Столетие ОТО, или Юбилей Первой ноябрьской революции

25 ноября 1915 года Альберт Эйнштейн представил заключительный доклад в серии из четырех сообщений, посвященных общей теории относительности. За прошедшие с тех пор 100 лет эта теория прошла хорошую проверку: ее предсказания много раз подтверждались наблюдениями и экспериментами. Сейчас ОТО повсеместно используют в астрономических расчетах и инженерных приложениях, например в системах спутниковой навигации. Круглый юбилей — хороший повод рассказать непростую историю появления общей теории относительности Эйнштейна.

Мистика одиннадцатого месяца

В истории физики есть событие, которое принято называть Ноябрьской революцией. Этот титул присвоен открытию в области элементарных частиц, совершенному двумя группами экспериментаторов в ноябре 1974 года. Команды под руководством Сэмюэла Тинга и Бертона Рихтера, работавшие на протонном синхротроне AGS в Брукхейвенской национальной лаборатории и на стэнфордском линейном ускорителе электронов SLAC, одновременно и независимо детектировали первую частицу, содержащую очарованные кварки (конкретно, мезон J/ψ, состоящий из c-кварка и его антикварка). Всего лишь через два года Рихтер и Тинг были удостоены Нобелевской премии по физике.

Однако по справедливости это открытие надо бы называть Второй ноябрьской революцией. Первая имела место ровно сто лет назад и, без преувеличения, знаменовала собой одно из величайших достижений во всей истории физики. В ноябре 1915 года Альберт Эйнштейн представил Королевской академии наук Пруссии четыре доклада, в последнем из которых были выписаны уравнения релятивистской теории тяготения, более известной как общая теория относительности (ОТО).

Результаты первых астрономических наблюдений, подтвердивших предсказанное Эйнштейном отклонение звездного света в поле тяготения Солнца, были обнародованы на совместном заседании Лондонского королевского общества и Королевского астрономического общества тоже в ноябре (конкретно, 6 ноября 1919 года). Это сообщение мгновенно сделало Эйнштейна мировой знаменитостью, однако не принесло Нобелевской премии ни ему, ни Эндрю Кроммелину (Andrew Crommelin) и Артуру Стенли Эддингтону — руководителям астрономических экспедиций, отправленных в Южное полушарие для наблюдения солнечного затмения 1919 года.

Эйнштейн шел к ОТО долгим и непростым путем, который начался в ноябре 1907 года, когда Эйнштейн был еще экспертом второго класса Швейцарского федерального бюро патентов в Берне. Он тогда писал обзорную статью по специальной теории относительсти (СТО), заказанную немецким физиком Йоханнесом Штарком для издававшегося им ежегодника Jahrbuch der Radioaktivitat und Elektronik. В ходе этой работы Эйнштейн задумался, нельзя ли модифицировать ньютоновскую теорию тяготения с учетом СТО. Тогда-то его и посетило озарение, которое впоследствии он назвал самой удачной мыслью в своей жизни. Ему пришло в голову, что человек, прыгая с крыши, не чувствует собственного веса. Однако падение — движение с ускорением, обязанным действию земного тяготения. Так Эйнштейн понял, или, скорее, сначала предположил, что ускорение и гравитация неразрывно связаны друг с другом. А 5 ноября того же 1907 года профессор математики Гёттингенского университета Герман Минковский впервые представил слушателям своего семинара четырехмерную псевдоевклидову геометрию, которая вскоре стала основой математического аппарата СТО и позднее была использована Эйнштейном в его попытках построить релятивистскую теорию тяготения. В общем, ноябрь явно занимает в истории ОТО совершенно особое место.

