Два варианта кривизны

Итак, мы с вами добрались до кривого пространства. Научились, кажется, устанавливать изнутри него сам факт кривизны: об этом может свидетельствовать нарушение евклидовских метрических теорем.

Геометры идут дальше: они умеют предсказывать, как именно изменится теорема Пифагора и сумма углов треугольника в пространствах, искривленных по-разному. Рассуждения похожи на те, что я вел, будучи блином на неизвестной поверхности. Например, если а² + b² + с² меньше, чем S², а сумма углов треугольника меньше двух прямых ("Пифагоровы штаны" и "треугольная шляпа" для пустоты "малы"), то пространство гиперболическое. Вместо плоскостей в нем седловидные поверхности, вместо прямых - гиперболы. Этот вариант неевклидовой геометрии и был разработан Лобачевским.

Другая геометрическая система, развитая замечательным немецким математиком Георгом Риманом, получится, если а² + b² + с² выйдет больше, чем S², а сумма углов треугольника превысит два прямых. Эта геометрия называется эллиптической. В ней вместо плоскостей - поверхности вроде яичной скорлупы или мяча, вместо прямых - дуги больших эллипсов или, соответственно, больших кругов.

Позволю себе повторить еще раз: в плавно искривленном пространстве все геодезические линии представляются прямыми. "Истинных" же прямых там нет, их невозможно провести. Любая неизбежно согнется, как обязательно согнется нить, натянутая по сфере. Причем, если пространство искривлено неравномерно, в разных местах по-разному, то и прямейшие геодезические линии в разных точках согнутся неодинаково. При движении вдоль геодезической ее "волнистость", конечно, незаметна. Всюду эта линия выглядит одинаково прямехонькой. Однако стоит испытать в разных местах метрические правила, как обнаружатся изменения, отклонения от привычной евклидовской "нормы".

Короче говоря, в неравномерно-неевклидовом пространстве от точки к точке меняется метрика, приемы определения расстояний. Меняется теорема Пифагора. В общем виде простая формула ее заменяется более сложной, включающей величины, которые характеризуют кривизну пространства в разных его местах. И, как следствие, в разных местах такого пространства оказываются разными длины предметов, кратчайшие расстояния между точками.

Вот какие чудеса допускают геометры в неевклидовом пространстве!