Сказочная дорога

В свое время в С.-Петербурге появилась брошюра со странным заглавием. "Самокатная подземная железная дорога между С.-Петербургом и Москвой. Фантастический роман пока в трех главах, да и то неоконченных". Автор этой брошюры, А. А. Родных, предлагал остроумный проект, с которым интересно познакомиться любителю физических парадоксов.

Рис.45. Если бы можно было прорыть туннель между Ленинградом и Москвой, то поезда мчались бы в нем туда и обратно сами собой

Проект состоит "в проведении 600-километрового туннеля, который должен соединить обе наши столицы по совершенно прямой подземной линии. Таким образом, впервые явилась бы возможность для человечества совершать путь по прямой, а не ходить кривыми путями, как это было до сих пор". (Автор хочет сказать, что все наши дороги, подчиняясь кривизне земной поверхности, следуют по дугам, между тем как проектируемый туннель пройдет по прямой линии - по хорде.)

Такой туннель, если бы его можно было прорыть, имел бы удивительное свойство, каким не обладает ни одна дорога в мире. Оно заключается в том, что любой экипаж в подобном туннеле должен двигаться сам собой. Вспомним наш подземный колодец, пробуравливающий земной шар. Ленинградо-московский туннель - тот же колодец, только просверленный не по диаметру, а по хорде. Правда, при взгляде на рис. 45 может казаться, что туннель прорыт горизонтально и что поезду, следовательно, нет причины катиться по нему за счет силы тяжести. Но это лишь обман зрения: проведите мысленно радиусы к концам туннеля (направление радиуса есть направление отвеса); вы поймете тогда, что туннель прорыт не под прямым углом к отвесу, т. е. не горизонтально, а наклонно.

В таком косом колодце всякое тело должно качаться, увлекаемое силой тяжести, вперед и назад, все время прижимаясь к дну. Если в туннеле устроить рельсы, то железнодорожный вагон будет сам катиться по ним: сила тяжести заменит тягу паровоза. Вначале поезд будет двигаться очень медленно. С каждой секундой скорость самокатного поезда будет возрастать; вскоре она дойдет до невообразимой величины, так что воздух в туннеле будет уже заметно мешать его движению.

Но забудем на время об этом досадном препятствии, мешающем осуществлению многих заманчивых проектов, и проследим за поездом дальше. Домчавшись до середины туннеля, поезд будет обладать такой огромной скоростью,- во много раз большей скорости пушечного снаряда! - что с разбега докатится почти до противоположного конца туннеля. Если бы не трение, не было бы и этого "почти": поезд без паровоза сам доехал бы из Ленинграда в Москву. Продолжительность перелета в один конец, как показывает расчет,- та же, что и для падения сквозь колодец, прорытый по диаметру: 42 мин 12 с. Странным образом она не зависит от длины туннеля; путешествия в туннеле Москва - Ленинград, Москва - Владивосток или Москва - Мельбурн продолжались бы одинаковое время^*.

^* (Можно доказать еще и другое, не менее любопытное положение, относящееся к бездонному колодцу: продолжительность качания зависит не от размера планеты, а только от ее плотности ³)

³ (Полный период качания тела

Здесь R - радиус земного шара, g - ускорение свободного падения на земной поверхности, равное

G = 6,67⋅10^-11Н⋅м²/кг² - гравитационная постоянная, р = = 5,5 г/см³ - плотность Земли, которая считается постоянной. Таким образом,

)

То же повторялось бы с любым другим экипажем: дрезиной, каретой, автомобилем и т. д. Поистине сказочная дорога, которая, сама оставаясь неподвижной, мчит по себе все экипажи от одного конца до другого, и притом с невообразимой скоростью^**!

^** (Интересующиеся математической стороной этой задачи могут найти подробный разбор ее в моей статье, напечатанной в журнале: Математика и физика в школе, 1936, № 3, с. 106 ⁴.)

⁴ (Современному читателю, знакомому с уравнениями движения гармонического маятника, т. е. такого маятника, для которого возвращающая сила F пропорциональна смещению от положения равновесия х(F=-кх), нет надобности разыскивать этот старый журнал. Ведь нетрудно проверить, что и падение тела в шахте-колодце (рис. 44), и движение поезда в туннеле (рис. 45) описываются теми же уравнениями, что и обычный гармонический маятник, если, конечно, пренебречь сопротивлением воздуха. Предоставим читателю самостоятельно убедиться в этом.)