32. Космический баскетбол

А Два космонавта вышли из корабля поразмяться с баскетбольным мячом. (Как относится к такой игре космическая спортивная медицина, автору не известно.) Играют они по упрощенным правилам: перебрасываются мячом, пока один из них не удалится от корабля на некоторое "штрафное" расстояние, означающее проигрыш. Пользоваться двигателями нельзя до окончания игры. Опишите ход игры и определите, могут ли такие правила игры считаться справедливыми.

Не во всякой игре тузы выигрывают!

Козьма Прутков "Мысли и афоризмы", № 71а.

Б Правила игры несправедливы, если выигрывают не за счет спортивных качеств (силы, ловкости, сообразительности), а за счет какого-либо отклонения физических данных: роста, веса и т. д. Например, если бы на ринге (ковре, помосте) допустили к соревнованию между собой боксеров (борцов, штангистов) различных весовых категорий, то это было бы несправедливо по отношению к атлету более легкого веса.

В Итак, игроки заняли исходные позиции в одном метре от корабля и друг от друга. Судья - в корабле. Свисток! - и спортсмены... остаются на местах, так как в вакууме звук не распространяется.

Разумеется, это шутка. Судья подает световой сигнал (или же свисток по радио). Первый игрок бросает мяч в сторону партнера и... оказывается в проигрыше, так как сила реакции отбрасывает его в противоположную сторону, к штрафному рубежу^*). Достаточно второму игроку уклониться от мяча, как первый терпит поражение. Итак, за право первого броска бороться не стоит. Ну, что ж, судьбу первого броска, как и на Земле, можно решить жребием, только космическое счастье противоположно земному.

^*) (Бросив, например, мяч массой 1 кг со скоростью 10 ^м/_с, космонавт массой 100 кг полетит в противоположную сторону со скоростью 0,1 ^м/_с (точнее, относительно судьи мяч полетит со скоростью 9,9009900 ^м/^с, а космонавт - в обратную сторону со скоростью 0,0990099 ^м/_с).)

Впрочем, сумеет ли противник уклониться от мяча? Ведь пользоваться двигателем запрещено, а без двигателя спортсмен не может уйти в сторону, он может только изогнуться. И если вы бросили в него мяч без промаха, то удар мяча придаст сопернику приблизительно такое же количество движения, какое первому придал бросок, при условии, что противник схватил мяч. Если же мяч отскочил от него обратно, то количество движения, переданное противнику, будет даже вдвое больше! Следовательно, противник должен во что бы то ни стало поймать летящий в него мяч, иначе он проиграл: удаляясь со скоростью, вдвое большей, он выйдет в аут первым! Игра приобретает спортивный интерес.

Мяч пойман. Что делать: бросать его или держать? Если бросать, то поточнее: промах равносилен поражению, так как приводит к удвоению скорости бросившего и не прибавляет скорости первому игроку. А если не бросать? Тогда у второго сохраняется преимущество, полученное на старте: первый игрок начал удаляться раньше на 0,1 с (время пребывания мяча в полете t = 1 м : 10 ^м/_с = 0,1 с). Хватит ли этого преимущества для победы? Вполне хватило бы, если бы оба игрока после первого броска удалялись с одинаковыми скоростями (относительно корабля).

Позвольте, а почему скорости неодинаковы? Ведь мяч встретился со вторым игроком в точности с той же скоростью, c какой расстался с первым? Нет, ко второму игроку он пришел со скоростью 10-0,1 = 9,9 ^м/_с, хотя относительно первого его скорость, равна 10 ^м/_с (ведь первый уже удаляется Со скоростью 0,1 ^м/_с). Это дает второму дополнительное преимущество: схватив летящий в него мяч, он приобретет скорость только 0,098 ^м/_с. Но может быть и другая причина неравенства скоростей! массы обоих игроков могли оказаться разными, и тогда игрок с меньшей массой приобрел бы большую скорость. Следовательно, игра несправедлива: выигрывает более массивный (правда, может выиграть и легковес, но за счет неспортивного поведения: он должен словчить и прихватить с собой в карман груз поувесистее).

Впрочем, в земном баскетболе тоже мало справедливости. Правда, там масса дает мало преимуществ, но зато их определяет такой далеко не спортивный фактор, как рост.

Вернемся, однако, с грешной земли на небо. Чтобы пресечь злоупотребления и уравнять шансы игроков, нужно перед началом состязания уравнять их массы. Такое дополнение к правилам делает игру более справедливой^*). А если дополнить их еще условием, что игрок не имеет права держать мяч, допустим, более 5 с, то второй игрок лишается преимущества, накопленного в начале игры: бросая мяч первому, он увеличивает свою скорость. Однако до справедливости еще далеко. Второй игрок может соблюсти правила, но бросить мяч с такой малой скоростью, что тот не окажет на него сколько-нибудь заметного воздействия (и, разумеется, не долетит до первого игрока). Более того, второй может схитрить: бросить мяч в противоположную сторону. Этим он остановит собственное движение и предоставит первому игроку верный проигрыш. Нужно ввести еще два правила: скорость мяча относительно бросающего должна быть не меньше, например, 5 ^м/_с, угол отклонения траектории мяча от направления на противника не должен превосходить, допустим, 10°. Как видите, чтобы следить за соблюдением правил, судье понадобятся уже локатор и вычислительная машина.

