Бильярды Синая

Красивые двумерные модели неустойчивой системы исследовал Я. Г. Синай. Их называют бильярдами Синая.

Если мы окружим часть плоскости упругим прямоугольным барьером и, как в модели Лоренца, позволим частицам сталкиваться только со стенкой, не теряя при столкновениях своей энергии, то траектории не будут перемешиваться, что мы уже знаем из примера газа, заключенного в кубический сосуд. Так, если частица двигалась вначале перпендикулярно к стенке, то она, отразившись, будет двигаться вдоль того же перпендикуляра. Более того, если угол падения слегка отличается от нуля, то этот угол также будет сохраняться и никаких вероятностей не появится. Но стоит изменить форму барьера, то картина может резко измениться. Если две прямолинейные стороны барьера заменить выпуклыми дугами (такое поле называют стадионом), то при отражении быстро возникнет "беспорядок" и движение частиц станет стохастическим. Если нарисовать траекторию какой-либо частицы, то ока "заполнит" достаточно быстро всю площадь стадиона. Когда на стадионе двигаются много частиц, то средние значения физических величин (например, направление скорости) можно определять по-разному: можно считать все траектории, проходящие в какой-то избранный момент времени или же можно следить за запутанным движением одной частицы.

Первый способ называют усреднением по ансамблю, второй усреднением по времени. Удивительным образом (удивительное часто становится естественным) оба типа усреднения дают один и тот же результат. Такое утверждение было гипотезой, и называется эта гипотеза эргодической. Она была сформулирована еще Больцманом, но до сих пор не существует полного ее доказательства. Примером системы, для которой эргодическая гипотеза доказана, служит стадион.

Усреднение по траектории использовал еще Эйнштейн в теории броуновского движения; такое усреднение позволяет рассматривать одну запутанную траекторию вместо того, чтобы иметь дело с газом, состоящим из большого количества частиц.

Задача о стадионе имеет неожиданное продолжение. Если немного изменить форму его границы, сделать барьер в форме эллипса, то свойство эргодичности исчезнет. На эллиптическом бильярде траектории не будут перемешиваться, как не будут перемешиваться они и на бильярде, граница которого гладкая выпуклая кривая. В этом смысле на стадион надо смотреть, как на особый случай.

Перемешивание траекторий происходит на бильярдах, граница которых состоит из кусков кривых (например, окружностей), обращенных выпуклой стороной в сторону поля бильярда. Такие бильярды называют рассеивающими; пучок частиц, летящих параллельно, после столкновения с барьером разлетается расходящимся веером. Напротив, пучок частиц, отраженный от эллиптического барьера, превращается в сходящийся, фокусирующий пучок.

В этом заключается причина их принципиального различия. Теория бильярдов стала красивой областью механики и статистической физики. На ее примере можно видеть, как возникают вероятностные свойства и, в частности, энтропия в простых моделях, описываемых уравнениями Ньютона.