88. Марафон между зеркалами

А В некоторых оптических приборах требуется, чтобы световой сигнал на пути от источника А к приемнику В запоздал на время большее, чем время пробега по прямой АВ. Этого можно добиться, если послать луч из А в В не по прямой, а по ломаной.

На рис. 128 движение луча по весьма длинной ломаной обеспечивается за счет многократного отражения от двух параллельных зеркал CD и EF. Как изменится длина ломаной 2-2-3-...-21, если расстояние между зеркалами увеличить вдвое?

Рис. 128

Б На первый взгляд, длина ломаной (и запаздывание светового сигнала) возрастет вдвое, потому что длина каждого прямолинейного отрезка ломаной удвоится. На самом же деле... впрочем, вы лучше сами. Покажите, как сделать, чтобы в этом устройстве запаздывание действительно увеличилось вдвое.

В Пока зеркало находилось в положений CD (пунктир на рис. 129, а), траектория луча между зеркалами была 1234567... Когда расстояние удвоилось (CD'), траектория стала 123'4567' ... Появившиеся новые участки пути 23'4, 67 8, ... удлиняют общий путь ровно на столько, на сколько он укоротился из-за исчезновения симметричных им старых 234, 678,... В самом деле, старый путь 234 является как бы зеркальным изображением нового пути 23'4 (в "исчезнувшем" зеркале CD), и в случае плоского зеркала эти пути равны. Таким образом, протяженность пути между зеркалами не изменилась.

Что же изменилось? Уменьшилось число отражений: теперь в точках 2, 4, 6, 8, ... луч не отражается, Протяженность каждого прямолинейного отрезка Δ увеличилась вдвое, но число таких отрезков уменьшилось тоже вдвое.

Интересно, что ту же длину пути мы получили бы с помощью единственного зеркальца, расположенного на пересечении прямых ЕК' и FK" (рис. 129), но габариты установки от этого резко возросли бы.

Рис. 129

Для удлинения пути нужно уменьшать угол падения луча на зеркало (сравните α₁ и α₂, на рис. 129, а и б). При этом, если Углы α₁ и α₂ малы, то длины прямолинейных отрезков почти не уменьшаются, но число этих отрезков возрастает. Если α₂ = ^α₁/₂, то полный путь почти удваивается (уточнить этот результат вы можете сами).

Но есть ли какая-нибудь польза от раздвигания зеркал? Или только вред, выражающийся в увеличении габаритов установки? Есть, только в ином смысле. Давайте вычислим, какой процент от световой энергии, вошедшей в систему зеркал, достигнет выхода. Коэффициент отражения любого зеркала в световом диапазоне меньше единицы. У лучшего из отражающих металлов - серебра - он равен 0,94 (при λ = 600 нм, т. е. при желтом свете). После первого отражения останется 0,94 от первичного светового потока, после второго - 0,94 от 0,94, т. е. (0,94)², после n-то останется (0,94)ⁿ. Легко подсчитать (с помощью логарифмирования), что после 50 отражений останется 0,045, после ста - 0,002, после двухсот - 0,000004, после четырехсот отражений - 0,000000000016 от первичного светового потока.

Таким образом, слишком большое число отражений может настолько уменьшить выходной световой поток, что его не смогут обнаружить самые чувствительные приборы, так как он будет намного меньше посторонней засветки, даже ночью. Раздвижение зеркал, не увеличивая полной длины пути, уменьшает число отражений, отчего выходной поток возрастает. Если зеркала давали 400 отражений, то, раздвигая их вдвое, мы уменьшаем число отражений вдвое и этим самым увеличиваем выходной световой поток в 250 000 раз!

Мы рассмотрели пока только частный случай, когда зеркала раздвигаются ровно вдвое. На этом задачу можно было бы считать исчерпанной.

Однако интересно посмотреть, что будет, если зеркала раздвинуть чуть-чуть.