Бернская прелюдия

Статья Relativitatsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen («О принципе относительности и его следствиях») стала первой публикацией Эйнштейна по теории гравитации. Перед тем как заняться ее разбором, стоит остановиться вот на чём. Работу с изложением основ специальной теории относительности Zur Elektrodynamik bewegter Korper («К электродинамике движущихся тел»), которую Эйнштейн в конце июня 1905 года послал в журнал Annalen der Physik, он написал где-то за пять-шесть недель. Короткую заметку с развитием этой теории Ist die Tragheit eines Korpers von seinem Energieinhalt abhangig? («Зависит ли масса тела от содержащейся в нем энергии?»), где было впервые отмечено, что мерой энергии тела служит его масса, он отправил в тот же журнал тремя месяцами позже, в конце сентября. Правда, фундаментальное положение об эквивалентности массы и энергии было сформулировано Эйнштейном только весной 1907 года (в статье Die vom Relitivatsprinzip geforderte Tragheit der Energie — «Об инерции энергии, требуемой принципом относительности»), однако оно довольно прозрачно вытекает уже из самой первой публикации по СТО. Так что основы этой великой теории были разработаны за неполные полгода, и еще около двух лет понадобились Эйнштейну для ее концептуального завершения. А вот создание ОТО растянулось на целых 8 лет.

Как я уже отметил, Эйнштейн начал обдумывать новую теорию тяготения в Берне и окончательно сформулировал ее в Берлине. Часть этой гигантской работы была выполнена во время его пребывания в Праге, и еще часть в Цюрихе. Эти четыре города составляют географический репер великой интеллектуальной эпопеи.

Но вернемся к статье в журнале Jahrbuch der Radioaktivitat und Elektronik. Проблемам тяготения там посвящен только последний, пятый раздел «Принцип относительности и гравитация», занимающий всего 9 страниц. Этого хватило для получения весьма глубоких выводов. Ключевое рассуждение Эйнштейна состоит в сравнении двух систем отсчета Σ1 и Σ2, первая из которых находится в прямолинейном равноускоренном движении, а вторая пребывает в неподвижности в постоянном и однородном поле тяготения. Эйнштейн отмечает, что если сила тяготения в точности равна той, которая требуется для движения именно с этим ускорением, то никакой реально осуществимый физический эксперимент, выполненный в рамках той или иной системы, не даст возможность решить, какая из них движется, а какая покоится. Это дает основание предположить, пишет Эйнштейн, «полную физическую равноценность (Gleichwertigkeit) гравитационного поля и соответствующего ему ускорения системы отсчета. Такое допущение распространяет принцип относительности на случай равноускоренного прямолинейного движения системы отсчета. Его эвристическая ценность состоит в том, что оно позволяет заменить однородное поле тяжести равноускоренной системой отсчета, которая в определенной мере допускает теоретическое рассмотрение». Так Эйнштейн впервые сформулировал частный случай фундаментального положения, которое он в опубликованной через пять лет статье Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes («Скорость света и статическое гравитационное поле») назвал принципом эквивалентности (Aquivalenzprinzip).

Принцип эквивалентности, распространенный на движения с любыми (не обязательно прямолинейными и постоянными) ускорениями исторически оказался первым краеугольным камнем будущей теории гравитации. Его экспериментальным подтверждением позднее стало равенство инертной и тяжелой массы, которое физики принимали за данность уже с XVII столетия. К началу XX века оно было с высокой точностью доказано в экспериментах венгерского физика Лоранда Этвёша с крутильными весами. Эйнштейн в 1907 году еще не знал о результатах Этвёша, с которыми ознакомился лишь пятью годами позже.

