Глава 22. Вдоль пространства

От окна до киоска

Я уже не блин. Мне возвращена высота. Я покинул мир тесных, бесконечно тонких площадей, живу, как и вы, в объеме, в глубоком, раздольном пространстве. Хорошо! Есть где развернуться! Можно не только ползать, но и прыгать и летать. Это очень приятно.

Но мне не до развлечений. В бытность блином я привык беспрерывно исследовать кривизну своего мира, и теперь меня тянет заняться тем же в пространстве.

Прежде всего я намереваюсь придумать способ облачения пустоты в "Пифагоровы штаны" и примерки к ней "треугольной шляпы".

Как это сделать?

Вот легонькая задачка из школьной стереометрии.

От моего окна (на пятом этаже) до газетного киоска на противоположной стороне улицы "на прямую" S метров. По тротуару от моего дома с метров, b - ширина улицы, а - высота моего окна. Требуется найти S, не мешая уличному движению - не протягивая из окна к киоску туго натянутой веревки, а вычислив это расстояние через a b и с.

Решение наипростейшее: считаем, что стена дома составляет прямой угол с поверхностью тротуара, что переход через улицу перпендикулярен к ней самой, пренебрегаем кривизной земной поверхности и дважды применяем теорему Пифагора. Так добываем формулу: S² = а² + b² + с².

Вышло очень похоже на теорему Пифагора, но уже не для плоскости, а для пространства. Для кратчайшего расстояния S, прокладываемого "через пустоту".

Разумеется, a, b и с можно менять, можно строить около расстояния 5 самые разнообразные прямоугольные треугольники. И по традиционной школьной геометрии квадрат расстояния во всех случаях будет равен сумме квадратов его трех взаимно перпендикулярных координатных отсчетов. Поэтому выражение теоремы Пифагора считается главным инвариантом евклидовой геометрии.

От окна до киоска

Очень хорошо, От метрики плоскости мы шагнули к метрике пространства. Но вот существенная тонкость. Наше решение выглядит непогрешимым и единственно возможным. Однако оно предполагает самоочевидное, как кажется, условие: в пространстве существуют плоскости. Именно поэтому мы считали себя вправе дважды применить плоскую теорему Пифагора (она, как говорилось, годится в этом простейшем виде лишь для I плоскостей).

На том же условии нетрудно доказать и другую теорему - о том, что не только в плоских, но и в пространственных треугольниках сумма углов составляет два прямых. Раз уж, согласно Евклиду, через любые три точки пространства можно провести плоскость, то и любой пространственный треугольник обязан быть плоским. Но так ли обстоит дело в действительности? Будут ли впору "прямые" штаны и "прямая" шляпа реальному пространству?

Что ж, из всего этого следует как будто немудрящий рецепт облачения пустоты в "Пифагоровы штаны" и "треугольную шляпу". Надо проделать измерения длин и углов в реальных пространственных треугольниках. И таким способом "испытать пространство на кривизну".