6. Вращательное движение и закон всемирного тяготения

 ○92. Парадоксально, но факт.

В движущемся железнодорожном вагоне во всякий момент движения есть точки неподвижные и точки, движущиеся в сторону, обратную движению вагона. Какие это точки?

 ○93. Скорость относительного движения.

Наблюдатель А жестко связан с телом Т и движется вместе с ним, имея численно постоянную скорость v_A (рис. 55). Тело В также движется с численно постоянной скоростью v_B, большей v_A и направленной в ту же сторону. Каким будет представляться движение тела В наблюдателю А?

Рис. 55

Решение. Один ученик ответил: согласно правилу сложения векторов скорости наблюдатель А увидит тело В удаляющимся от него со скоростью v_B-v_A.

Другой ему возразил: представленное решение справедливо, если векторы и направлены по одной прямой в одном и том же направлении. Если же эти векторы не лежат на одной прямой, то задача не может быть решена однозначно. Кто из учащихся прав?

 ●94. Как направлена линейная скорость?

Нить АВ приводит в движение стержень ОА, который может вращаться вокруг точки О (рис. 56). Дана скорость v точки В и угол α. Определить скорость точки А.

Рис. 56., Рис. 57

Решение. Перенесем вектор из точки В в точку А и, разложив его здесь на составляющие и , найдем искомую скорость

С другой стороны, обозначив неизвестную скорость точки А буквой w, разложим ее на составляющие и (рис. 57) так, чтобы первая была направлена по линии АВ и равная (это можно сделать при условии, что нить нерастяжима). Итак, w₁ = v, тогда Какое же из решений правильное?

 ●95. Вопреки "здравому смыслу".

Если наблюдатель А приближается по прямой линии к наблюдателю В с некоторой скоростью v (рис. 58), то, с точки зрения наблюдателя А, сам наблюдатель В приближается к нему с такой же скоростью.

Рис. 58

Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг своей оси О (рис. 59) с некоторой угловой скоростью ω. На платформе стоит наблюдатель А, а на земле - наблюдатель В, причем ОВ = 2АО. В момент, когда наблюдатель А занимает положение, указанное на рисунке, он движется на наблюдателя В со скоростью v = 5 ^м/_сек. С какой скоростью и в каком направлении движется в этот момент наблюдатель В относительно наблюдателя A?

Рис. 59

Решение. С точки зрения "здравого смысла", "очевидно", что скорость точки В численно равна скорости точки А и направлена по линии, их соединяющей, в направлении от В к А.

С другой стороны, согласно условию скорость наблюдателя А относительно наблюдателя В равна v=ω*AO. С точки зрения наблюдателя А, все окружающее пространство вращается вокруг оси О с угловой скоростью ω₁ равной ω, но направленной в противоположную сторону. Поэтому скорость наблюдателя В относительно наблюдателя А равна v₁ = ω₁*OB = ω*2AO. Таким образом, v₁ = 2v = 10 ^м/_ceк. И как всякая линейная скорость, v₁ направлена перпендикулярно линии ОВ, но не по прямой ВА. В чем логическая ошибка решения согласно "здравому смыслу"?

 ○96. Где же центростремительная сила?

Шарик без трения соскальзывает по внутренней поверхности сферической чашки (рис. 60). При этом на него действуют сила тяжести Р и реакция опоры Q. Каковы бы ни были эти силы, их равнодействующая F, вообще говоря, не направлена вдоль радиуса к точке О - центру окружности обращения шарика.

Рис. 60

Но ведь шарик описывает окружность. Значит, есть центростремительная сила. Но ею не является ни одна из сил, изображенных на рисунке, ни их равнодействующая. Где же центростремительная сила? Как разрешить парадокс?

 ○97. Центростремительная сила.

Если m - масса материальной точки, r - радиус окружности, по которой она движется, v и ω - линейная и угловая скорости ее, то центростремительная сила, удерживающая точку на окружности обращения, может быть выражена двумя формулами:

(1) и (2)

Как же может быть, чтобы одна и та же величина была одновременно и прямо пропорциональна и обратно пропорциональна радиусу?

