22. Хочешь быстрее - тормози!

А Космический корабль-спутник совершает вокруг Земли 10 оборотов в сутки. По каким-то соображениям ему нужно ускорить свое движение так, чтобы совершать 12 оборотов в сутки. Что должен сделать космонавт: ускорить или затормозить корабль?

Б Космонавт должен затормозить корабль, к удивлению тех, кто хорошо знает законы движения наземного транспорта, но не знаком с космонавтикой. Доказать это можно с помощью законов Кеплера.

В Третий закон Кеплера применительно к системе Земля - спутник гласит: "Квадраты времен обращения спутников вокруг Земли пропорциональны кубам их средних расстояний от центра Земли". Отсюда следует, что для уменьшения периода обращения необходимо уменьшить среднее расстояние Земля - спутник. Под средним расстоянием r_ср необходимо понимать среднее арифметическое из наибольшего расстояния r_А (в апогее) и наименьшего r_Р (в перигее). Пусть для простоты первоначальная орбита спутника была круговой (D на рис. 17). Тогда среднее расстояние равно просто радиусу орбиты:

Рис. 17

Для эллиптической орбиты В

следовательно, по орбите В спутник будет совершать оборот быстрее, чем по орбите D.

Как же перейти с орбиты D на орбиту В? Для этого спутник, движущийся по круговой орбите D, надо затормозить в момент прохождения через точку А. Тогда его скорости будет недостаточно Для продолжения кругового движения, и он начнет снижаться по кривой В. При снижении часть потенциальной энергии спутника преобразуется в кинетическую, отчего скорость его движения в перигее Р возрастает. Избыток кинетической энергии заставляет его вновь подняться в апогей А, и т. д.

Рассчитаем, любопытства ради, первоначальную и окончательную орбиты спутника, упоминавшегося в условиях задачи. Из третьего закона Кеплера

следует, что радиус орбиты спутника

можно найти по его периоду обращения t₁, если известны радиус орбиты r₂ и период обращения t₂ какого-нибудь другого спутника Земли. Можно использовать в качестве второго спутника Луну (r₂ = 384 400 км, t₂ = 27,32 сут) или самый близкий из теоретически возможных (при отсутствии атмосферы) искусственных спутников Земли (r₂ = 6380 км - радиус Земли, v = 7900 ^м/_с, t₂ = ^2πr2/_v = ^(40*106)/₇₉₀₀ = 5070 с = 84,5 мин).

Принимая во внимание, что t₁ = ¹/₁₀ сут = 144 мин = t_D, имеем для радиуса орбиты спутника

т. е. спутник находится на высоте

Найдем теперь среднее расстояние спутника от Земли после торможения (t_B = ¹/₁₂ сут = 120 мин):

Перигейное расстояние

т. е. высота перигея

Рассмотренный маневр космического корабля можно применять для того, чтобы догнать другой корабль. Допустим, на одну и ту же круговую орбиту D (рис. 17) выведены два корабля К₁ и К₂. Они несут на себе различные детали спутника, которые надо собрать воедино. Для этого следует кораблю K₁ догнать корабль К₂. Если на орбите D корабль К₁ отстает от К₂ на 1 мин пути, то корабль К₁ должен затормозить свое движение, чтобы перейти на такую орбиту Б, на которой время обращения на 1 мин меньше, чем на орбите D. Тогда ровно через один оборот (по орбите В) корабль K₁ догонит корабль К₂ в точке А. Таким образом, чтобы догнать впереди идущий спутник, задний должен уменьшить свою скорость.

Ту же задачу можно решить путем увеличения скорости впереди идущего корабля К₂. Тогда корабль К₂ пойдет по орбите С. Если приращение скорости выбрано правильно, то после одного оборота корабли встретятся в точке К₂.

Не следует, однако, думать, что догнать корабль можно только таким способом. Описанный способ - самый экономичный по расходу топлива и самый простой для штурмана. Если же топлива много или если случай аварийный (нужно догнать немедленно!), то задний корабль может увеличить скорость, а возникающую при этом тенденцию корабля перейти на более высокую орбиту надо пресечь с помощью некоторой переориентации реактивной струи (см. следующую задачу).