Сфера Пуанкаре

Еще диковина: некоторые неевклидовы пространства могут быть конечными, хоть и безграничными. Расстояния там не превышают некоего определенного значения и, соответственно, не могут существовать сколь угодно большие объемы.

Сфера Пуанкаре

Подобно тому, как яйцо или мяч обладают безграничной поверхностью, но ограниченной площадью, эллиптическое пространство не имеет границ и тем не менее имеет конечный объем. Искривляясь, оно как бы замыкается на себя!

Странно? Очень. Но все же доступно наглядному моделированию.

Французский математик Анри Пуанкаре, один из предшественников Эйнштейна, ухитрился придумать любопытную модель замкнутого сферического пространства. Вот что он советует вообразить.

В шаровом сосуде находится некая среда, в которой плавают предметы и существа, наделенные весьма фантастическими свойствами. При охлаждении и среда и предметы абсолютно одинаково сжимаются, причем при нуле градусов обращаются в точки. Кроме того, световые лучи в этой среде преломляются тем сильнее, чем ниже температура. Шар снаружи заморожен до нуля градусов. А изнутри, из центра, разогрет. И от центра к периферии температура плавно снижается. Еще условие: существо в шаре не должно ощущать перемен температуры. Ему всегда "не жарко, не холодно". Вот и все.

По вашей командировке я обретаю указанные свойства, переселяюсь в шар Пуанкаре (пусть висящий где-то в космосе, в невесомости) и, допустим, обитаю в нем в полном одиночестве. Тем не менее я замечаю вокруг множество человеческих фигур. Всюду я вижу себя и только себя - и впереди, и сзади, и со всех сторон. Световые лучи идут замкнутыми путями. Приближаясь к краям шара, они, плавно преломляясь, заворачивают внутрь, так что эти края невозможно увидеть, даже находясь совсем рядом с ними. Завернув, лучи возвращаются туда, откуда вышли. Вот и получается, что передо мной - моя спина, надо мной - подошвы моих ног, подо мной - моя макушка. Стреляя вперед из светового пистолета, я, если захочу, попаду в собственный затылок.

Разумеется, луч представляется мне прямым. Считая его эталоном прямизны, я не замечаю кривизны своего пространства. Ее нельзя обнаружить и движением: шагая вдоль луча, я открываю лишь существование предельно большого расстояния, так как вскоре возвращаюсь к месту старта. Стенки шара мне совершенно недоступны. Когда я подхожу к ним, то сжимаюсь вместе с окружающей средой, и одновременно сжимаются все расстояния вокруг меня, все длины, все высоты. В любой точке шара я не замечаю изменения своих размеров. Поэтому всюду я воспринимаю окружающее пространство так, будто нахожусь в его центре. И не вижу нигде никаких границ своего маленького мирка. Он конечен по объему, но для меня безграничен. Очень красивая модель!

Как это ни парадоксально, шар Пуанкаре, быть может, кое в чем схож с нашей необозримой Вселенной. Но об этом потом.