Разгадка поверхности

На плоскости - проще всего. Там все точно по Евклиду. А поэтому строгое соблюдение школьных теорем - верный признак плоскости. Какие треугольники ни строй, всегда сумма углов равна двум прямым. Какие прямоугольные треугольники ни приставляй к расстоянию, всегда соблюдается равенство квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов.

Жаль, что, будучи блином, я сразу не захватил с собой рулетку и транспортир. Имея их, я не возился бы с пересечением геодезических, когда определял, какова моя поверхность. Не ползал бы, не уставал. Начертил бы треугольник, подсчитал бы сумму углов, вышло два прямых - значит, моя поверхность плоская. Или сделал бы проверку по теореме Пифагора. Совпала сумма квадратов катетов с квадратом гипотенузы - есть доказательство плоскости.

Будь моя поверхность неплоская, вышло бы как у геометра-футболиста и геометра-ковбоя. Сумма квадратов катетов больше квадрата гипотенузы ("Пифагоровы штаны" велики) - значит, я на шаре. Сумма квадратов катетов меньше квадрата гипотенузы ("Пифагоровы штаны" малы) - значит, я на седле. Аналогично с суммой углов треугольника. Больше она двух прямых - треугольник начерчен на сфере, меньше - на седле.

Надеюсь, сказанное до сих пор не внушило вам недоверия. Пока шли разговоры о поверхностях, ничуть не удивительно, что их кривизна связана с метрикой. Это - как резиновая игрушка "Уйди-уйди". Вообразите, что тетрадная страничка с геометрическими чертежами тоже резиновая, раздуйте ее в пузырь, натяните на седло или бублик - размеры углов и длин на чертежах тотчас станут другими. Ничего странного^*.

^* ( Мимоходом стоит заметить, что любую поверхность можно деформировать и без изменения законов пересечения геодезических линий, а значит, без изменений метрики. Сложите тетрадный лист, скомкайте его, сверните в трубочку - во всех чертежах расстояния и углы останутся прежними. Чтобы "изнутри" отличить цилиндр от плоскости, потребуются другие соображения. Например, на цилиндре любая геодезическая (кроме образующей) замкнута - либо эллипс, либо круг. Об этой тонкости не надо забывать, но она - лишь частный случай.)

Но через эти простые вещи мы с вами подходим к неизбежности труднейшего логического скачка - с кривой поверхности в кривое пространство. К определению его кривизны изнутри, без оценок "со стороны".