АВТОКОЛЕБАНИЯ

АВТОКОЛЕБАНИЯ — незатухающие колебания в диссипативной нелинейной системе, поддерживаемые за счёт энергии внеш. источника, параметры к-рых (амплитуда,частота, спектр колебаний) определяются свойствами самой системы и не зависят от конечного изменения нач. условий. Термин «А.» введён А. А. Андроновым в 1928.

А. принципиально отличаются от др. колебат. процессов в диссипативных системах тем, что для их поддержания не требуется колебат. воздействий извне. Примеры А.: колебания скрипичной струны при движении смычка, тока в радиотехн. генераторе, воздуха в органной трубе, маятника в часах. Возникают А. в результате развития колебат. неустойчивостей с их последующей стабилизацией из-за прекращения поступления энергии от источника или прогрессирующего возрастания потерь (диссипации). Режим стационарных А. определяется из условия энергетич. баланса - в ср. за период диссипативные траты энергии Q(I) (I — интенсивность А.) должны точно компенсироваться поступлением энергии W(I) от источника: Q(I₀ )=W(I₀). Если в окрестности стационарного режима энергия потерь Q(I) при изменении I растёт быстрее, чем приток энергии W(I), то этот режим А., с энергетич. точки зрения, устойчив (рис. 1, а); если же быстрее увеличивается W(I), то стационарный режим неустойчив (рис. 1, б). Даже в тех случаях, когда можно ввести ф-ции Q и W, они обычно зависят не только от интенсивностей А., но и от их фаз, поэтому энергетич. метод определения устойчивости А. в общем случае неприменим. Системы, в к-рых А. возникают «самопроизвольно» — без нач. толчка, наз. системами с мягким режимом возбуждения; если для возникновения А. необходим конечный нач. толчок, то говорят о жёстком режиме возбуждения.

В простейших автоколебат. системах можно выделить колебат. систему с затуханием, усилитель колебаний, нелинейный ограничитель и звено обратной связи.

Рис.1. Энергетическая схема установления автоколебаний: а — стационарный решим устойчив; б — стационарный режим неустойчив

Напр., в ламповом генераторе (генераторе Ван дер Поля, рис. 2, а, б) колебат. контур с потерями, состоящий из ёмкости С, индуктивности L и сопротивления Л, представляет собой диссипативную колебат. систему, цепь катод — сетка и индуктивность L образуют цепь обратной связи.

Рис.2. Схемы генераторов Ван дер Поля: а — с колебательным контуром в цепи анода; б — с колебательным контуром в цепи сетки; в — характеристика лампы

Случайно возникшие в колебат. контуре малые собств. колебания через катушку L управляют анодным током лампы, к-рая является усилителем. При положит, обратной связи (т. е. при определённом взаимном расположении катушек L и L_х) в контур вносится определ. энергия. Если эта энергия больше энергии потерь в контуре, то амплитуда малых вначале колебаний в контуре нарастает. Поскольку анодный ток лампы зависит от напряжения на сетке нелинейным образом (рис. 2, в), то при нарастании амплитуды колебаний энергия, поступающая в контур, уменьшается и при нек-рой амплитуде колебаний становится равной энергии потерь. В результате устанавливается режим стационарных А., при к-ром внеш. источник (анодная батарея) компенсирует все потери энергии. Т. о., автоколебат. системы должны быть принципиально нелинейными - именно нелинейность не позволяет колебаниям безгранично нарастать, управляя поступлением и тратами энергии источника.

Чтобы определить характер А. и зависимость их амплитуды и формы от параметров системы, необходимо обратиться к анализу соответствующей математической модели. Для простейшего генератора (рис. 2, а) такой моделью служит уравнение Ван дер Поля

к-рое получается при пренебрежении сеточными токами лампы и аппроксимации её характеристики кривой, представленной на рис. 2, в. Это ур-ние записано в безразмерных переменных, где

. Здесь ω₀=(LC)^½ — собств. частота колебат. контура, α=(LC)^½(MS₀-RC) параметр превышения над порогом генерации (при α<0 потеря в контуре больше, чем вносимая энергия), β=2MS₂(RC-MS₀)^-1 характеризует амплитуду А., М — коэфф. Взаимной индукции, S₀ и S₂ — параметры вольт-амперной характеристики усилит, лампы. Тот факт,что А. в рассматриваемой системе описываются дифференц. ур-нием 2-го порядка (его фазовое пространство — плоскость), сразу накладывает принцип, ограничения на вид А. В подобных системах возможны 5ан только периодич. А.

Геом. образом установившихся А. в фазовом пространстве системы служит аттрактор — траектория (или множество траекторий), расположенная в огранич. в области фазового пространства и притягивающая к себе все близкие траектории. Поскольку на фазовой плоскости траектории пересекаться не могут, в системах 2-го порядка может существовать лишь простейший нетривиальный аттрактор — замкнутая траектория, к к-рой стремятся все ближайшие траектории. Такая траектория наз. предельным циклом, к-рый служит образом периодич. А. Размеры предельного цикла определяют амплитуду А., время движения изображающей точки по циклу — период А., а форма предельного цикла — форму колебаний. Величина μ характеризует нелинейность системы: чем больше нелинейность, тем больше форма колебаний отличается от синусоидальной (рис. 3). При малых μ( μ<<1) потери в контуре и вносимая в него энергия очень малы — ур-ние (1) близко к ур-нию гармонич. осциллятора, а А. близки к синусоидальным с частотой ω₀.