На рис. 128 показано нечетное число отражений (21). Будем раздвигать постепенно зеркала (поднимать CD вверх) и следить за поведением "гармошки" луча. Она растягивается. Точка 1 остается на месте, все остальные сползают вправо, тем быстрее, чем выше номер. Точка 21 сползает в 20 раз быстрее, чем точка 2. Очень скоро точка 21 соскользнет с зеркала (число отражений станет четным), и луч 21 - В пойдет не вверх, а вниз, как продолжение луча 20-21. Затем соскользнет с верхнего зеркала точка 20, число отражений снова станет нечетным, и выходной луч опять пойдет вверх, и т. д.

А теперь представьте, что вы раздвигаете зеркала так мало, что число отражений при этом не меняется. Это условие соблюдается, если при расстоянии между зеркалами d и наличии n + 1 отражений вы раздвигаете зеркала не более чем на ^d/_n (т. е. при 21 отражении - не более чем на ^d/₂₀). Вот тут как раз и проявляется то свойство, которое мы интуитивно ощущали вначале: если число отражений не меняется, то полный путь луча возрастает пропорционально расстоянию между зеркалами. Причем если новое расстояние стало d + Δ, то новый путь луча стал n(d + Δ), т. е. возрос на nΔ. Если пластины раздвигаются со скоростью 1 ^см/_с, то путь луча удлиняется в n раз быстрее. Мы получили своеобразный усилитель скорости.

Этому усилителю скорости можно найти интересное применение. Существует гипотеза, что африканский и европейский континенты расходятся, т. е. Гибралтарский пролив расширяется. Как это проверить? С помощью эффекта Доплера (см. задачи 55, 56). Надо послать световой луч определенной частоты с африканского берега на зеркало, расположенное на европейском берегу, и, приняв отраженный сигнал, сравнить его с посылаемым. Если зеркало и приемник света взаимно неподвижны, то частота принятого сигнала в точности будет равна частоте посылаемого. Но если европейское зеркало действительно удаляется от африканских источника и приемника света, то принятая частота будет ниже посылаемой на величину доплеровской поправки

и в специальном смесителе прямого и отраженного лучей можно выделить разностную частоту. Происхождение двойки в числителе формулы объяснено в задаче "Письма с дороги": частота сдвигается при прохождении сигнала и к зеркалу, и обратно.

Однако если континенты и расходятся, то так медленно, что доплеровский сдвиг будет мал по сравнению с шириной спектральной линии и поэтому не будет обнаружен. Спектральная линия излучения лазера гораздо тоньше спектральных линий обычных источников света, но и она для этого эксперимента может оказаться слишком широкой.

Вы уже знаете, что надо сделать. Надо взять два зеркала и разместить их по обе стороны Гибралтара параллельно друг другу. Если луч лазера претерпит в системе зеркал п отражений, т. е. пересечет Гибралтар n + 1 раз, то в приведенной выше формуле вместо двойки будет стоять число n + 1, так как каждый из n + 1 путей удлиняется со скоростью v, с которой расходятся континенты, и в результате полный путь будет удлиняться со скоростью (n + 1)v.

Создав 999 отражений (число должно быть нечетным, иначе луч не вернется на тот континент, с которого он был отправлен, и его частоту нельзя будет сравнить с посылаемой), мы усилим доплеровский сдвиг в тысячу раз и, возможно, обнаружим разбе-гание континентов.

Если же не обнаружим, то это еще не значит, что континенты взаимно неподвижны. Это значит только, что скорость движения, если она есть, меньше ожидаемой. Тогда нужно создать не 1000, а 10 000 или еще больше отражений.

Отметим, что, несмотря на такое большое число отражений, в случае лазера можно еще надеяться, что сигнал не будет.потерян Из-за поглощения, так как, во-первых, в луче лазера можно сконцентрировать весьма большую энергию (а чтобы зеркала не расплавшшсь, их можно охлаждать) и, во-вторых, поскольку спектральная линия лазера очень тонкая, то ее можно отфильтровать от посторонней засветки с помощью очень узкополосных светофильтров (или радиофильтров).

