Фантазия и математика

Так повествует романист; но не то окажется, если мы проверим факты, о которых говорится в этом отрывке. Нам не придется спускаться для этого в недра Земли; для маленькой экскурсии в область физики вполне достаточно запастись карандашом и бумагой.

Прежде всего постараемся определить, на какую глубину нужно опуститься, чтобы давление атмосферы возросло на 1000-ю долю. Нормальное давление атмосферы равно давлению 760-миллиметрового столба ртути. Если бы мы были погружены не в воздух, а в ртуть, нам надо было бы опуститься всего на 760/1000=0,76 мм, чтобы давление увеличилось на 1000-ю долю. В воздухе же, конечно, мы должны опуститься для этого гораздо глубже, и именно во столько раз, во сколько раз воздух легче ртути - в 10 500 раз. Значит, чтобы давление увеличилось на 1000-ю долю нормального, нам придется опуститься не на 0,76 мм, как в ртути, а на 0,76-10 500 мм, т. е. почти на 8 м. Когда же мы опустимся еще на 8 м, то увеличенное давление возрастет еще на 1000-ю долю, и т. д.*. На каком бы уровне мы ни находились - у самого "потолка мира" (22 км), на вершине горы Эверест (9 км) или близ поверхности океана,- нам нужно опуститься на 8 м, чтобы давление атмосферы возросло на 1000-ю долю первоначальной величины. Получается, следовательно, такая таблица возрастания давления воздуха с глубиной:

^* (Следующий 8-метровый слой воздуха плотнее предыдущего, а потому прибавка давления будет по абсолютной величине больше, чем в предшествовавшем слое. Но она и должна быть больше, потому что здесь берется 1000-я доля от более крупной величины.)

И вообще на глубине n⋅8 м давление атмосферы больше нормального в (1,001)ⁿ раз; и пока давление не очень велико, во столько же раз увеличится и плотность воздуха (закон Бойля-Мариотта) ¹⁵.

¹⁵ (Считается, что температура воздуха постоянна.)

Заметим, что в данном случае речь идет, как видно из романа, об углублении в Землю всего на 48 км, а потому ослабление силы тяжести и связанное с ним уменьшение веса воздуха можно не принимать в расчет.

Теперь можно рассчитать, как велико было то давление, которое подземные путешественники Жюля Верна испытывали на глубине 48 км (48 000 м). В нашей формуле п равняется 48 000/8=6000. Приходится вычислять (1,001)⁶⁰⁰⁰. Так как умножать 1,001 само на себя 6000 раз - занятие довольно скучное и отняло бы много времени, то мы обратимся к помощи логарифмов, о которых справедливо сказал Лаплас, что они, сокращая труд, удваивают жизнь вычислителей**. Логарифмируя, находим логарифм неизвестного х:

^** (Кто вынес из школы неприязненное чувство к логарифмическим таблицам, тот, быть может, изменит свое недружелюбное к ним отношение, познакомившись с характеристикой, данной им великим французским астрономом. Вот это место в "Изложении системы мира": "Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, как бы удваивает жизнь астрономов и освобождает их от погрешностей и утомления, неразлучные с длинными вычислениями. Это изобретение тем лестнее для ума человеческого, что всецело почерпнуто из этого источника. В технике человек для увеличения своего могущества пользуется материалами и силами окружающей природы; в логарифмах же все является результатом его собственного ума".)

lg х = 6000 ⋅ lg 1,001 = 6000 ⋅ 0,00 043 = 2,6.

По логарифму 2,6 находим искомое число х; оно равно 400.

Итак, на глубине 48 км давление атмосферы в 400 раз больше нормального; плотность воздуха при таком давлении возрастает, как показали опыты, в 315 раз. Сомнительно поэтому, чтобы наши подземные путники нисколько не страдали, испытывая только "боль в ушах"... В романе Жюля Верна говорится, однако, о достижении людьми еще больших подземных глубин, именно 120 и даже 325 км. Давление воздуха должно было достигать там чудовищных степеней; человек же способен переносить безвредно для себя воздушное давление не свыше 3 атм.

Если бы по той же формуле мы стали вычислять, на какой глубине воздух становится так же плотен, как и вода, т. е. уплотняется в 770 раз, то получили бы цифру: 53 км. Но этот результат неверен, так как при высоких давлениях плотность газа уже не пропорциональна давлению. Закон Бойля - Мариотта вполне верен лишь для не слишком значительных давлений, не превышающих сотни атмосфер. Вот данные о плотности воздуха, полученные на опыте ¹⁶:

¹⁶ (Данные плотности воздуха приведены в относительных единицах (по отношению к плотности воздуха при нормальных условиях).)

Увеличение плотности, как видим, заметно отстает от возрастания давления. Напрасно жюль-верновский ученый ожидал, что он достигнет глубины, где воздух плотнее воды,- этого ему не пришлось бы дождаться, так как воздух достигает плотности воды лишь под давлением 3000 атм, а дальше уже почти не сжимается. О том же, чтобы превратить воздух в твердое состояние одним давлением, без сильнейшего охлаждения (ниже -146 °С), не может быть речи.

Справедливость требует отметить, однако, что упомянутый роман Жюля Верна был опубликован задолго до того, как стали известны приведенные сейчас факты. Это оправдывает автора, хотя и не исправляет повествования.

Воспользуемся еще приведенной выше формулой, чтобы вычислить наибольшую глубину шахты, на дне которой человек может оставаться без вреда для своего здоровья. Наибольшее воздушное давление, какое еще способен переносить наш организм,- 3 атм. Обозначая искомую глубину шахты через x, имеем уравнение (1,001)^x/8=3, откуда (логарифмируя) вычисляем х. Получаем x=8,9 км.

Итак, человек мог бы без вреда находиться на глубине почти 9 км. Если бы Тихий океан вдруг высох, люди могли бы почти повсюду жить на его дне.