АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ

Расстановка ударений: АВТОМОДЕ`ЛЬНОСТЬ

АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ — особая симметрия физ. системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия др. динамич. переменных. А. приводит к эфф. сокращению числа независимых переменных. Напр., если состояние системы характеризуется ф-цией и (x, t), где х — координата, t — время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов x'=kx, t'=lt и преобразования подобия таково:

где α, β — числа. Выбор k^1/α=l=^m/_t, где m — подобия критерий (параметр), придаёт первонач. ф-ции автомодельный вид

Т. о., ф-ция и при постоянном m зависит только от комбинации ^x/_t^α. А. возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:

1. Размерностей анализ. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и ф-ций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид m=Х₀ /bТ₀^α, где b - параметр, имеющий размерность [b]=LT^-α, Х₀, Т₀ — характерные длина и промежуток времени, L, Т — единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации ^x/_bt^α, ^y/_bt^α, ^z/_bt^α. В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает ур-ние с частными производными в обыкновенное дифференц. ур-ние.

2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных u=t^βf(x/t^α) или, в более общем виде u=φ(t)ψ(χ), χ=^x/_η(t). Ур-ния, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений α, β и не для любых ф-ций φ(t), η(t). Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собств. значения.

3. Исследование групповых свойств ур-ний. Рассмотрим систему дифференц. ур-ний с частными производными 1-го порядка f_j (x_i, u_k, р_ik)=0, где х_i — независимые переменные, u_к — искомые ф-ции, . Всевозможные замены переменных x_i, u_k, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются её однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет след, процедура.

В пространстве переменных x_i, и _kгруппа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид Х=^ξ_i∂/_∂xi+^η_k∂/_∂uk, где ζ_i, η_k — нек-рые ф-ции переменных x, u; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных х_i, u_k, p_ik группа Ли задаётся генераторами

,

где ξ_ik = D_iη_k - p_lkD_iξ_l, D_i = ^∂/_∂xi + ^p_ik∂/_∂uk. Система ур-ний f_j = 0 определяет гиперповерхность в пространстве переменных x_i, u_k, р_ik, к-рая является инвариантом группы при условии Xf_j=0, когда f_j=0; эти условия служат для определения ф-ций ξ_i(x, u) и η_k(x, u). Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами ур-ния X_φ ≡ ^ξ_i∂φ/_∂xi + ^η_k∂φ/_∂uk = 0. Напр., для двух независимых переменных х, t и одной искомой ф-ции и оператор растяжений имеет вид X = ^αx∂/_∂x + ^βt∂/_∂t + ^γu∂/_∂u, α, β , γ—числа. Набор первых интегралов ур-ния Х_φ=0 таков:

,

поэтому автомодельное решение ур-ний, допускающих группу растяжений, будет иметь вид

,

ψ —новая искомая ф-ция.

Рассмотрим, напр., Кортевега — де Фриса уравнение ^∂u/_∂t+^u∂u/_∂х+^μ∂3u/_∂х³=0, где μ — пост. параметр; оно инвариантно относительно преобразования t→kt, x→k^1/3x, u→k^-2/3u. Генератор Х = ^х∂/_∂x + ^3t∂/_∂t - ^2u∂/_∂u — оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид

Подставляя это решение в исходное ур-ние, получаем обыкновенное дифференц. ур-ние для ф-ции ψ(z):

Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на др. однопараметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида u=f(x—λt+a), для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена х=lnξ, t=lnτ, a=lnb переводит волновое решение f в автомодельное:

А., отражающая внутр. симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении разл. физ. задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение).

Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгруппы оказывается тождественным одномерному ур-нию переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.

Лит.: Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981; Боголюбовы. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963; Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1; Баренблатт Г. И.,Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., 1982.

В. Е. Рокотян

Источники:

1. Физическая энциклопедия/Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др.- М.: Сов. энциклопедия. Т.I. Ааронова - Бома эффект - Длинные линии. 1988. 704 с., ил.