Метрика Карла Шварцшильда: предыстория, история и часть постистории

Сто лет назад действительный член Королевской Академии наук Пруссии Карл Шварцшильд послал своему собрату по Академии Альберту Эйнштейну статью с математическим описанием поля тяготения вне и внутри сферы, заполненной неподвижной жидкостью постоянной плотности. Эта работа стала началом теоретических исследований экзотических объектов, которые мы называем черными дырами.

Озарение Джона Мичелла

История создания современной теории черных дыр и их открытия в космическом пространстве слишком обширна и сложна, чтобы ее можно было без пропусков и упрощений уложить в статью разумного размера. Поэтому я доведу повествование только до первых примеров использования математической модели Шварцшильда в реальной астрофизике, которые имели место почти через четверть века после публикации его замечательной статьи. Однако в противоположном направлении я залезу в историю куда дальше — в конец XVIII столетия. Как раз тогда, в 1784 году, в официальном журнале Лондонского Королевского общества появилась статья с непривычно (во всяком случае, для нас) длинным заголовком: On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars, in Consequence of the Diminution of the Velocity of Their Light, in Case Such a Diminution Should be Found to Take Place in any of Them, and Such Other Data Should be Procured from Observations, as Would be Farther Necessary for That Purpose. By the Rev. John Michell, B. D. F. R. S. In a Letter to Henry Cavendish, Esq. F. R. S. and A.S. Ее автор, преподобный Джон Мичелл (John Michell), уже тогда умел вычислять физическую величину, которая сейчас носит имя радиуса Шварцшильда. Хотя эта работа ни в каком смысле не может считаться предшественницей современной концепции черных дыр, исторической полноты ради начать надо именно с нее.

Есть все основания назвать Джона Мичелла (1724–1793) самым блестящим английским ученым XVIII века, окончившим курс Кембриджского университета. Он получил образование в Колледже Королев (Queens' College), где затем преподавал с 1751-го по 1763 год. Женившись, он приличного дохода ради стал искать церковную должность, и с 1767 года до самой смерти был настоятелем (ректором) прихода Св. Михаила в деревне Торнхилл неподалеку от Лидса. Он и там продолжал заниматься наукой — до конца жизни.

Мичелл был замечательным и в высшей степени оригинальным исследователем. Его заслуженно считают отцом-основателем сразу двух наук — сейсмологии и звездной статистики. Мичелл первым обнаружил, что сила отталкивания между одноименными полюсами постоянных магнитов убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, и задолго до Шарля Кулона (Charles-Augustin de Coulomb) изобрел и сделал «в железе» крутильные весы, которые хотел, но не успел использовать для гравиметрических экспериментов. Уже после смерти Мичелла его друг Генри Кавендиш (Henry Cavendish), который получил этот прибор и самостоятельно построил его модифицированную версию, выполнил прецизионные промеры силы тяготения, результаты которых уже в начале XIX века позволили вычислить гравитационную постоянную с ошибкой всего лишь порядка одного процента. (Возможно, стоит напомнить, что эта фундаментальная физическая константа, как принято считать, впервые появилась в первом томе знаменитой монографии Симеона Дени Пуассона (Simeon Denis Poisson) Traite de mecanique, а широко использоваться физиками стала только во второй половине XIX века.) К слову, статья Мичелла, о которой идет речь, была отослана именно Кавендишу, зачитавшему ее на нескольких заседаниях Королевского общества в конце 1783-го и в начале 1784 года. Мичелл, и сам активный член Общества с 1760 года, тогда не смог или не захотел приехать в Лондон (почему именно, неизвестно).

К сожалению, Мичелл был неважным коммуникатором. Он часто включал свои самые замечательные результаты в тексты длинных журнальных статей, где описания открытий почти терялись на довольно трюистичном фоне. Из-за этого Мичелл ни при жизни, ни после смерти не получил того признания, которое он, несомненно, заслуживал.

