Вычисления без вычислений

 Если математика - это искусство избегать
 вычислений, то теоретическая физика - 
 это искусство обходиться без математики.

Из разговора

Вычисления без вычислений

Как работают физики-теоретики на первой, самой важной стадии работы, когда делается качественный анализ поставленной задачи? Как мы увидим, при этом почти без всяких вычислений получаются грубые соотношения между входящими в задачу величинами, проясняется физическая картина явления и возникает проект ожидаемого решения. Следующая стадия - получение точных количественных соотношений с помощью математического аппарата теории - целиком опирается на первую. Не имея предположительного проекта решения, без качественного анализа нельзя приступать к поискам точного результата. Действительно, удается доказать только те утверждения, которые были заранее угаданы. Из этого правила почти не бывает исключений. Анри Пуанкаре писал: "Догадка предшествует доказательству. Нужно ли указывать, что именно так были сделаны все важные открытия?"

Поиски истины

Один из главных элементов качественного анализа - решение задачи на упрощенных моделях, в которых отброшено все несущественное,- усложнять решенную задачу несравненно проще, чем сразу решать сложную.

Размерные оценки

В некоторых случаях многое проясняет простой размерный анализ - размерные оценки входящих в задачу величин и возможные соотношения между ними. Докажем, например, теорему Пифагора из размерных соображений. Из размерности следует, что площадь прямоугольного треугольника можно записать как квадрат гипотенузы с², умноженный на некую функцию угла f(α) (пусть для определенности а есть угол между гипотенузой с и большим из катетов). То же самое относится к площадям двух подобных прямоугольных треугольников, для которых гипотенузами будут катеты а и b исходного треугольника, а его высота, опущенная из прямого угла, есть общий катет. Поэтому

Сокращая на f(α), получаем теорему Пифагора.

Оценим период колебаний маятника. Предположим для простоты, что тяжелый груз с массой m подвешен на легком стержне, массой которого можно пренебречь. Прежде всего выясним, какие величины могут входить в выражение для периода колебаний. Поскольку сила, движущая маятник к положению равновесия,- это сила тяжести, то период может зависеть от ускорения силы тяжести g и от массы маятника m. Кроме того, может войти также длина маятника l. Разумеется, такие величины, как температура и вязкость воздуха, несущественны, если мы пренебрегаем затуханием маятника. Не войдет в задачу также и скорость вращения Земли, если мы не учитываем ускорения Кориолиса, которое возникает от движения точки подвески маятника вместе с Землей. Ничего не поделаешь, чтобы упростить задачу, надо знать, чем можно пренебречь! Из трех оставшихся величин - g, m, l - можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность времени. Эта величина равна √(^l/_g), а следовательно, период Т равен T = a√(^l/_g).

Масса m не вошла в задачу. Безразмерная константа а не может быть найдена из размерных соображений, можно только сказать, что она не очень велика и не очень мала - порядка единицы. Действительно, эта величина должна быть найдена из решения не написанного нами уравнения движения маятника, а числа, возникающие из решения уравнений, встречающихся в физике, как правило, оказываются порядка единицы. Точное вычисление дает для а величину 2π. Таким образом, мы без вычислений, пользуясь только размерным анализом, получили, что период колебаний маятника не зависит от его массы и пропорционален корню квадратному из его длины. Кроме того, мы нашли также и примерную величину периода колебаний.

Обобщенный осциллятор

Во всех областях физики встречаются задачи, связанные с колебаниями около положения равновесия. Такая система независимо от ее устройства называется "осциллятором" - она осциллирует около положения равновесия. Простейший осциллятор - грузик на пружине или маятник; более сложный - натянутая струна, у нее может быть много типов колебаний: колебания с пучностью посередине (основной тон), с одним узлом, двумя узлами и так далее (обертоны). Струна - набор осцилляторов разной частоты. Аналогичный пример - столб воздуха в органной трубе - его можно заставить колебаться с наинизшей частотой - основной тон,- или с более высокой, когда в некоторых точках воздушного столба частицы воздуха будут неподвижны - аналог узлов в колебаниях струны.

Обобщенный осциллятор

Общее для всех осцилляторов заключается в том, что энергия колебательной системы состоит из двух слагаемых. Одно пропорционально квадрату отклонения осциллятора от положения равновесия - это потенциальная энергия. Если q - величина отклонения от положения равновесия, то потенциальная энергия равна

Коэффициент γ называется "жестокостью" осциллятора. Второе слагаемое - кинетическая энергия - может быть записано в виде T = ^βq'2/₂, где q' - скорость изменения величины q во времени. Величину р можно назвать "массой осциллятора". Если отклонить осциллятор от положения равновесия на величину q₀, то запас потенциальной энергии будет U = ^γq₀2/₂. Поскольку осциллятор стремится вернуться в состояние равновесия, эта потенциальная энергия начнет переходить в кинетическую, а когда осциллятор будет проходить положение равновесия, вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую. При этом скорость осциллятора q' максимальна. По инерции он проскочит положение равновесия, и в точке -q₀ вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную, и затем опять начнется движение в сторону равновесия. Как бы ни был конкретно устроен осциллятор, его угловая частота колебаний ω (ω = ^2π/_Т) выражается следующим образом через жесткость γ и массу β:

В случае маятника роль жесткости играла величина g, а "массы" - длина маятника l. Таким образом, можно рассмотреть сразу все осцилляторы независимо от их физической природьь

Вот еще один осциллятор, совсем непохожий на предыдущие, но и к нему применимы те же формулы. Концы катушки из хорошо проводящей проволоки присоединены к конденсатору. Энергия такой системы состоит из двух слагаемых: энергии магнитного поля в катушке и энергии электрического поля, пропорциональной квадрату заряда Q, который в данный момент находится на обкладках конденсатора. Если заряд Q рассматривать как координату осциллятора, то энергия конденсатора будет играть роль потенциальной энергии. Энергия магнитного поля катушки пропорциональна квадрату силы тока, текущего в данный момент по катушке. Но сила тока равна скорости Q' изменения заряда конденсатора со временем. Энергия магнитного поля пропорциональна Q'² и соответствует кинетической энергии. Такой осциллятор называется "электрическим колебательным контуром".

