20. Дайте мне точку опоры!

А Нашим ближайшим потомкам понадобилось исправить орбиту Земли (потомкам все может понадобиться). Могут ли им для этой цели пригодиться современные ракеты?

Усердие все превозмогает!

Козьма Прутков "Мысли и афоризмы", № 84.

Б Исправление орбиты Земли - грандиозный проект. Поэтому не следует смущаться трудностями его осуществления: числом и мощностью ракет, необходимостью крепить их к "полезному грузу" - Земле - на мачтах, выступающих за атмосферу, и т. д. Следует только показать, осуществим ли этот проект принципиально. Как повлияет на ваши расчеты, например, то обстоятельство, что скорость истечения газов из современных химических ракет составляет величину порядка 2,5 ^км/_с?

Бывает, что усердие превозмогает 
и рассудок.

Козьма Прутков "Мысли и афоризмы", № 27а.

В В соответствии с третьим законом Ньютона силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Снаряд и пушка движутся после выстрела в разные стороны. В соответствии с законом сохранения количества движения оба тела после взаимодействия движутся таким образом, что их общий центр масс продолжает вести себя так же, как он вел себя до взаимодействия тел. Если до выстрела центр масс системы пушка - снаряд был неподвижен, то он будет неподвижен и после выстрела. Количество движения снаряда (и пороховых газов) m₁v₁ равно по величине и противоположно по направлению количеству движения пушки m₂v₂. Тогда ^v₁/_v1 = ^m₂/_m1. Центр масс меньшего тела удаляется в одну сторону с большей скоростью, центр масс большего тела - в другую с меньшей скоростью. Общий центр масс остается неподвижным, как это следует из того, что он должен делить расстояние между двумя массами на части, обратно пропорциональные этим массам. Если пушка стреляет на ходу, то общий центр масс системы пушка - снаряд продолжает двигаться в ту же сторону и с той же скоростью, с какой он двигался до выстрела.

Представим теперь, что снаряд соединен с пушкой пружиной. Вылетев из пушки, он растягивает пружину, затрачивая на это свою кинетическую энергию. Израсходовав ее полностью, снаряд остановится, после чего пружина вернет его (а также и пушку) на старое место. Правда, если энергии снаряда достаточно, чтобы разорвать пружину, то снаряд все-таки улетит с некоторой скоростью и не вернется на старое место, равно как и пушка будет откатываться от старого места с некоторой остаточной скоростью.

Рассмотрим ракету, движущуюся в космосе по некоторой орбите. При включении двигателей ракета меняет свою орбиту, хотя общий центр масс системы реактивная струя - ракета продолжает двигаться по старой орбите. Если бы, однако, ракета и струя газов были связаны какой-то пружиной, то она вернула бы газы и ракету на первоначальную орбиту. Отсутствие такой пружины и позволяет ракете изменить орбиту.

Перейдем к интересующей нас задаче. Пристроим ракетные двигатели к Земле. Чтобы земная атмосфера не тормозила струю газов, установим ракеты на башнях высотой в сотни километров (после задачи 17 такие размеры башни уже не могут нас смутить). Пусть нам нужно приблизить Землю к Солнцу. Тогда мы должны затормозить ее (см. задачу 22). Для этого надо направить реактивную струю туда, куда движется Земля, т. е. на 90° западнее Солнца. Силой отдачи струи Земля начнет "откатываться" назад по орбите, т. е. уменьшать свою орбитальную скорость.

Но вот в чем беда: газы струи и Земля связаны мощной "пружиной" - тяготением. Преодолевая силы тяготения, газы струи теряют свою кинетическую энергию. Чтобы разорвать "пружину" земного тяготения, как известно, требуется скорость 11,2 ^км/_с. Струя газов не обладает такой скоростью: в ее распоряжении всего лишь 2,5 ^км/_с. Следовательно, поднявшись на некоторую высоту, молекулы газа вновь начнут падать на Землю (по эллиптическим траекториям, в фокусе которых находится центр масс Земли). Второй конец "пружины" - сила, с которой молекулы притягивают Землю,- заставит последнюю "падать на молекулы", т. е. вернуться на первоначальную орбиту. Чтобы не осложнять задачу, мы не учитываем давление солнечных лучей на молекулы и влияние магнитного поля Земли на ионы и электроны, из которых в значительной степени состоит горячая струя.