 ●98^*. Центробежная сила.

Центробежная сила инерции обратно пропорциональна радиусу окружности, по которой движется материальная точка. Следовательно, при достаточно малом радиусе эта сила может достигнуть произвольно большой величины. Почему же частицы, лежащие вблизи полюса Земли, не отрываются и не улетают в космическое пространство?

 ○99. Шарик на вращающемся желобе.

Желоб АВ образует угол 45° с горизонтом и вращается вокруг вертикальной оси АО (рис. 61), проходящей через нижний конец желоба, со скоростью 30 ^об/_мин. В каком месте следует поместить шарик на желобе, чтобы он оставался; неподвижным относительно желоба? Трение не учитывать.

Рис. 61

Решение. Шарик будет обращаться вокруг оси ОА, оставаясь неподвижным относительно желоба, если равнодействующая F силы тяжести Р и реакции желоба Q будет равна mω²r. При α = 45° F=P, следовательно, уравнение второго закона Ньютона примет вид:

или

Так как ω=2πn, то Тогда

Из полученного решения вытекает, что при увеличении частоты вращения желоба шар должен опуститься по желобу ближе к точке А. Но опыт показывает противоположное. В этом легко убедиться, насадив на металлический прут картофелину и начав вращать прут. При увеличении скорости вращения прута картофелина удаляется от точки, в которой рука держит прут. Как объяснить этот парадокс?

 ○100^*. Центробежный эффект.

На оси центробежной машины укреплена доска, на которой установлен стеклянный цилиндрический сосуд с водой, Ко дну сосуда прикреплена нить, на другом конце которой привязан пробковый шарик (рис. 62). Другой, такого же радиуса металлический шарик подвешен на нити, закрепленной в крышке сосуда. Как расположатся шарики при вращении доски?

Рис. 62

Решение. Вследствие инерции оба шарика, двигаясь по касательной к окружности обращения, отклонятся от оси центробежной машины.

Опыт показывает другое: металлический шарик действительно отклоняется от оси, а пробковый, наоборот, приближается к ней. Как объяснить этот парадокс?

 ○101. Вопреки очевидности.

Паровая реактивная турбина (рис. 63) укреплена на оси, которая нижним заостренным концом упирается в подпятник на тарелке. Тарелка в свою очередь может свободно вращаться вокруг вертикальной оси; на ней находится кольцеобразный желобок с сухим спиртом для нагревания турбинки. При нагревании турбинка начнет вращаться по направлению часовой стрелки, если смотреть сверху. Между турбинкой и тарелкой действует только небольшая сила трения, которая должна замедлять вращение турбинки и приводить тарелку во вращение в том же направлении. Однако опыт показывает, что тарелка вращается в противоположную сторону. Как объяснить наблюдаемый парадокс.

Рис. 63

 ○102^*. Какой раньше скатится?

Два цилиндра А и В во всем сходны, кроме высоты (следовательно, имеют различные массы). Если их поместить на одинаковую высоту на наклонную плоскость (рис. 64), то они скатываются к основанию за одно и тоже время.

Рис. 64

Но ведь моменты инерции у цилиндров разные. Значит, должны быть разными и угловые скорости и время скатывания. Как объяснить этот парадокс?

 ○103. Потенциальная энергия поднятого тела.

Во многих учебниках для средней школы говорится, что потенциальная энергия тела, поднятого над Землей, пропорциональна высоте подъема. Если же для выражения силы тяжести воспользоваться формулой закона тяготения Ньютона, то изменение потенциальной энергии оказывается зависящим от разности где R- радиус Земли, а r - расстояние от центра Земли до данного тела. Как согласовать эти результаты?

 ○104. Задача Ньютона.

Шарик массы m находится внутри тонкостенного полого шара вблизи от его оболочки (рис. 65). Как будет действовать гравитационное поле оболочки на шарик?

Рис.65

Решение. "Здравый смысл" подсказывает: так как гравитационная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, то шарик сильнее будет притягиваться к ближней части оболочки, т. е. влево.

С другой стороны, на шарик слева действует меньшая масса оболочки, чем справа. Поэтому на шарик будет действовать сила, направленная вправо. Каков же правильный ответ?

