Бумеранг (Ф. Гесс)

(Сокращенный вариант статьи, опубликованной в ноябрьском номере журнала "Scientific American" за 1968 г.)

Представьте себе, что брошенный вами кусок дерева летит по круговой траектории, потом возвращается и спокойно ложится у ваших ног. Абсурд! Однако именно так ведет себя бумеранг, конечно, если вы его правильно изготовите и бросите как надо.

Впервые бумеранг был сделан туземными жителями Австралии. Читатель, вероятно, немного разочаруется, узнав, что большинство австралийских бумерангов не возвращается. Бумеранги можно грубо разделить на два типа: военные и возвращающиеся. Бумеранги первого типа используются как оружие, для войны или охоты. Хороший военный бумеранг летит очень далеко, но не возвращается. Возвращающиеся же бумеранги используются почти исключительно для игры.

На самом деле разобраться во всех существующих типах бумерангов не так просто, как может показаться. В Австралии существует множество видов туземного оружия. У разных племен форма бумеранга различна (рис. 26).

Рис. 26

По внешнему виду нелегко заключить, возвращается ли данный бумеранг. Как правило, возвращающийся бумеранг менее массивен, и угол между его плечами более острый. Обычно он бывает длиной от 25 до 75 сантиметров, шириной от трех до пяти сантиметров и толщиной от половины до полутора сантиметров. Угол между плечами бумеранга может меняться от 80 до 140 градусов. Масса достигает 300 граммов.

Характерная банановидная форма большинства бумерангов едва ли влияет на его способность возвращаться. Бумеранги в форме букв X, V, Т, Н, Y (видимо, возможны и другие формы) можно сделать так, что они будут возвращаться. Важно, чтобы плечи бумеранга были с одной стороны более выпуклыми, чем с другой (рис. 27). Оба плеча бумеранга должны лежать более или менее в одной плоскости. Лучше всего сделать бумеранг из куска дерева округленной формы, следуя структуре его волокон. Но можно использовать и другой материал, например, фанеру, пластмассу или картон.

Рис. 27

Как бросать возвращающийся бумеранг? Обычно его берут правой рукой за один из концов и держат вертикально, чуть повернув влево выпуклую сторону. При этом оба конца бумеранга направлены либо вперед (так бросают австралийцы), либо назад. Вы можете выбрать любой способ. Затем, размахнувшись правой рукой, бросают бумеранг вперед в горизонтальном направлении или чуть вверх. Для успеха необходимо, во-первых, чтобы плоскость бумеранга при броске была почти вертикальной или немного наклонена вправо, но только не горизонтально. Во-вторых, бумеранг нужно заставить быстро вращаться. Этого можно добиться, если в момент броска резко задержать движение правой руки вперед. По инерции бумеранг сразу же начнет вращаться вокруг точки, за которую его держал метатель, и, следовательно, приобретет одновременно поступательную и вращательную скорости.

Рис. 28

Сначала кажется, что бумеранг улетает, но вскоре его траектория отклоняется влево, а часто и вверх. Затем он делает широкую, более или менее округлую петлю и падает где-то у ног бросавшего, иногда, впрочем, описывая перед этим еще одну небольшую петлю. Вторая петля бывает искривлена в другую сторону, так что вся траектория в этом случае имеет форму восьмерки (рис. 28). Великолепное зрелище, когда бумеранг, описав петлю и теряя скорость, парит и потом медленно спускается.

Каждый бумеранг характеризуется легкостью метания, видом траектории и способностью к парению. Кроме того, любой бумеранг может описывать разные орбиты в зависимости от способа бросания. Точность возвращения во многом зависит от мастерства метателя. Дальность полета может быть 40 метров, а может быть и вдвое меньше, высота полета - около 15 метров, хотя может быть и 1,5 метра. Современные австралийские бумеранги пролетают расстояние более 100 метров, при этом они неплохо возвращаются. К сожалению, сам я не смог сделать бумеранг, летающий далее, чем на 50 метров.

До сих пор мы молчаливо предполагали, что метатель не левша и бумеранг у него тоже "правый". Если смотреть на обычный "правый" бумеранг во время полета с выпуклой стороны, он будет вращаться против часовой стрелки. Поэтому можно говорить о ведущем и ведомом краях каждого плеча бумеранга. У бумеранга туземцев оба края каждого из плеч более или менее острые. Но у современного бумеранга ведущий край плеча тупой, как ведущий край крыла самолета. Иногда плечи бумеранга немного изгибают, так что концы его ведущих краев слегка приподнимаются.