Эйнштейн не ограничился одной лишь формулировкой принципа эквивалентности. Посредством довольно простых рассуждений он показал, что свет в поле тяготения даже в вакууме распространяется по искривленным путям. С помощью этого принципа Эйнштейн также пришел к выводу, что гравитация замедляет течение времени. Выведенная им формула, которая связывает величину этого замедления с гравитационнным потенциалом, справедлива и в ОТО, однако при одном дополнительном предположении: поле тяготения следует считать слабым. Как отметил Эйнштейн, из этой формулы непосредственно следует, что монохроматический свет, приходящий от источника на поверхности Солнца, обладает длиной волны, которая приблизительно на две миллионные доли больше длины волны света, испускаемого таким же источником на Земле. Тем самым он предсказал физический эффект, который позднее был назван гравитационным красным смещением. Наличие гравитационного сдвига спектральных линий в 1959 году первыми экспериментально подтвердили американские физики Роберт Паунд и Глен Ребка (см. Эксперимент Паунда и Ребки). Они измерили его при «падении» гамма-лучей от радиоактивного источника с 22-метровой башни Джефферсоновской лаборатории Гарвардского университета. Хотя отношение частотного смещения к исходной частоте не превысило 10^-14, его удалось зарегистрировать. Тот же эффект принимается в расчет при программировании систем спутниковой навигации.

На этих результатах Эйнштейн не остановился. 24 декабря он написал своему другу Конраду Габихту (Conrad Habicht), что пытается объяснить на их основе давно известную аномалию движения Меркурия. С середины XIX столетия было известно, что орбита этой планеты очень медленно вращается относительно Солнца, так что Меркурий описывает не замкнутый эллипс, предписанный ему первым законом Кеплера, а нечто вроде розетки (см. анимацию). Правда, скорость этого вращения очень невелика — за столетие большая ось меркурианской орбиты поворачивается всего на 1,55 градуса.

В принципе, в этой аномалии не было ничего тревожного. Из ньютоновской механики следует, что строго по замкнутому эллипсу может двигаться лишь одиночная планета, не имеющая соседей. Однако Меркурий движется под действием тяготения не только Солнца, но и прочих планет, главным образом Венеры и Юпитера. В 1859 году Урбен Леверье опубликовал результаты своих вычислений, из которых следовало, что большая ось орбиты Меркурия должна поворачиваться приблизительно на наблюдаемую величину, но все же чуточку медленней, чем в действительности. Согласно вычислениям Леверье, расхождение было небольшим, всего 38 угловых секунд за столетие, однако его причина оставалась непонятной. В 1882 году американский астроном Саймон Ньюком показал, что на самом деле расхождение даже чуть больше — примерно 43 угловые секунды за сто лет, и с тех пор эта оценка не изменилась. Эту аномалию Эйнштейн надеялся объяснить на основе принципа эквивалентности, однако, как он признался Габихту, потерпел неудачу.

А потом его размышления над проблемами гравитации надолго прервались. Возможно, тут сыграла роль перемена его институционального положения. 28 февраля 1908 года Эйнштейн был утвержден приват-доцентом Бернского университета, сохранив и работу в бюро патентов. В середине октября он оставил обе должности, став экстраординарным профессором Цюрихского университета, где проработал без малого полтора года. 1 апреля 1911 года он занял вакантную кафедру теоретической физики пражского Университета Карла-Фердинанда, причем указ о его назначении на должность полного профессора подписал сам император Австро-Венгрии Франц-Иосиф.

Пражский этап

До переезда в Прагу Эйнштейн почти не занимался гравитацией, разве что в сентябре 1909 года начал обдумывать пути к расширению принципа относительности на системы отсчета, вращающиеся с постоянной угловой скоростью. В эти годы его в основном интересуют СТО, статистическая механика и квантовая теория света. Однако он вернулся к тяготению уже в первой работе, написанной в чешской столице. Эта статья Uber den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes («О влиянии силы тяжести на распространение света») в целом продолжает и развивает логику построения релятивистской теории тяготения, намеченную в статье 1907 года. Однако направление этого развития оказалось бесплодным, и годом позже Эйнштейн от него отказался.

Вкратце, дело здесь в следующем. Эйнштейн не сомневался (и в этом был совершенно прав), что будущая теория, подобно СТО, должна подчиняться принципу соответствия. Подобно тому как выводы СТО переходят в выводы ньютоновской механики, если считать скорости тел малыми по сравнению со скоростью света, новая теория гравитации должна в качестве предельного случая малых скоростей и слабых постоянных полей давать ньютоновский закон тяготения. А поскольку ньютоновское гравитационное поле описывается скалярным потенциалом, фигурирующим в уравнении Пуассона, то имеет смысл поискать аналогичный математический формализм (конечно, с другим скалярным потенциалом) и для новой теории. Вероятно, тогда эта эвристика казалась Эйнштейну вполне разумной, но, как показало будущее, она не сработала.

