Почему пространство трехмерно?

"Статья Эренфеста была напечатана в "Трудах Амстердамской академии" в 1917 году. Только после этой статьи появились действительные основания считать, что размерность пространства - физическое понятие, а трехмерность - физический факт.

Введение к статье состоит всего из нескольких фраз, в которых Эренфест подчеркивает необычность вопроса, вынесенного в заголовок: как трехмерность пространства проявляется в законах природы?

Вопрос "Почему у нашего пространства именно три измерения?" можно понимать двояко. Во-первых, можно сделать ударение на слове "почему" и попытаться объяснить трехмерность пространства на основе каких-то глубоких свойств материи, создав для этого новую фундаментальную теорию (существующие ныне теории принимают трехмерность пространства просто как исходный постулат). Второй вариант истолкования вопроса уже не связан с такими грандиозными замыслами. Можно спросить: "Почему физики уверены, что пространство трехмерно?" Такая постановка вопроса может показаться тривиальной для мира макроскопических явлений, когда трехмерность воспринимается "непосредственно" органами чувств (для этого не обязательно даже быть физиком). Однако диапазон явлений, изучаемых современной физикой, не ограничивается макроскопическими масштабами. Исследовать, например, события в мире элементарных частиц или в космологии можно лишь косвенными методами. И для этих областей вопрос о размерности пространства отнюдь не тривиален.

Работа Эренфеста соответствует как раз второму значению вопроса - "Почему физики уверены..." Прямой результат этой работы: указаны конкретные основания, позволяющие считать, что пространство трехмерно в огромном диапазоне физических явлений - от атомных до астрономических масштабов. А косвенный, но, пожалуй, не менее важный, результат - продемонстрировано, как вообще физик может подступиться к размерности.

Каким же образом Эренфест действует?

Он рассматривает "физику" в евклидовом пространстве с произвольным числом измерений. При этом закон взаимодействия тел он выводит из дифференциального уравнения Пуассона, а движение подчиняет ньютоновским законам механики, точнее, их естественному обобщению на случай "произвольно-мерного" евклидового пространства.

Эренфест анализирует конкретные следствия этих законов взаимодействия и движения, в числе которых - замкнутость и устойчивость орбит планетной системы, а также спектр атома водорода, полученный на основе атомной модели Бора.

В результате для свойств планетной системы он приходит к следующим выводам: в двумерном евклидовом пространстве возможно только так называемое финитное движение (то есть такое, при котором радиальная координата изменяется в конечных пределах), причем замкнутыми оказываются лишь круговые планетные траектории; а в евклидовом пространстве с числом измерений более трех финитное движение соответствует лишь круговым траекториям планет и к тому же всегда неустойчиво любое малое возмущение приводит либо к падению планеты на гравитирующий центр системы (на "солнце"), либо к удалению ее в бесконечность.

Таким образом, в обоих случаях выявляется разительное отличие от трехмерного евклидового пространства. B этом пространстве возможно как устойчивое финитное, причем всегда с замкнутыми - эллиптическими, кеплеровскими траекториями, так и инфинитное движение планет.

Далее Эренфест переходит к анализу спектра атома водорода в евклидовом пространстве с произвольным числом измерений. Этот спектр, как уже говорилось, он получает, используя боровскую модель атома.

Напомню кратко, что это за модель.

Одним из самых загадочных для классической физики фактов было то, что атомы данного вещества излучают свет не любых волн, а только вполне определенных, всегда одних и тех же. Скажем, натрий и вещества, содержащие его (например, обычная поваренная соль), при высокой температуре излучают желтый свет. И не зная объяснения этого факта, физики и химики тем не менее успешно использовали его для распознавания веществ (спектральный анализ). Но положение стало совсем нетерпимым после знаменитых опытов Резерфорда, после появления в 1911 году его планетарной модели атома-ведь согласно классической теории электрон, вращающийся вокруг ядра, во-первых, должен излучать свет всех длин волн, а во-вторых, постоянно излучая энергию, он через короткое время должен упасть на ядро.