Объяснить явления, происходящие с бумерангом, можно только рассматривая его взаимодействие с воздухом. Ведь в вакууме он не может описать ничего, кроме параболы. Однако эта задача очень сложна, поэтому попробуем взглянуть на проблему проще.

Если бросить бумеранг горизонтально, заставив вращаться в вертикальной плоскости, то каждое его плечо будет рассекать воздух. Из-за не будет рассекать воздух. Из-за необычного профиля плеч возникает сила F, с которой воздух давит на плечи бумеранга в направлении от более плоской к более выпуклой части (рис. 29). Эта сила подобна подъемной силе, действующей на крыло самолета. Кроме того, со стороны воздуха на плечо бумеранга действует сила сопротивления Q. При броске правой рукой сила Q будут направлена справа налево. Но одной этой силы недостаточно для того, чтобы заставить бумеранг повернуть влево.

Рис. 29

Скорость плеча бумеранга относительно воздуха не постоянна. Когда плечо находится в верхней половине описываемой окружности, поступательная скорость бумеранга v складывается со скоростью вращения и, а когда в нижней, то скорости направлены противоположно, так что результирующая скорость уменьшается или даже совсем исчезает в некоторой точке (рис. 30). Таким образом, бумеранг испытывает действие не только силы, направленной справа налево, но и момента сил F₁ и F₂, поворачивающего его вокруг горизонтальной оси и стремящегося переместить верхнюю часть бумеранга влево. Но этого перемещения в действительности почти не происходит, так как бумеранг вращается настолько быстро, что ведет себя как гироскоп.

Рис. 30

Но гироскоп (который представляет собой быстро вращающийся маховик) обладает следующим свойством: под действием силы, пытающейся его повернуть, гироскоп поворачивается не в направлении действия этой силы, а вокруг оси, перпендикулярной как оси вращения, так и оси, вдоль которой направлен поворачивающий его момент. В нашем случае бумеранг начнет поворачиваться влево. Это движение называется прецессией.

Итак, бумеранг поворачивается влево, так что плоскость его постепенно составляла бы все больший угол с направлением движения, если бы не быстро увеличивающиеся гироскопические силы, которые вновь направляют полет параллельно плоскости бумеранга. В результате траектория искривляется влево, и угол между плоскостью бумеранга и направлением его движения поддерживается очень небольшим.

Часто плоскость бумеранга, почти вертикальная в начале полета, в конце концов становится почти горизонтальной, бумеранг как бы "ложится". Давайте разберем этот вопрос подробнее.

Каждое плечо бумеранга будем рассматривать как было самолета. Такое крыло движется вперед и в то же время вращается вокруг центра тяжести бумеранга, будем считать, что движение, перпендикулярное плоскости бумеранга, отсутствует. У крестообразного бумеранга центр тяжести лежит на пересечении лопастей, но обычного бумеранга это не так. Там одно плечо находится перед центром масс, а другое - позади. Мы назовем эксцентриситетом плеча расстояние от него до центра масс. Каждую точку крыла омывает воздушный ток, меняющийся непрерывно по величине и направлению относительно этой части крыла. Бывает так, что воздушный поток направлен навстречу несущему краю угла. Это легко понять, если представить медленно вращающийся бумеранг, несущийся с большой поступательной скоростью, и взглянуть на его плечо, направленное вниз. Что же за силы действуют в этом случае на лопасть бумеранга?

Рис. 31

Давайте сначала рассмотрим случай попроще: лопасть движется по прямой с постоянной скоростью V относительно воздуха (рис. 31). Разложим аэродинамическую силу на две составляющие - подъемную силу F (перпендикулярную V) и силу сопротивления Q (направленную против V). Обе они, как оказывается, пропорциональны V². Если крыло не перпендикулярно направлению скорости, то у V появляется составляющая, параллельная крылу, которая никак не влияет на движение. Поэтому можно заменить скорость V ее составляющей, перпендикулярной крылу, или эффективной скоростью . В этом случае силы пропорциональны

Рис. 32

Каждая точка плеча бумеранга принимает участие в поступательном движении. Скорость же относительно воздуха меняется от точки к точке, так как бумеранг вращается. При скорости вращения со и расстоянии от оси вращения r (ось проходит через центр масс бумеранга) скорость точки u = ωr. Для каждой точки плеча можно, сложив v и и, найти результирующую скорость V. Ее составляющая, перпендикулярная плечу бумеранга, есть (рис. 32). Конечно, величина для каждой точки плеча будет непрерывно меняться во время вращения. Очевидно, что вклад каждой точки плеча бумеранга в подъемную силу и силу сопротивления в каждый момент вращения пропорционален

