Ножницы, глобус, седло

Вот вопрос: "прямое" и "кривое" - как отличить одно от другого? И что такое вообще кривизна и прямизна?

Прямой хочется назвать линию, которая проложена по кратчайшему расстоянию между двумя точками, а кривой - ту, что обходит прямую. Не зря ведь говорят "объехать по кривой". Поэтому понятие прямизны тесно связано с понятием расстояния.

Теперь поймите главное: никакое расстояние не существует само по себе. Оно всегда отмеривается по чему-то конкретному - по дороге, по тетрадной странице или горному склону, либо, скажем, по световому лучу или по веревке, туго натянутой в пустоте.

Геометры говорят абстрактно и обобщенно: расстояния отмериваются по линиям, по поверхностям, в пространстве. Физики, соглашаясь с геометрами, помнят, однако, что все эти геометрические термины отражают реальные свойства нашего мира.

Кроме того, физик вкладывает свое определенное содержание в слово "отмеривать". Он помнит, что любое измерение требует не только математической корректности. Необходимы еще соответствующие приборы - линейки и часы.

Да, именно часы - ведь никакое измерение нельзя даже мысленно исполнить мгновенно, это мы с вами хорошо уяснили в десятой главе, когда рассуждали о предельности скорости света и других особенностях эйнштейновского толкования природы.

Таким образом, определение расстояний, как и всякий измерительный процесс - совершенно очевидное физическое исследование. Тут геометрия зримо оборачивается физикой, физикой пространственных движений.

Пока, впрочем, забудем о часах. Допустим, что мы умеем измерять длины мгновенно. Это разрешено в физике медленных по сравнению со светом движений, в физике Ньютона. И поставим первую простенькую задачку.

Пусть даны две точки А и В - концы разведенных и крепко свинченных ножниц. И пусть расстояние между ними нужно определить по поверхности. Сразу задаем вопрос: по какой поверхности? Ну, сперва по шаровой.

Хорошо. Подставим под ножницы глобус. Кратчайшее расстояние на его сфере физик проведет вдоль нити, натянутой между А и В по шаровой поверхности. Оно отмеряется, очевидно, не прямой линией, а кривой - дугой большого круга.

Далее. Посадим наши точки на какую-нибудь седловидную поверхность. Расстояние, проложенное туго натянутой ниткой, будет пройдено по другой кривой линии - гиперболе.

Если же концы ножниц приложить к поверхности письменного стола, то расстояние между ними отмериться по линии, которую мы привыкли называть прямой.

Вот, кажется, добрались до прямизны. Срезав ножом седло или шар, получаем поверхности, в которых линии кратчайших расстояний - наикратчайшие. Так как будто?

Но можно ли быть абсолютно уверенным, что линия на столе абсолютно прямая? И что сам стол плоский?

Кажется, вопросы надуманные. Кажется, плоскость потому и плоскость, что она прямее всех поверхностей.

В действительности дело обстоит сложнее. Все зависит от пространства, в котором стоит наш стол. Само пространство, с точки зрения геометра, вправе быть искривленным. И в конечном счете именно от кривизны пространства зависят кратчайшие расстояния.