Во вводном письме к Кавендишу, предваряющем основную статью, Мичелл очень четко сформулировал цель нового исследования. Он, как и другие британские ученые того времени, вслед за Ньютоном считал свет потоком мельчайших частиц. Мичелл также вслед за Джозефом Пристли (Joseph Priestley) предположил, что эти частицы, как и обычная материя, подчиняются законам механики и, в частности, должны тормозиться силами тяготения. Мичелл решил, что с помощью этого эффекта в принципе можно измерять расстояния до звезд, звездные величины и звездные массы (стр. 35). Он также выразил надежду, что астрономы смогут плодотворно использовать этот еще никем не применявшийся метод наблюдений (стр. 35–36).

Суть дела в следующем. Считая, что скорость света в момент его испускания всегда одинакова, Мичелл предложил определять скорость света, приходящего на Землю от различных звезд, и с помощью законов небесной механики выжимать из этих измерений сведения о самих звездах. Например, если допустить, что все звезды (или какая-то группа звезд) удалены от Земли примерно на одинаковые расстояния, такие измерения позволят оценивать отношения звездных масс: чем тяжелее звезда, тем сильнее ее тяготение будет замедлять световые корпускулы.

Мичелл весьма подробно объяснил детали своего метода, причем, в духе ньютоновских «Математических начал натуральной философии», не привел ни одной формулы — его изложение строго геометрично. В его статье немало остроумных заключений, тем более что, помимо механики, он привлекает для своих рассуждений оптику и астрономию. Конечно, этот труд был потрачен впустую: скорость света в вакууме постоянна. Поэтому статья Мичелла скорее всего была бы прочно забыта, если бы не один вывод — кстати, сделанный совершенно походя. Развивая свои дедукции, он в конце концов заключает, что очень массивная звезда должна настолько тормозить световые частицы, что они никогда не смогут уйти на бесконечность. Весь ее свет под действием ее же собственного притяжения «будет вынужден вернуться обратно к звезде» (стр. 42). Отсюда следует, что такая звезда окажется невидимой — по крайней мере, с очень больших дистанций. Мичелл отметил, что, согласно его вычислениям, для того, чтобы свет звезды с той же плотностью, что и у Солнца, не мог уйти на бесконечность, ее диаметр должен примерно в 500 раз превышать солнечный. Таким образом, заключает Мичелл, если очень далеко от нас существуют столь же (и даже более) массивные звезды, мы никогда не сможем получить о них никакой информации посредством их света (стр. 50). Интересно, что он использует именно слово information, которое тогда отнюдь не было в таком ходу, как в наши дни.

Легко видеть, что аналогия между черными дырами в современном понимании и мичелловскими экзотическими звездами очень поверхностна и приблизительна. Классическая черная дыра вообще не излучает никакого света (гипотетическое излучение Хокинга — чисто квантовый эффект) и в этом смысле действительно является черной. Световые корпускулы в модели Мичелла, напротив, при любом раскладе покидают поверхность звезды, только не всегда уходят на бесконечность. Поэтому у Мичелла никаких абсолютно черных звезд нет и быть не может, все они видны с тех или иных дистанций. Есть и множество других вполне очевидных различий.

Мичелл задумался и над тем, нельзя ли с Земли как-то обнаружить звезду, если ее свет не достигает нашей планеты. И предложил (я не могу не восхититься его проницательностью!) не просто осуществимое, но и абсолютно современное решение. Предположим, что такая звезда входит в двойную систему, причем свет второй звезды виден в наши телескопы. Тогда мы сможем судить о наличии и даже свойствах невидимой звезды, наблюдая «качания» ее партнера. Хорошо известно, что этот метод давно применяется при поиске экзопланет.