Рис. 33

Итак, на каждое из плеч бумеранга действует средняя подъемная сила F (силы F₁ и F₂ на каждое плечо соответственно), средний момент этой силы M₁ относительно горизонтальной оси, параллельной скорости бумеранга, который заставляет бумеранг отклоняться влево, и момент М₂ - относительно оси, перпендикулярной скорости V, который заставляет бумеранг "ложиться" (рис. 33). Кроме этого, на бумеранг действует

средняя сила сопротивления Q, которая уменьшает поступательную скорость бумеранга, и средний момент этой силы M, замедляющий скорость вращения со. Оказывается, ни одна из этих величин, кроме М₂, не зависит от эксцентриситета, а М₂ строго пропорциональна величине эксцентриситета.

Силы и моменты, действующие на бумеранг в целом, получаются сложением величин для каждого плеча. Вклады в М₂ от разных плеч бумеранга могут частично или полностью уничтожить друг друга.

Теперь мы переходим к важному вопросу: как будет двигаться бумеранг под влиянием всех этих сил и моментов (и силы тяжести, конечно)?

Рис. 34

Как уже упоминалось раньше, средний момент M₁ вызывает гироскопическую прецессию бумеранга. Давайте посмотрим на гироскоп повнимательнее. Если гироскоп вращается вокруг своей оси со скоростью ω и на него действует момент M, направленный вдоль оси, перпендикулярной оси вращения, то гироскоп начинает прецессировать, причем ось прецессии перпендикулярна как оси вращения, так и оси момента М (рис. 34). Угловая скорость прецессии обозначается Ω. Между ω, Ω, М и моментом инерции гироскопа I существует очень простая связь, а именно

Для бумеранга момент М пропорционален ωV, так что скорость прецессии Q должна быть пропорциональна

Следовательно, скорость прецессии не зависит от скорости вращения бумеранга ω.

Можно вывести еще более странное заключение. Скорость прецессии пропорциональна V/I коэффициент пропорциональности зависит от формы бумеранга. Следовательно, можно написать

где С - характерный параметр бумеранга.

Теперь пусть скорость бумеранга вдвое больше. Следовательно, положение его плоскости будет тоже изменяться в два раза быстрее. Это показывает, кроме всего прочего, что бумеранг полетит по той же кривой.

Таким образом, диаметр орбиты бумеранга, грубо говоря, не зависит ни от скорости вращения бумеранга, ни от его поступательной скорости. Это означает, что длина пути бумеранга - величина более или менее постоянная. Параметры орбиты бумеранга пропорциональны его моменту инерции; они становятся меньше, если профиль плеча бумеранга вызывает большую подъемную силу. Поэтому, если вы хотите, чтобы бумеранг описал малую орбиту (например, в комнате), он должен быть сделан из легкого материала. Для очень больших орбит нужен тяжелый бумеранг с профилем, дающим малую подъемную силу (и, конечно, с наименьшим возможным сопротивлением).

В принципе у нас есть все необходимое, чтобы составить уравнение движения идеального бумеранга. Эти уравнения могут быть решены численно на вычислительной машине, и мы получим координаты, скорость и ориентацию бумеранга в каждый момент.

Рис. 35

Как теперь сравнить вычисленные пути с действительной траекторией бумеранга? Для объективности необходимо в течение всего полета регистрировать местоположение бумеранга. Это можно сделать при помощи двух фотоаппаратов. Для фиксирования начальных данных необходима специальная метательная машина. Понятно, что у меня не было возможности делать такие эксперименты, но я ухитрился зафиксировать фотоаппаратом одну проекцию траектории полета бумеранга. На конце плеча моего экспериментального бумеранга была прикреплена крошечная электрическая лампочка, питающаяся от двух маленьких полутора-вольтовых батареек, помещенных в отверстие, сделанное в центральной части бумеранга (см. снимок на рис. 35). Таким образом, бумеранг в течение полета нес с собой источник света, достаточно сильный, чтобы его можно было ночью сфотографировать. Одна из полученных таким образом траекторий показана на рис. 36. Для сравнения на рис. 37 приведена теоретически вычисленная орбита.

Рис. 36

Так как фотоаппарат был расположен недалеко, та часть траектории, где бумеранг пролетал совсем близко от объектива, кажется на фотографии увеличенной. При расчете соответствующей теоретической орбиты был принят во внимание эффект перспективы. Читатель может для себя решить, находит ли он удовлетворительным соответствие между теорией и экспериментом. Во всяком случае, основной внешний вид и особенности траектории бумеранга воспроизводятся этой теорией достаточно хорошо.

Рис. 37