Но вернемся к самой статье. Как следует из ее названия, Эйнштейн задается вопросом, можно ли считать, что скорость света, которая в рамках СТО играет роль универсальной физической константы, меняется в зависимости от изменений поля тяготения. Вновь применив принцип эквивалентности и вытекающую из него связь между ходом времени и гравитацией, Эйнштейн приходит к выводу, что такая зависимость имеет место и что скорость света неодинакова в разных точках пространства. В последующих работах пражского периода он экспериментировал с использованием переменной скорости света в качестве скалярного гравитационного потенциала. Однако это приводило к серьезным трудностям (в частности, нарушалось вытекающее из СТО соотношение между массой и энергией), так что со временем Эйнштейн стал искать новые подходы к конструированию теории.

Статья, о которой идет речь, интересна еще в двух аспектах. Во-первых, Эйнштейн там впервые отметил, что эквивалентность ускорения и тяготения локальна, а не глобальна, на что раньше он как-то не обратил внимания. Во-вторых, Эйнштейн использовал выведенную им формулу для переменной скорости света, чтобы вычислить степень искривления звездных лучей, проходящих на пути к Земле вблизи поверхности Солнца. Вообще-то эта задача может быть решена и на основе нерелятивистской механики. Свет как разновидность электромагнитных волн, которые описывает теория Максвелла, не должен испытывать воздействия ньютоновского тяготения. А вот если его счесть вслед за Ньютоном потоком мельчайших частиц с ненулевой массой, картина полностью изменится. Такие частицы должны отклоняться солнечным тяготением, подобно планетам, астероидам и кометам (о такой возможности думал и сам Ньютон). Величину углового отклонения луча от первоначального прямолинейного пути в этих предположениях в 1801 году вычислил немецкий ученый Иоганн Георг фон Зольднер (Johann Georg von Soldner), получивший формулу (где M_s — масса Солнца, R_s — солнечный радиус, G — ньютоновская гравитационная постоянная, c — скорость света). Подставив в нее тогдашние значения этих величин, Зольднер получил отклонение 0,84 угловой секунды (подстановка величин, которые фигурируют в современных справочниках, дает примерно 0,88 угловой секунды). Эйнштейн вывел ту же самую формулу, хотя и на совершенно иной основе. О работе Зольднера он тогда, скорее всего, не знал и, во всяком случае, на нее не ссылался. На той же странице он призвал астрономов проверить это предсказание при наблюдениях звезд, которые появляются вблизи закрытого Луной солнечного диска во время полного солнечного затмения.

Этой апелляцией Эйнштейн не ограничился. В апреле 1912 года он встретился с молодым сотрудником Берлинской обсерватории Эрвином Финлеем-Фройндлихом, с которым обсудил возможность обнаружить такое отклонение (любопытно, что в этой беседе также всплыла идея гравитационного линзирования света, которую Эйнштейн опубликовал только через 24 года). Проверка едва не состоялась уже через пару лет. Летом 1914 года Фройндлих отправился в Крым для наблюдения солнечного затмения 21 августа. Его экспедиция, которую финансировал дипломат и пушечный король Густав Крупп фон Болен, добралась до Одессы, но с началом Первой мировой войны была задержана российскими властями и в сентябре выслана в Германию.