Насколько прав оказался Мичелл в своем вычислении параметров звезды, которую невозможно увидеть с бесконечно большой дистанции? Соответствующую формулу получить очень легко, это задача для школьника. Надо взять общеизвестное математическое выражение для второй космической скорости и подставить на ее место скорость света. В результате получим, что звезда с массой M будет посылать световые корпускулы на конечные расстояния, если ее радиус R не превышает величину , где G — ньютоновская постоянная тяготения, а c — скорость света. Для звезды с массой Солнца это примерно 3 километра. Следовательно, критический радиус любой звезды в мичелловской модели равен трем километрам, умноженным на ее массу в солнечных единицах (иначе говоря, на отношение ее массы к массе Солнца). Конечно, алгебраической формулой для критического радиуса Мичелл владеть не мог хотя бы из-за отсутствия в тогдашнем физическом языке понятия гравитационной постоянной. Мичелл (опять-таки в духе Ньютона) оценил его с помощью геометрических построений, причем весьма остроумных.

Вернемся к примеру Мичелла. Масса звезды солнечной плотности, чей поперечник в 500 раз больше солнечного, составляет 125 миллионов солнечных масс. Критический радиус тела с такой массой, согласно вышеприведенной формуле, равен 375 миллионов километров. Средний радиус Солнца — это примерно 700 тысяч километров, и если его умножить на 500, получим 350 миллионов. Так что Мичелл ошибся совсем немного.

Джон Мичелл доверял своей логике и интуиции и поэтому допускал, что глубины космоса скрывают множество звезд, которые с Земли нельзя разглядеть ни в один телескоп. Через три года после его смерти к такому же выводу пришел великий французский математик, астроном и физик Пьер-Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace), тогда еще не имевший ни графского титула, полученного от Наполеона, ни титула маркиза, которым его удостоили Бурбоны. О светящихся, но невидимых с Земли телах (corps obscurs) он очень кратко упомянул в первом (1796) издании своего популярного трактата Exposition du Systeme du Monde. В XIX веке этот труд выдержал много прижизненных переизданий, которые уже не упоминали эту гипотезу. Это и понятно, поскольку большинство физиков тогда уже считало свет колебаниями эфира. Существование «темных» звезд противоречило волновой концепции света, и Лаплас счел за лучшее о них забыть. В позднейшие времена эту идею считали курьезом, достойным упоминания лишь в трудах по истории науки.

И еще одна немаловажная деталь. И Мичелл, и Лаплас приписывали невидимость на больших дистанциях только самым гигантским и, автоматически, самым массивным звездам (в то время считалось, что плотности всех звезд приблизительно равны плотности Солнца). Ни тот, ни другой не заметили, что в рамках ньютонвской теории света тем же свойством может обладать и небольшое светящееся тело чрезвычайно высокой плотности. Впрочем, о возможности столь компактных космических объектов в то время никто не задумывался.

Карл Шварцшильд и его формулы

25 ноября 1915 года Альберт Эйнштейн представил Академии наук Пруссии письменный доклад, содержащий систему полностью ковариантных уравнений релятивистской теории гравитационного поля, известной также как общая теория относительности (ОТО). Неделей раньше он выступил на заседании Академии с лекцией, в которой продемонстрировал в работе более раннюю версию этих уравнений, которые не обладали полной ковариантностью (ее он представил Академии двумя неделями ранее). Однако уже эти уравнения дали Эйнштейну возможность с помощью метода последовательных приближений правильно вычислить аномальное вращение орбиты Меркурия и предсказать величину углового отклонения звездного света в поле тяготения Солнца.

Это выступление нашло благодарного слушателя в лице коллеги Эйнштейна по Академии Карла Шварцшильда (Karl Schwarzschild, 1873–1916), который служил в действующей армии Германской империи лейтенантом артиллерии и как раз тогда приехал в отпуск. Вернувшись к месту службы, Шварцшильд в декабре нашел точное решение первой версии уравнений Эйнштейна, которое опубликовал через его посредство в «Отчетах о заседаниях» (Sitzungsberichte) Академии. В феврале, уже ознакомившись с окончательной версией уравнений ОТО, Шварцшильд отослал Эйнштейну вторую статью, в которой впервые в явном виде фигурировал гравитационный, он же шварцшильдовский, радиус. 24 февраля Эйнштейн передал в печать и эту работу.