 ●105. Почему Земля не тор?

Эллипсоидальная форма Земли объясняется обыкновенно действием центробежной силы инерции на огненно-жидкое тело, каким была Земля при своем образовании. Известен также опыт вращения жидкости в сосуде, при котором ее поверхность принимает форму параболоида вращения, а при большой скорости вращения вдоль оси образуется полость. Почему же жидкая Земля, вращаясь, не приняла форму кольцеобразного тела?

 ○106. Период обращения искусственного спутника.

Искусственный спутник движется вокруг планеты А с некоторым периодом обращения Т. Каков будет этот период, если спутник будет обращаться вокруг другой планеты В, имеющей такую же плотность, как планета А, но вдвое больший радиус? В обоих случаях спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности планеты. Трением атмосферы пренебречь.

Решение. Согласно второму закону Ньютона

где m - масса спутника, М - масса планеты, γ - гравитационная постоянная, R - радиус планеты, v - скорость спутника. Но где ρ - плотность планеты. Значит,

Откуда

Так как то . Таким образом, период обращения спутника не зависит от радиуса планеты, т. е. не зависит от расстояния его до центра планеты.

Но ведь согласно третьему закону Кеплера период обращения спутника зависит от радиуса era круговой орбиты , где k - коэффициент пропорциональности. Как же согласовать эти два внешне противоречащих друг другу заключения?

 ○107.Почему Луна не спутник Солнца?

Притяжение Луны Солнцем примерно в два раза больше, чем притяжение ее Землей. Почему же Луна - спутник Земли, а не самостоятельная планета?

 ○108. Антиподы.

Земля шарообразна. Как же наши антиподы ходят "вниз головой" и не ощущают никаких неприятностей?

 ○109. Невесомость и морские приливы.

Земной шар можно рассматривать как гигантский космический корабль, движущийся вокруг Солнца. Поэтому все предметы на поверхности Земли должны быть "невесомы" по отношению к гравитационным силам Солнца, Луны и других небесных тел. Но ведь известно, что морские приливы вызывает именно притяжение Луны. Как разрешить это противоречие?

 ●110. Планетная система.

Неподвижные Солнце и планета, взаимно притягиваясь, через некоторый промежуток времени упали бы друг на друга. Но планета движется и не падает на Солнце. Сила притяжения планеты Солнцем сказывается в том, что планета обращается вокруг Солнца. А Солнце, притягиваясь к планете, должно было бы приближаться к ней (вследствие движения планеты Солнце должно было бы приближаться к планете по сйирали). Но ведь этого нет. Солнечная система устойчива. В чем ошибка приведенных рассуждений?

 ○111. Из пушки на Луну.

В фантастическом рассказе Ж. Верна о ядре с пассажирами, брошенном с Земли на Луну, рассказывается, что на участке пути, на котором притяжение Луны равно притяжению Земли, все предметы внутри ядра потеряли вес, всякий предмет, не падая, оставался в воздухе там, где был помещен.

Докажите парадоксальную истину, что такое яиление должно было бы наблюдаться на всем протяжении пути.

 ●112. Как движется предмет в космическом корабле?

Космонавт, находящийся во вращающемся вокруг своей продольной оси корабле, выпускает из рук какой-нибудь предмет. Будет ли он "падать", т. е. двигаться к служащей "полом" стенке корабля?

Решение. Как только предмет будет выпущен из рук, он перестанет давить на опору, предмет будет вести себя как невесомый и к стенке двигаться не будет.

С другой стороны, во вращающейся системе координат на все предметы действует центробежная сила инерции. Поэтому она заставит предмет "падать", пока он не достигнет стенки. Какое же решение верное?

 ●113^*. Проявление закона сохранения энергии в космическом корабле.

В космическом корабле, вращающемся с достаточной скоростью вокруг своей продольной оси, создан искусственный вес. Космонавт "поднимается" по лестнице от оболочки корабля к центру (к оси вращения). Для этого ему приходится совершать некоторую работу и расходовать энергию. В какой другой вид она при этом превращается? А может, она исчезает бесследно?