Таким образом, пока не будут использованы ракетные топлива, обеспечивающие скорость струи выше 11,2 ^км/_с, изменить орбиту Земли невозможно.

Попробуем, однако, быть предельно строгими. Скорость молекул струи, равная 2,5 ^км/_с,- это только средняя скорость. Следовательно, в струе имеются и более медленные, и более быстрые молекулы. Есть и такие, скорость которых в пять раз превосходит среднюю. Они преодолеют земное тяготение и, следовательно, изменят орбиту Земли. Но таких молекул ничтожно малое количество.

На рис. 14 показано распределение молекул газа по скоростям (распределение Максвелла, которое строго верно для газа, находящегося в покое, и не совсем - для вытекающего из сопла). Кривая А отражает наш случай, когда средняя скорость молекул равна 2,5 ^км/_с. По оси абсцисс отложена скорость молекул, по оси ординат - их относительное количество для каждого значения скорости. Если площадь между кривой и осью абсцисс принять за 100% (полное число молекул), то заштрихованная площадка показывает процент молекул, скорость которых больше некоторой и, но меньше v + Δv. Очевидно, средней скоростью v_ср является такая, при которой площадь графика делится на две равные части: половина молекул имеет скорость меньше средней (левее прямой DE), половина - больше (правее DE). Максимум графика соответствует наиболее вероятной скорости v_вер (эти две скорости всегда связаны соотношением v_ср = 1,22 v_вер).

Рис. 14

Из графика видно, что кривая в области больших скоростей довольно быстро прижимается к оси абсцисс (хотя теоретически нигде с ней не сливается). Поэтому число молекул правее прямой FG, соответствующей второй космической скорости v_2к = ll,2 ^км/_с, ничтожно мало (по графику его даже не определить, нужно считать по формуле), порядка 10^-9 %. И даже если бы средняя скорость была вдвое больше (кривая В), то и тогда правее FG число молекул все еще было бы только 0,01%.

Таким образом, при иср=2,5 км/с покидает Землю лишь одна молекула из ста миллиардов, причем скорость этой молекулы почти полностью уже растрачена на преодоление земного тяготения. Для того чтобы за счет таких молекул изменить сколько-нибудь заметно орбиту Земли, пришлось бы превратить в ракетное топливо почти всю планету (кстати сказать, это уже не удовлетворяет условию задачи: современные ракеты не могут использовать в качестве топлива песок и глину). Жалкие остатки нашей планеты (окруженные к тому же атмосферой из ядовитых продуктов работы двигателей), которые после этой операции пойдут по новой орбите, вряд ли можно будет продолжать называть планетой Земля.

А нельзя ли затормозить Землю не струей ракеты, прикрепленной к Земле, а "струей", состоящей из ракет, покидающих Землю? Ведь космические ракеты, работающие на современном топливе, способны развить скорость выше 11,2 ^км/_с. Если общий центр масс Земли и ракеты, ушедшей к Марсу, продолжает двигаться по старой орбите, то, следовательно, Земля движется по новой! Дадим залп из миллиарда ракет!

Нетрудно сообразить, что этот способ мало чем отличается от предыдущего. Ракета на современном топливе для достижения нужной скорости должна быть многоступенчатой. Все ступени (и отработанные ими газы), кроме последней, "пружиной" тяготения возвращаются на Землю. Масса же последней ступени, покидающей Землю и поэтому влияющей на орбиту Земли, составляет по-прежнему ничтожно малый процент от первоначальной массы ракеты. Читатель Мелешкевич (Тульская обл.) предложил такой оригинальный способ. Построим башню, подобную построенной в задаче 17, высотой в 19 земных радиусов (120 000 км). На такой высоте вторая космическая скорость v_2к = 2,5 ^км/_с.Следовательно, если ракету укрепить на вершине башни, то половина молекул будет покидать Землю. Это ценное предложение.