Обе эти трудности были преодолены в модели атома, предложенной в 1913 году Нильсом Бором. Согласно этой модели движение электрона по орбите вокруг ядра пределяется законами классической механики, но сами сбиты могут быть не любыми, а лишь такими, для которых выполняется некоторое условие, а именно - mvr = ^nh/_2π (m и v - масса и скорость электрона; r - радиус орбиты; n - любое целое положительное число 1, 2, 3, 4,..; h - постоянная, которую в 1899 году ввел Макс ланк для объяснения закономерностей теплового излучения").

Согласно модели Бора, находясь на одной и той же орбите, электрон не излучает - излучение происходит лишь тогда, когда он переходит с орбиты на орбиту, ели энергия электрона на исходной орбите была ε_k. на той, на которую он перешел, ε_n, то при переходе oн испускает излучение с частотой ν_kn = ^(ε_k-ε_n)/_h.

Анализируя, какими должны быть свойства атома водорода" в евклидовом пространстве с произвольным слом измерений, Эренфест пришел к заключению, что они должны отличаться от его обычных свойств, тех, которыми он обладает в трехмерном пространстве. Так, при числе измерений большем, чем четыре электрон должен самопроизвольно переходить на все более далекие орбиты, соответствующие все меньшей энергии, то есть атом должен самопроизвольно ионизироваться.

Вывод: наша уверенность, что пространство в явлениях атомного масштаба, как и в явлениях планетного, трехмерно,- уверенность вполне обоснованная: если бы пространство обладало иным числом измерений, спектр атома разительно отличался бы от наблюдаемого. И наоборот, если бы обнаружилось, что наблюдаемый спектр атома точнее согласуется с тем, какой мы ожидаем (из расчетов) для размерности пространства, не равной трем, это дало бы основание предположить, что в явлениях атомного масштаба пространство имеет другое число измерений.

Конечно, при этом немедленно возник бы вопрос: как согласовать эту "другую" размерность с несомненной трехмерностью пространства в макроскопических масштабах? И еще: как трехмерный наблюдатель мог бы получать информацию о физических явлениях, для описания которых понадобилось пространство с числом измерений, отличающимся от трех? Эренфест не затрагивает эти вопросы.

Историческое значение его работы состоит в том, что он впервые поставил вопрос о смысле трехмерности и соотнес ее с конкретными физическими явлениями. Тем самым он установил границы, в которых трехмерность имеет реальное физическое подтверждение и вне которых она представляет собой лишь предположение. В анализе Эренфеста эти границы определялись "сверху" масштабами Солнечной системы, а "снизу" - атомными масштабами. Вне этих границ вопрос оставался открытым.

Таким образом, благодаря работе Эренфеста размерность пространства стала физическим понятием.

Эта работа, безусловно, опередила свое время. Однако в дальнейшем перед физикой действительно встал вопрос о более сложной размерностной структуре пространства. В результате статья Эренфеста, впервые увидевшего путь к переводу понятия размерности пространства на язык физики, предстала в новом свете".

Оппонент. "Замечание о парамагнетизме твердых тел", казалось бы, не так уж много общего между парамагнетизмом и равновесной диссоциацией, а вот поди ж ты - списке работ Эренфеста эти две темы стоят рядом...

Автор. Тут опять есть объяснение, связанное с происходившими в то время событиями. Осенью 1920 года, как мы наем, "специальным" профессором Лейденского университета стал Эйнштейн. На торжества, посвященные этому обытию, был приглашен ряд именитых гостей, в том числе Ланжевен и Вейс. Естественным было желание Эренфеста использовать их пребывание в Лейдене для Осуждения какой-либо научной проблемы. Столь же естественным было избрать в качестве темы "магнитные ела", учитывая сферу интересов ученых. И вот Эренфест новь загорается этой темой: "Мне кажется, что давно же пора... установить, что происходит при перемагничивании парамагнитных кристаллов". В сентябре 920 года в первом же (после шестилетнего перерыва, вызванного войной и революцией) письме к Иоффе он со свойственной ему страстностью призывает своего друга срочно, телеграфом, сообщить, нет ли у него каких-либо работ в этой области.