Надо сказать, что в этом Эйнштейну крупно повезло — ведь его тогдашний прогноз был ошибочным. В ноябре 1915 года, уже почти имея в кармане уравнения ОТО, он показал, что величина отклонения должна быть ровно вдвое больше первоначальной оценки — примерно 1,7 угловой секунды. Именно это предсказание четырьмя годами позже и подтвердили наблюдения Эддингтона и Кроммелина. Кто знает, какова была бы реакция Эйнштейна, если бы в 1914 году Фройндлих опроверг его вычисления. А такие ожидания были. Например, профессор Цюрихского университета лауреат Нобелевской премии 1914 года Макс фон Лауэ в 1913 году писал австрийскому философу Морицу Шлику, что после проверки во время предстоящего затмения теории Эйнштейна скорее всего суждена мирная кончина. Быть может, так бы и произошло.

Я упомянул Лауэ не случайно. В 1911 году он выпустил первое в истории физики (и очень продвинутое!) учебное пособие по специальной теории относительности (Max von Laue, 1911. “Die Relativitatstheorie. Band 1: Die spezielle Relativitatstheorie” // Braunschweig: Friedrich Vieger & Sohn, 1911). В этой работе он показал, что для полного описания внутренней динамики макроскопических тел в рамках СТО в общем случае надо задать не менее десяти независимых функций. Эти функции есть не что иное как компоненты симметричного тензора второго ранга в четырехмерном пространстве Минковского, который обычно именуют тензором энергии-импульса. В последствии Эйнштейн использовал этот формализм в работе над ОТО.

Цюрихская кооперация

В Праге Эйнштейн пробыл около шестнадцати месяцев. 25 июля 1912 года он уехал оттуда в Цюрих, где ему еще в феврале была предложена профессура в Швейцарской высшей технической школе, которую он сам окончил в 1900 году. Обратно в Швейцарию Эйнштейна перетащил его близкий друг со студенческих лет математик Марсель Гроссман, который годом ранее возглавил физико-математическое отделение цюрихской «техноложки».

Помимо должности, ради которой Эйнштейн отказался от кафедр в Лейдене и Утрехте, Гроссман предложил другу сотрудничество, которое оказалось для Эйнштейна чрезвычайно полезным. К тому времени он разочаровался в возможности построить теорию тяготения в пространстве Минковского. Этому немало помогла его полемика с профессором Миланского технического университета Максом Абрахамом, который работал в том же направлении. В предисловии к вышедшему в 1923 году чешскому изданию получившей мировую известность популярной брошюры по теории относительсти Эйнштейн вспомнил, что ключевая мысль об аналогии между математическим аппаратом будущей теории тяготения и развитой Гауссом теорией искривленных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве пришла к нему вскоре после переезда в Цюрих — в вышедшем годом ранее русском переводе этой книги (А. Эйнштейн. «О специальной и общей теории относительности» // Государственное издательство. Москва, 1922) этой информации нет. Эта идея влекла за собой использование пространства-времени с произвольной геометрией, о чем Эйнштейн ранее не думал.

И вот тут-то ему очень помог Гроссман. Он познакомил Эйнштейна с римановой геометрией и с математическим аппаратом, необходимым для ее использования. Этот аппарат — тензорный анализ, — который первоначально назывался абсолютным дифференциальным исчислением, в самом конце XIX века разработали профессор Падуанского университета Грегорио Риччи-Курбастро и его ученик Туллио Леви-Чивита. В том же предисловии Эйнштейн отметил, что до консультаций с Гроссманом он ровно ничего не знал ни о геометрических идеях Римана, ни об исследованиях итальянских математиков.

Зримым результатом кооперации между Эйнштейном и Гроссманом стала появившаяся в 1913 году совместная статья “Entwurf einer verallgemeinerten Relativitatstheorie und eine Theorie der Gravitation. I. Physikalischer Teil von A. Einstein II. Mathematischer Teil von M. Grossmann” // Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 62, 225–244, 245–261 («Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения»). Как следует из названия, ее математическая часть написана Гроссманом, а физическая — Эйнштейном. Именно здесь нашел выражение новый подход Эйнштейна к построению теории тяготения, которого он в целом придерживался вплоть до лета 1915 года. Его ключевыми элементами стали отказ от поисков скалярного потенциала силы