Кроме того, и отражающие свойства зеркал можно улучшить. Нашли, что зеркало с многослойным диэлектрическим покрытием может дать коэффициент отражения ρ гораздо ближе к единице, чем серебряное. Удалось получить ρ = 0,995 с помощью тридцатислойного покрытия, у которого чередуются слои с малым и большим показателями преломления, причем толщина каждого слоя равна четверти волны (т. е. составляет доли микрометра). Коэффициент поглощения такого зеркала (ε = 1 - ρ = 0,005) в 12 раз меньше, чем у серебра. А это позволяет увеличить число отражений приблизительно в 12 раз^*).

^*) (Одним из наиболее поразительных открытий современной физики является то, что мощный световой луч сам может создать для себя зеркало с коэффициентом отражения, очень близким к единице (см., например: Аскарьян Г. Новые физическая эффекты. Наука и жизнь, 1967, № 10). Сверхмощный луч лазера при определенных условиях, создавая стоячие световые волны, перераспределяет плотность и давление внутри среды от волны к волне таким образом, что создается многослойное зеркало с правильным чередованием слоев с различными показателями преломления (как упомянуто выше). При этом возникает также ультразвук, имеющий длину волны одного порядка с длиной волны лазера (и с частотой ниже частоты лазера во столько раз, во сколько скорость звука в данной среде ниже скорости света). В принципе возможно и обратное: создание зеркала для лазера с помощью стоячих волн от специального генератора ультразвука.)

Измерить столь малый коэффициент поглощения нелегко. Интересно, однако, что для повышения точности измерений можно использовать нашу систему зеркал. Она представляет собой усилитель коэффициента поглощения: чем больше отражений, тем сильнее результирующее поглощение. Зная число отражений и результирующее поглощение, мы можем вычислить поглощение, сопровождающее единичный акт отражения.

Особенно интересно это свойство, если рассматривать коэффициент отражения р не вообще, а как функцию частоты ρ(f). Пусть некоторое металлическое зеркало освещается светом, интенсивность которого на всех частотах одинакова (горизонтальная прямая 0 на рис. 130). Металл отражает на разных частотах по-разному.

Рис. 130

Например, кривая 1 показывает, что некоторый металл хорошо отражает частоту f₂, несколько хуже - f₁ и еще хуже - f₃. Равномерный спектр света 0 после первого отражения будет уже описываться кривой 1, т. е. будет неравномерным. После второго отражения - кривой 2, полученной умножением всех ординат кривой 1 на самих себя:

После четвертого отражения

после восьмого ρ₈(f) = ρ₁⁸(f) и т. д. Более слабые спектральные линии f₁ и а₃ ослабевают быстрее, и после 64 отражений остается практически лишь частота f₂ - спектральная линия, на которой коэффициент поглощения минимален. Равномерный спектр 0 (белый свет) превращается в монохроматический (одноцветный) с цветом f₂.

С помощью этого явления в XIX веке определяли "истинный цвет металла". При этом золото оказывалось красным, серебро - оранжевым, медь - пурпурной. Вряд ли термин "истинный цвет" можно считать правильным. После какого числа отражений цвет можно считать "истинным"? После ста? Но после тысячи он еще "истиннее"! А самый "истинный" - после бесконечного числа отражений - черный. По-видимому, разумнее цветом металла считать тот, который получается после первого отражения при облучении белым светом #, т. е. кривую 1. Именно она правильно представляет интенсивность отражения на каждой из частот. Многократные же отражения позволяют лишь уточнить значение р Для тех частот, где оно близко к 1.

Насколько автору известно, эксперимент с зеркалами и Гибралтаром еще не поставлен. Но зато лазер и зеркало были использованы советскими учеными (Богородский В. Лазер исследует ледники.- Правда, 23 октября 1971 г.) на Антарктиде для изучения движения льдов. Поскольку скорость ледников значительно больше, чем предполагаемая скорость расширения Гибралтара, то удалось обойтись единственным зеркалом. Движение ледника оказалось весьма неравномерным. Максимальная скорость - 60 ^мкм/_с, типичная - 0,1 ^мкм/_с. Чаще же всего он стоит неподвижно несколько часов (временами вибрируя).