Рис.3. Осциллограммы х(t), иллюстрирующие характер установления и форму автоколебаний в системе (1) соответственно: при μ<<1- квазигармонические колебания (а); при μ≈1- синусоидальные колебания (б); при μ>>1- релаксационные колебания (в)

В др. предельном случае (μ>>1) потери в контуре и вносимая в него энергия очень велики по сравнению с энергией в нём запасённой, поэтому колебания будут сильно отличаться от синусоидальных, превращаясь в релаксационные. Анализ таких А. удобно проводить, разделяя движения на участки быстрых и медленных движений (см. Релаксационные колебания).

При изменении величины параметра μне происходит никаких качественных изменений в структуре разбиения фазовой плоскости ур-ния (1) на траектории — при любом μ>0 в системе имеются единств, состояние равновесия (х=0, ^dx/_dt=0), к-рое неустойчиво, и единств, предельный цикл, к-рый устойчив. Качественные перестройки — бифуркации происходят лишь при смене знака μ. Рассмотренная картина соответствует мягкому режиму возникновения А.,к-рому соответствует фазовый портрет, изображённый на рис. 4, а. В системах с жёстким режимом возбуждения колебания самопроизвольно нарастают лишь с нек-рой нач. амплитудой, т.е. когда имеется толчок с амплитудой, большей нек-рого критич. значения; при этом на фазовом портрете (рис. 5) нач. точка должна лежать вне заштрихованной области, т. е. изображающая точка должна быть выведена за пределы области притяжения устойчивого состояния равновесия, границей к-рого служит неустойчивый предельный цикл.

Рис.4. Фазовые портреты системы (1): а - при μ>>1, б - при μ=1, в - при μ>>1

В системах, даже незначительно более сложных, чем генератор на рис. 2, а, напр, в системах с полутора степенями свободы, воз-можны не только периодич. и квазипериодич. А. (с несколькими несоизмеримыми частотами), но и А., ничем неотличимые от случайных — т. н. стохастические А. Примером такой автоколебат. системы — генератора шума, в к-ром хаотич. колебания (колебания со сплошным спектром) совершаются в диссипативной системе за счёт энергии регулярных источников, может служить генератор на рис. 2, б, если в контур последовательно с индуктивностью добавлен нелинейный элемент с невзаимно однозначной вольт-амперной характеристикой (рис. 6). Таким элементом является, напр., туннельный диод. Матем. модель или соответствующая такому генератору динамическая система может быть представлена в виде системы 3-го порядка:

Здесь х, у, z — соответственно безразмерные токи в контуре, напряжение на ёмкости и напряжение натуннельном диоде, h — инкремент нарастания колебаний в контуре в отсутствие диода, g характеризует степень влияния диода на процессы в контуре, ε<<1 — малый параметр, пропорциональный ёмкости туннельного диода, f(z) — его нормированная характеристика. Фазовое пространство системы (2) трёхмерно.

Рис.5. Фазовый портрет, отвечающий жесткому возбуждению автоколебаний: 1 — устойчивый предельный цикл; 2 — неустойчивый предельный цикл; 3 — устойчивое состояние равновесия

При определпараметрах в этом фазовом все траектории будут входить в ограниченную область, внутри к-рой нет ни устойчивых состояний равновесия, ни устойчивых предельных циклов. Внутри этой области содер жится притягивающее множество траекторий, каждая из к-рых неустойчива,— это т. н. странный аттрактор. Подобно тому, как предельный цикл является образом периодич А., образом стохастич. А. служит странный аттрактор.

Рис.6. Вольт-амперная характеристика туннельного диода

Для автоколебат. систем с неск. степенями свободь характерны такие явления, как синхронизация и конкуренция колебаний. Разделяют внеш. синхрони зацию А., или захватывание частоты генератора, и взаимную синхронизацию. При захватывании частотъ устанавливаются А. с частотой и фазой, соответст вующими частоте и фазе внеш. периодич. воздействия а при взаимной синхронизации — периодич. сфази рованные колебания в ансамбле подсистем, к-рые в независимом режиме работы характеризуются разл частотами. Захватывание частоты широко используете; для управления и стабилизации частоты мощных ма лостабильных генераторов с помощью высокостабилъных маломощных (напр., в лазерах). Полоса захватывания — область расстроек между частотами собств. колебаний и внеш. сигналом, внутри к-рой устанавливается режим синхронизации,— расширяется при увеличении амплитуды внеш. воздействия. Вне границы захватывания устойчивый режим генерации периодич. колебаний сменяется режимом биений — режимом квазипериодич. колебаний либо отохастич. режимом. Взаимная синхронизация подсистем или различных элементарных колебаний (мод) используется при работе неск. генераторов на общую нагрузку, для получения коротких импульсов в многомодовых генераторах (напр., лазерах) и т. д.