Разумеется, и сам он не хочет прийти к ней с пустыми руками. Он излагает Иоффе некий "экспромт", представляющий собой попытку выяснить, что участвует в процессе перемагничивания - атомные группы или отдельные атомы. А в последнем случае - их внутренние или наружные, валентные, электроны?

Оппонент. Начало двадцатых годов. Эпоха "бури и натиска" - создания квантовой механики. Эренфест, по существу, стоит в стороне от этой работы, наблюдая с некоторой тревогой, как эту крепость штурмуют молодые физики.

Он по-прежнему занимается самыми разными вещами. 1924 год. Вот статья, посвященная установлению происхождения электромагнитных полей от базисной функции-волны... Вот вряд ли актуальная уже в то время тема, относящаяся к потенциалам и векторам Герца для электромагнитных полей определенного типа...

Автор. Но вы пропустили ряд интересных работ. "Адиабатические преобразования в квантовой теории и их трактовка Нильсом Бором". Это обзор собственных работ Эренфеста по адиабатическим инвариантам, подведение окончательных итогов работы над ними. "Поистине восхитительным" назвал этот обзор Хендрик Крамерс. Далее, "Квантовая теория дифракции Фраунгофера", "Квантовая теория дифракции Дюне - Комптона", "Замечания о квантовой теории дифракции", выступление на тему о квантовой теории дифракции на IV съезде русских физиков в Ленинграде в сентябре 1924 года, "Интерпретация статистики Больцмана с точки зрения квантовой механики", "Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики". Все это работы 1923-1927 годов.

Оппонент. Из них я бы выделил, пожалуй, лишь последнюю. Это действительно замечательная работа, которая жива до сих пор. В ней изложена знаменитая теорема Эренфеста - необычайно красиво и просто показано, что центр тяжести волнового пакета движется так же, как ньютоновская частица. Одним словом, устанавливается связь между квантовой и классической механикой. Эта работа ярко демонстрирует, что Эренфест искренне стремился постичь квантовую механику, хотя при этом постоянно сетовал на ее труднодоступность.

...Список публикаций завершают, как и положено ученому такого ранга, "Избранные научные труды", изданные в Амстердаме в 1959 году, много лет спустя после смерти Эренфеста.

Автор. Как! Вы не хотите отметить работы 1928-1933 годов?

Оппонент. В этот период, мне кажется, на деятельности Эренфеста особенно пагубно сказывалось его состояние. Что это за период? Завершено создание квантовой механики. Он не только не принял в этом участия, но с трудом ее осваивает. С этим, по крайней мере отчасти, связано, должно быть, то обстоятельство, что после 1927 года, вплоть до своей кончины в 1933 году, он опубликовал довольно мало работ, и среди них нет особенно значительных.

Состояние подавленности, безусловно, тут остро ощущается.

Пожалуй, можно отметить статью "Тепловое равновесие в статическом гравитационном поле", опубликованную в 1930 году. Соавтором Эренфеста тут был американец Р. Толмэн.

Еще одна статья - "О гравитационном поле, создаваемом светом". Эта работа написана совместно с Р. Толмэном и Б. Подольским. Гравитационное поле светового луча - необычайно привлекательный для теоретика объект. Эренфест и его коллеги одними из первых обратились к этой задаче...

Очень интересна последняя опубликованная при жизни работа Эренфеста. В ней он классифицировал фазовые переходы. Это был важный шаг, начало важного движения в теоретической физике.

Да и, конечно же, необычайно интересна статья "Некоторые неясные вопросы, касающиеся квантовой механики" (извините, я пропустил ее, она появилась в 1932 году). Поразительные тут есть вещи, в этой статье, особенно когда он говорит о тензорах, о спинорном исчислении... Он задает ряд вопросов, которые исключительно актуальны и сегодня.