Применительно к распределению Максвелла оно означает следующее. Мы не можем пока растянуть кривую вправо так, чтобы половина молекул оказалась правее FG (кривая С). Для этого понадобилось бы увеличить v_ср в 4,8 раза, т. е. температуру газа в 4,8² ≈ 23 раза. Ну что ж, не можем сдвинуть кривую вправо, тогда давайте сдвинем прямую FG влево! Так, чтобы она совпала с DE. При этом нужный нам результат будет достигнут: половина молекул покинет Землю. И хотя этот вариант не совсем равноценен варианту с кривой С, тем не менее он увеличивает эффективность во много раз. Во-первых, число молекул, покидающих Землю, возрастает примерно в 50 млрд. раз (дополнительным преимуществом является то, что атмосфера меньше загрязняется). Во-вторых, скорости молекул будут меньше растрачены в поле земного тяготения. И то, и другое благоприятствует решению задачи. Правда, понадобятся затраты энергии для того, чтобы ракетное топливо доставлять на башню. Но можно показать (да вы и сами чувствуете это), что затраты будут меньше, чем в предыдущих проектах, так как к. п. д. транспорта даже в худшем случае будет порядка 1%, а к. п. д. в первом варианте не превосходил 10^-9 %. А если башня (точнее, две башни по обе стороны Земли, иначе вместо укорочения года получим укорочение суток) стоит на экваторе, то затрачивать энергию на подъем топлива нужно только на первых 36 000 км. На больших высотах вступает в действие двигатель из задачи 17, который облегчит решение... Нет, к сожалению, не облегчит. В задаче речь идет о наших ближайших потомках. А им не под силу построить такую башню. В задаче 17 она предлагалась для далекого будущего, настолько далекого, что даже невозможно предсказать, когда оно наступит и наступит ли вообще. Но в столь отдаленном будущем химические ракеты для такой цели вряд ли будут использоваться. Возможно, что они даже будут забыты^*).

^*) (Читатель Михайлов предложил изменить орбиту Земли путем быстрого устранения Луны. При этом нужно израсходовать в качестве топлива всего лишь ¹/₃ массы Луны, а орбитальная скорость Земли (30 000 ^м/_с) изменится на целых 13 ^м/_с. Читатель Окунев (Киев) предложил изменить орбиту Венеры путем торможения (ядерными взрывами) одного из спутников Сатурна и точного попадания этим спутником в нужную точку Венеры. Конечно, в этих проектах не соблюдаются условия задачи (современность ракет). И, кроме того, удары по небесным телам, скорее всего приведут к разрушению и Луны, и спутника Сатурна, и Венеры. Однако в смелости полета фантазии читателям не откажешь. Жаль только Луну, уж больно она симпатичная.)

Вернемся в нашу задачу, к ближайшим" потомкам. Двигатели, дающие скорость струи выше 11,2 ^км/_с, более полезны для решения задачи.

Такими двигателями будут ионные (пока что их мощность и к. п. д. весьма малы и они. применяются лишь для коррекции орбит спутников и кораблей) и фотонные. Ионные двигатели извергают струю заряженных частиц - ионов и электронов, ускоряемых с помощью электрических и магнитных полей. При этом легко достижимы скорости в десятки тысяч километров в секунду (электрон уже при ускоряющем поле в 100 В приобретает скорость 5930 ^км/_с). Гигантские ускорители заряженных частиц, направленные жерлами в небо, весьма перспективны как двигатели для Земли.

Фотоны излучаются со скоростью 300 000 ^км/_с. Вы можете уже сейчас без особого труда изменить орбиту Земли, включив карманный фонарик и направив струю фотонов в небо на достаточно большое время^*). Только делать это следует при ясном небе, иначе фотоны отразятся от туч обратно, а чтобы ваше предприятие было успешным, фотоны должны покинуть Землю.

^*) (Для недогадливых: автор шутит. Хотя в принципе он и прав, т. е. орбита Земли при этом изменится, но так мало, что всерьез об этом говорить нельзя. Кроме того, несогласованность действий отдельных читателей друг с другом приведет к тому, что они будут сдвигать Землю в разных направлениях. Наконец, отражающие солнечный свет естественные зеркала - водные поверхности (да и суша) - делают это сильнее, чем все читатели, вместе взятые.)