^*) (Для полной справедливости массу первого игрока следовало бы сделать большей (добавить в карман массу мяча), чтобы компенсировать те потери, которые он будет нести на протяжении всей игры: ведь в каждой новой паре бросков его бросок будет первым, т, е, менее выгодным.)

А еще нужно расположить игроков так, чтобы прямая, их соединяющая, была перпендикулярна направлению на Солнце. Тогда мяч для каждого из игроков будет выглядеть одинаково (полумесяц). Иначе для одного из игроков мяч будет представляться узким серпом, а остальное будет черным, как космическое небо, и поэтому почти невидимым (эффект покрытия мячом звезд и обратный эффект освещения мяча отраженным от корабля и космонавтов светом невелики). Для второго же игрока черным будет только серп, а остальное - ярким, что несправедливо.

Итак, в этой игре, по-видимому,' проиграет тот, кто промахнется или не сумеет схватить идущий на него мяч. Ну, а если игроки бросают мяч без промаха? После каждого броска относительная скорость разбегания игроков возрастает. В конце концов она станет настолько большой, что сравняется с той скоростью, какую игроки способны придать мячу. Мяч "выбывает из игры": при очередном броске он останется в поле, не в силах достичь адресата.

На каком броске это случится? На сотом? Так кажется только невнимательному читателю, считающему, что если от первого броска игрок приобрел скорость 0,1 ^м/_с, то 10 ^м/_с он наберет за сто бросков (по 50 бросков с обеих сторон). Если бы это было так, то достаточно было бы с обеих сторон по 25 бросков: ведь каждый бросок увеличивает скорость обоих игроков. Но это не так: каждый последующий бросок придает игрокам всё меньшую добавку скорости, так как скорость разбегания игроков растет, и мяч, бросаемый с одной и той же скоростью относительно бросающего, будет достигать принимающего каждый раз с меньшей скоростью, что затянет процесс теоретически до бесконечности.

На практике игра не бесконечна: она закончится на том броске, скорость которого случайно окажется меньше требуемой (из-за неумения игроков выдерживать постоянство скорости бросания). Впрочем, может оказаться, что игра наскучит еще раньше: игроки разлетятся на большое расстояние, мяч в полете будет находиться утомительно долго, а там, смотришь, произойдет промах, после которого придется прекращать игру, включать двигатели и догонять мяч^*).

^*) (Любопытно, что в игре спортсмены могут только удаляться друг от друга. Сблизиться за счет перебрасывания мячом невозможно. И только если игроков много, то некоторые из них могут сблизиться за счет бросков крайним игрокам, которые будут удаляться. Если же перебрасываться как попало, то разлетится вся команда. Именно так разлетаются молекулы газа, выпущенного в вакуум (правда, у них нет мячика, они сами играют роли мячиков и игроков).

И, наконец, космогонический нюанс: если группа будет очень большой, то за счет взаимного тяготения игроки своими телами образуют планету или звезду, отчего им не поздоровится.)

Любопытно познакомиться с техникой броска. Прежде всего, в невесомости мяч между игроками летит равномерно и прямолинейно^*) (относительно игроков, но не относительно Земли). Значит, земные параболы и баллистические кривые нужно забыть, и чем скорее, тем лучше для игры. Прицеливаться в игрока нужно без всяких поправок на криволинейность полета. Но если вы для удобства прицеливания будете бросать мяч с уровня глаз, то будете наказаны: в момент броска ваше тело придет во вращение, ногами вперед. Вы увидите Вселенную вращающейся вокруг вас. Это весьма лестное для вас обстоятельство помешает, однако, следить за партнером, принимать от него мяч и правильно его отпасовывать. Кроме того, не известно, какую штуку при этом выкинет ваш вестибулярный аппарат и как долго он позволит вам безнаказанно считать себя центром Вселенной.

^*) (Если размеры космического стадиона! не очень велики, то можно пренебречь теми тонкостями, на которых основана задача "Человек за бортом!".)

Чтобы избежать вращения, мяч нужно бросать так, чтобы ваш центр масс был на продолжении траектории полета мяча. Не забудьте, что если в момент броска ваши ноги были поджаты, то центр масс переместился из области живота ближе к груди.

Ну, а если вы ловите мяч? Вряд ли партнер попадет мячом точно в ваш центр масс. Удар придется где-то в стороне, и вы начнете вращаться. Чтобы остановить вращение, вызванное попаданием мяча в голову, вы должны бросить противнику мяч от колен.

Вращение, в силу закона сохранения импульса, не оказывает влияния на движение центров масс игроков, которое только и определяет исход игры. От него можно отвлечься. Можно считать, что игроки и мяч все время находятся на одной прямой, принимаемой далее за ось X. Общий центр масс игроков и мяча остается неподвижным. Пусть он совпадает с центром "поля", на котором совершается игра. В силу теоремы о движении центра масс Мх₁ - Мх₂ + mх = 0 или X₁ - X₂ = ^-mх/_М, где М - масса игрока, m - масса мяча, x₁ и (-х₂) - координаты игроков (x₁ > 0 и x₂ > 0), x - координата мяча. Если х > 0, то х₁ < х₂. Значит, если первый игрок выиграл, то в момент выигрыша мяч будет находиться на его половине. То же относится ко второму игроку.