Если в катушку вдвинуть, а затем вынуть магнит, в цепи возникнут электромагнитные колебания - магнитная энергия будет переходить в электрическую и наоборот. Чем меньше сопротивление проволоки в катушке, тем медленнее будут затухать колебания. Если катушка сделана из сверхпроводника, колебания практически не будут затухать.

Как угадать решение?

Можно иногда выяснить свойства решения, прежде чем будет построена теория, до того как найдены уравнения, описывающие явления. Это пример более сложного анализа размерностей, чем в случае осциллятора.

Одна из труднейших и нерешенных задач теоретической физики - связь гравитационных и электродинамических явлений.

Если такая связь существует, то в результате решения каких-то еще не найденных уравнений будет получено безразмерное число, дающее соотношение между гравитационной постоянной G и величинами, характеризующими электричество, такими, как скорость света с, заряд электрона е и его масса m. Если существенны квантовые явления, в задачу может войти еще постоянная Планка h, которая, как мы видели, характеризует скачки энергии электромагнитных колебаний. Зная размерности величин G, с, е, m, h, нетрудно убедиться, что из этих величин можно составить только две независимые безразмерные комбинации:

Первая из них хорошо известна и называется "постоянной тонкой структуры". Подстановка числовых значений дает α = ¹/₁₃₇; ξ = 5*10⁴⁴. Может ли такое большое число, как ξ, возникнуть в результате решения каких-нибудь разумных уравнений? Безразмерные числа, которые получаются в физических задачах, обычно имеют порядок нескольких единиц или долей единицы. Поэтому мы вправе ожидать, что величина ξ войдет в задачу в такой форме, чтобы в результате получилось число порядка единицы. Пока мы применяли здравый смысл. Теперь нужно сделать небольшой интуитивный логический скачок.

Поиски истины

Правдоподобно, что в теорию войдет натуральный логарифм ξ (lnξ ~ 100) в комбинации αlnξ ~ 1. В этом соотношении уже нет больших чисел. Знание такого соотношения облегчает поиски решения.

Поправки к электродинамике в сильном поле

Это более сложная задача, которая даст некоторое представление о важном методе современной физики - графиках Фейнмана. Метод графиков или диаграмм совершил революцию в теоретических расчетах. Суть его состоит в том, что явления изображаются в виде рисунков, которые расшифровываются в конце работы. Даже без расшифровки, только как иллюстрация процессов, эти графики многое разъясняют. Например, такой рисунок означает рождение и уничтожение пары электрон - позитрон фотоном, если под пунктиром понимать квант, а под линиями с разными стрелками - электрон и позитрон. Точки на графике означают акт взаимодействия кванта с электроном. Каждый акт вносит множитель е, а весь график показывает, как изменяется закон распространения электромагнитного поля из-за временного рождения пары электрон - позитрон.

Вакуум представляет собой сложную среду, в которой могут виртуально - на время - рождаться пары частиц - античастиц. Особенно ясно это станет после прочтения следующей главы. Поэтому нет никаких оснований считать, что уравнения Максвелла останутся линейными для сколь угодно сильных полей. Оценим порядок величины поправок к этим уравнениям.

Поправку к уравнениям Максвелла лучше всего оценивать по изменению безразмерной величины - диэлектрической постоянной, скажем, в электрическом поле.

Отчего изменяется диэлектрическая постоянная, определяющая скорость распространения света в вакууме в присутствии внешнего поля? Ведь внешнее поле на свет не действует. Механизм состоит в том, что свет на время рождает электрон-позитронную пару, а эти частицы уже взаимодействуют с внешним полем.

На рисунке процесс выглядит так:

Этот рисунок показывает, как изменяется во внешнем поле закон распространения фотона.

Квант на время рождает пару, а электрон и позитрон взаимодействуют с внешним полем (волнистая линия). Каждое включение внешнего поля вносит множитель еЕ, где Е - напряженность внешнего поля.

Теперь нетрудно составить безразмерную комбинацию, дающую поправку к диэлектрической постоянной. Сначала составим безразмерную комбинацию, содержащую поле Е. Так как еЕ имеет размерность энергии, деленной на длину, а величина ^h/_mc - размерность длины, то выражение

безразмерно.

Теперь, глядя на рисунок, нетрудно догадаться, как должна выглядеть поправка к диэлектрической постоянной:

где f - произвольная функция. Заряд е входит в первый множитель квадратично, так как предварительно была рождена пара, а поле Е входит в функцию в безразмерной комбинации β. При сравнительно малых полях функцию f можно разложить в ряд. Он начнется с члена ~Е², ведь Е - вектор, а в ответ может входить только скалярная величина, то есть только квадрат вектора Е.

Итак,

Первый множитель ^e2/_hc = ¹/₁₃₇. Величина же Е_к = ^m2c3/_eh имеет размерность напряженности поля. Она численно равна 10^16В/см.

Даже если приложить громадное поле Е ∼ Е_к, то и в этом случае поправка к уравнениям Максвелла будет ∼ ¹/₁₃₇.