий выход из этой трудности. "Мы допускаем,- писал он,- что почти все состояния с отрицательной энергией заняты, причем в каждом состоянии находится только один электрон в согласии с правилом запрета Паули. Незаполненное состояние с отрицательной энергией представится нам как нечто с положительной энергией потому, что, для того чтобы оно исчезло, т. е. заполнилось, необходимо внести туда один электрон с отрицательной энергией. Мы предполагаем, что эти незанятые состояния с отрицательной энергией суть протоны". Этот вывод Дирака был встречен физиками с большим сомнением. Но открытие позитрона в 1932 г. оказалось блестящим подтверждением теории и вместе с тем исправило первоначальную ошибку Дирака. Ныне существование античастиц является неотъемлемой чертой современной физической картины мира, хорошо обоснованной экспериментально.