Подобно Джону Мичеллу, Шварцшильд был не только блестящим, но и очень разносторонним ученым. Он оставил глубокий след в наблюдательной астрономии, где стал одним из пионеров оснащения телескопов фотографической аппаратурой и ее использования в целях фотометрии. Ему принадлежат глубокие и оригинальные труды в области электродинамики, звездной астрономии, астрофизики и оптики. Шварцшильд даже успел внести важный вклад в квантовую механику атомных оболочек, построив в своей последней научной работе теорию эффекта Штарка (K. Schwarzschild, 1916. Zur Quantenhypothese). В 1900 году, за пятнадцать лет до создания ОТО, он не только всерьез рассмотрел возможность того, что геометрия Вселенной отличается от евклидовой (ее допускал еще Лобачевский), но и оценил нижние пределы радиуса кривизны пространства для сферической и псевдосферической геометрии космоса. Не достигнув еще и тридцати лет, он стал профессором Геттингенского университета и директором университетской обсерватории. В 1909 году он был избран членом Лондонского астрономического общества и возглавил Потсдамскую астрофизическую обсерваторию, а еще через четыре года сделался членом Прусской академии.

Научную карьеру Шварцшильда оборвала Первая мировая война. Не подлежа по возрасту призыву, он пошел в армию добровольцем и в конце концов оказался на русском фронте в штабе артиллерийской части, где занимался расчетом траекторий снарядов дальнобойных орудий. Там он стал жертвой пемфигуса, очень тяжелого аутоиммунного заболевания кожных покровов, к которому имел наследственную склонность. Эта патология плохо поддается лекарствам и в наше время, а тогда была неизлечимой. В марте 1916 года Шварцшильд был комиссован и вернулся в Потсдам, где скончался 11 мая. Шварцшильд и погибший в Дарданелльской операции английский физик Генри Гвин Мозли (Henry Moseley) стали самыми крупными учеными, чьи жизни унесла Первая мировая война.

Знаменитая пространственно-временная метрика Шварцшильда исторически стала первым точным решением уравнений ОТО. Она описывает статическое гравитационное поле, которое создается в вакууме неподвижным сферически симметричным телом массы M. В стандартной записи в координатах Шварцшильда t, r, θ,φ и при выборе сигнатуры (+, -, -, -) она дается формулой

где . Легко видеть, что этот параметр, который принято называть гравитационным радиусом, или радиусом Шварцшильда, в точности совпадает с критическим радиусом звезды, который появляется при расчете движения световых корпускул в модели Мичелла. Как известно, он играет ключевую роль в современной теории черных дыр (его также называют горизонтом событий дыры).

Метрика Шварцшильда имеет две особые точки — сингулярности на формальном языке. Одна из сингулярностей возникает при r = 0, то есть там же, где обращается в бесконечность ньютоновский гравитационный потенциал. Вторая сингулярность соответствует значению r = r_s, когда коэффициент перед dt² обращается в нуль, а перед dr² — в бесконечность. Это и есть собственно шварцшильдовская сингулярность, над смыслом которой мучилось несколько поколений физиков. Стоит напомнить, что угловые координаты Шварцшильда θ и φ полностью аналогичны полярному и азимутальному углам в обычных сферических координатах, однако величина радиальной координаты r отнюдь не равна длине радиус-вектора. В метрике Шварцшильда длина окружности с центром в начале координат выражается евклидовской формулой 2πr, однако расстояние между двумя точками с радиусами r₁ и r₂, находящимися на одном радиус-векторе, всегда превышает арифметическую разность r₂-r₁. Отсюда сразу видно, что шварцшильдовское пространство неевклидово — отношение длины окружности к длине ее радиуса меньше, чем 2π. Возможно, стоит уточнить, что координата r в шварцшильдовской метрике возникает как одно из возможных отображений (его принято называть стандартным) в трехмерное евклидово пространство метрической координаты ρ, которая фигурирует в описании трехмерного риманова многообразия общего вида со сферической симметрией (см.: Yvonne Choquet-Bruhat, Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology, стр. 105–106). Но это уже математические тонкости.