Конкуренция мод — подавление одних мод другими в автоколебат. системах — связана с тем, что конкурирующие моды черпают энергию на покрытие диссн-пативных расходов из общего источника. В результате одни моды создают дополнит, нелинейное затухание для других. Благодаря эффектам конкуренции и взаимной синхронизации колебаний в автоколебат. системах с большим числом степеней свободы (или даже бесконечным числом — в случае распределённых систем) возможно установление из нач. шума (нарастающих в результате развития линейных неустойчивостей флуктуации на разл. частотах) режима регулярных периодич. А. Эффекты конкуренции и синхронизации оказываются принципиальными и для появления высокоорганизованных структур в нелинейных неравновесных средах.

В распределённых системах характер А. существенно зависит, помимо вида нелинейности, ещё и от особенностей дисперсии среды и граничных условий, в частности наличия резонатора. В нек-рых случаях спектр возбуждения мод и особенности их нелинейного взаимодействия таковы, что при анализе А. в распределённой системе с бесконечным числом степеней свободы возможно ограничиться т. н. одномодовым описанием. Для примера рассмотрим А. в кольцевом резонаторе — расположенной в вертик. плоскости замкнутой трубе, заполненной вязкой жидкостью (рис. 7).

Рис.7. Кольцевая труба, заполненная жидкостью,— конвективная петля; g — ускорение силы тяжести, Т_н — темп-pa в точке М, Т_в — темп-pa в точке Р

При подогреве кольца снизу в системе устанавливается режим конвекции: более лёгкая, нагретая в основании кольца часть жидкости всплывает, заставляя охлаждённую жидкость опускаться вниз. Т. о., начиная с нек-рой разности темп-р Т_в—Т_н=ΔТ₁ устанавливается режим стационарного вращения жидкости по или против часовой стрелки. При этом вся жидкость вращается как целое — реализуется лишь одно наиб, крупномасштабное движение. Дальнейшее увеличение ΔТ (ΔТ>ΔТ₂) приводит к возникновению А., проявляющихся в том, что жидкое кольцо внутри трубы время от времени будет менять направление своего движения. Физически это можно пояснить так: пусть в данный момент жидкость движется по часовой стрелке, при достаточно большом Δ Т архимедова сила велика и водяное кольцо ускоряется настолько, что остывший вверху жидкий объём, пройдя горячее основание и не успев нагреться, уже не достигает верх, части кольца и приостанавливается (архимедова сила недостаточна, чтобы преодолеть силу вязкости и гравитации). При этом опускающаяся (правая) часть жидкости теплее и, следовательно, легче поднимающейся. В результате торможения жидкого кольца жидкость в его основании нагревается и всплывает, но уже в противоположном направлении — давление справа меньше, чем слева. Т. о., жидкое кольцо меняет направление своего вращения и начинает закручиваться против часовой стрелки. Затем всё повторяется в обратном порядке. Такие вызываемые тепловой конвекцией А. могут быть как периодическими, так и стохастическими. Поскольку никакие другие масштабы движения, кроме основного, в А. рассматриваемого вида не участвуют, матем. модель для описания этих А. может быть получена из исходных ур-ний гидродинамики в предположении, что зависимость полей скорости и темп-ры от пространственных координат не меняется во времени и пропорциональна sinφ, где φ — угл. координата элементарного объёма жидкости. В результате для безразмерных скорости x(t) движения жидкого кольца,темп-ры у(t) жидкости в точке N и темп-ры z(t) в точке М можно получить систему ур-ний в обыкновенных производных:

где σ, r>0. Это — известная система Лоренца (см. Лоренца система), к-рая является одной из осн. моделей теории стохастич. А. В зависимости от параметров σ и r в фазовом пространстве системы (3) могут существовать как устойчивый предельный цикл, так и странный аттрактор.

В общем случае А. в резонаторах, к-рые описываются ур-ниями в частных производных с соответствующими граничными условиями, невозможно представить с помощью конечномерной динамич. системы. Однако, как правило, благодаря разного рода физ. обстоятельствам, напр, наличию диссипации, прогрессирующей с ростом частоты или уменьшением пространственного масштаба пульсаций, такое конечномерное описание оказывается справедливым.

В неравновесных диссипативных средах, помимо А., о к-рых речь шла выше, возможны ещё т. н. автоволны, и автоструктуры — не связанные с граничными условиями пространственно-временные образования, параметры к-рых определяются лишь свойствами нелинейной неравновесной среды, напр, уединённые фронты горения и волны популяций, импульсы в нервных волокнах, цилиндрические и спиральные волны в сердечной ткани и др. Стохастич. А. в нелинейных неравновесных средах — это турбулентность.

Лит.: Андронов А. А., Витт А. А., Xаикин С. Э., Теория колебаний, 3 изд., М., 1981; Горелии Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959; Харкевич А. А., Автоколебания, М., 1953; Ланда П. С., Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы, М., 1980; Рабиновичи. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984.