А теперь — самое интересное. Метрика Шварцшильда, как она приведена выше, в обеих его статьях вообще отсутствует. В первой из его публикаций «О гравитационном поле точечной массы, вытекающем из теории Эйнштейна» (K. Schwarzschild, 1916. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) представлена совсем другая метрика пространства-времени, соответствующая полю тяготения точечной массы:

Эта формула выглядит в точности как стандартная метрика Шварцшильда (1) с той только разницей, что скорость света в ней принята за единицу и потому в явном виде отсутствует, а радиальная координата обозначена не строчной буквой r, а заглавной R. Однако это сходство чисто внешнее, поскольку координата R отнюдь не тождественна r. Их связывает формула R³=r³+α³, где α — положительная постоянная интегрирования, имеющая размерность длины. Шварцшильд не дает ее конкретную величину и только отмечает, что α зависит от массы точечного центра гравитации. Эта метрика и есть найденное Шварцшильдом точное решение уравнений ОТО для точечной постоянной массы, выраженное в координатах t, R, θ и φ.

Чем эти метрики отличаются друг от друга? В метрике (1) значение радиальной координаты r меняется от нуля до бесконечности, в то время как в метрике (2) значения R лежат в промежутке от α до бесконечности. Как уже говорилось, метрика (1) имеет две особые точки (сингулярности), в то время как метрика (2) — только одну, R = α. При этом значении R метрика теряет смысл, а для меньших значений R она попросту не определена. Неформально отсюда следует, что точечный центр массы окружен сферой, соответствующей значению R = α, и на этой сферической поверхности происходит нечто странное и непонятное. Третье различие между метриками (1) и (2) состоит в том, что параметр α, в отличие от r_s не определен какой-либо конкретной формулой, так что в ней нет явного упоминания о гравитационном радиусе.

Карл Шварцшильд получил метрику (2) в результате решения уравнений Эйнштейна в их первой версии, с которой он ознакомился 18 ноября. На ее основе он подтвердил величину вычисленного Эйнштейном аномального поворота орбиты Меркурия. Он также вывел релятивистский аналог третьего закона Кеплера — однако, только для круговых орбит. Конкретно, он показал, что квадрат угловой скорости пробных тел, обращающихся по таким орбитам вокруг центральной точки, дается простой формулой (буквой n Шварцшильд обозначал угловую скорость). Поскольку R не может быть меньше чем α, угловая скорость имеет верхний предел . Напомню, что в ньютоновской механике угловая скорость тел, обращающихся вокруг точечной массы, может быть сколь угодно большой, так что тут зримо видна специфика ОТО. Напомню также, что формула для n0 выведена в предположении, что скорость света равна единице, из-за чего и выходит, что размерность угловой скорости — обратная длина. Чтобы получить угловую скорость с обычной размерностью 1/сек, надо правую часть формулы для n₀ умножить на скорость света c.

Самое интересное Шварцшильд приберег под занавес. В конце статьи, буквально в предпоследней фразе, он отмечает, что если величина точечной массы в начале координат равна массе Солнца, то максимальная частота обращения оказывается примерно 10 тысяч оборотов в секунду. Отсюда сразу следует, что . Так как скорость света с = 3·105 км/сек, параметр α оказывается приблизительно равным 3 километрам, то есть, гравитационному радиусу Солнца! Не появившись в статье Шварцшильда явно, он проник туда с заднего входа и без какого-либо обоснования (Шварцшильд ведь не уточняет, как он получил численную величину предельной частоты). В общем, уже первая статья Шварцшильда прокладывает тонкий мостик к теории черных дыр, хотя обнаружить его не так-то просто. Заметив это, я немало удивился, поскольку принято считать, что гравитационный радиус появляется только во второй статье Шварцшильда.