Топливо

 Запас карман не тянет. 

Русская пословица

Основная характеристика ракетного топлива - скорость вытекающих газов относительно корабля. Эта величина, конечно, зависит и от конкретной конструкции двигателя, от его коэффициента полезного действия, но в первую очередь - of состава продуктов сгорания, т. е. от исходного состава смеси, от полноты сгорания и т. д. Чтобы не увязнуть в этих сугубо технических вопросах, примем раз и навсегда скорость вытекающих газов равной 4 км/с - это округленное значение для лучших "сортов" химического топлива. Если же мы "применим" двигатель с другими характеристиками, это всегда будет оговорено в условиях задачи.

Известно, что топливо составляет львиную долю стартового веса космического корабля. В значительной мере этот запас идет на преодоление земного притяжения. Мы не будем увлекаться стартами с Земли. Давайте, раз уж нам удалось попасть в район Луны, возвращаться с нее на нашу родную планету.

Вблизи поверхности Земли корабль, чтобы тут же не упасть обратно, должен иметь скорость порядка хотя бы первой космической, т. е. 7,9 км/с. У Луны эта скорость поменьше - всего 1,68 км/с. Отодвинемся немного от Луны, и все изменения скорости, которые нам понадобятся, станут малыми по сравнению со скоростью продуктов сгорания топлива. А это, как мы выяснили выше, заметно упрощает расчеты. Вот такая прозаическая вторая причина.

Для начала опишем ситуацию, в которой мы оказались. Пусть корабль обращается вокруг Луны по круговой орбите. Мы хотим попасть обратно на Землю. Смотрим в баки - сколько у нас горючего, не придется ли просить помощи. А сколько нам нужно? Вот G этим вопросом и начнем постепенно разбираться. Допустим, мы вырвались из сферы притяжения Луны. Уже хорошо: если топливо на исходе, транспортному кораблю, который спешит нам на помощь, не надо возиться с Луной ... Итак,

Задача 55. Какую долю массы корабля должно составлять топливо, чтобы он с окололунной орбиты радиуса R=3476 км (удвоенный радиус Луны) мог уйти от Луны на "бесконечность"?

Впрочем, к чему стремиться на бесконечность? Достаточно добраться до точки пересадки G Луны на Землю - может быть, мы еще помним, что она в 38,4 тыс. км от центра Луны. Попробуем немного сэкономить.

Задача 56. Какое количество топлива (в долях исходной массы корабля) надо израсходовать, чтобы перейти на орбиту с апоселением в точке пересадки?

Пока мы только попали в сферу притяжения Земли. Какова наша скорость? Относительно Луны небольшая в переселении она была 1,61 км/с, мы ушли на 38,4 тыс. км, скорость упала до 0,15 км/с. А относительно Земли Луна имеет скорость 1,02 км/с, так что в лучшем случае наша скорость относительно Земли может быть равна 0,87 км/с. Те же проблемы, что и при полете на Луну.

Задача 57. Сколько еще понадобится горючего, чтобы сесть на Землю?

Слава богу, на Землю мы вернулись. Но ведь полет на Луну - не предел желаний. Космические аппараты бороздят уже всю Солнечную систему. Так, в марте 1986 года человечество гораздо ближе, чем когда-либо раньше, разглядело нашу старую знакомую - комету Галлея. К комете были направлены сразу три экспедиции: японская "Планета", "Джотто" Европейского космического агентства, названная в честь первого художника-документалиста по комете Галлея, и, наконец, самая солидная - Международная экспедиция на советских космических аппаратах "Вега-1" и "Вега-2" (они посетили Венеру, а потом уже двинулись к комете Галлея).

И если раньше комету наблюдали с расстояния в миллионы километров, то теперь эту цифру удалось довести до десятка тысяч. Немудрено, что удалось разглядеть множество деталей - увидели ледяное ядро размером всего 14×7 км, выяснили, как оно вращается, изучили многие подробности жизни кометы.

Может быть, результаты экспедиции, и без того впечатляющие, были бы еще богаче, но очень недолгим было свидание. Комета двигалась по траектории, заметно наклоненной к эклиптике, да еще и в направлении, противоположном направлению движения Земли. И хотя узлы траектории - места, где орбита пересекает плоскость эклиптики,- находились недалеко от орбиты Земли, так что "Веги" летели на встречу с кометой почти по земной орбите (это экономно), зато мимо кометы они пролетели на очень приличной скорости. А на какой именно?

Задача 58. Считая, что "Вега" летела по орбите Земли, определить ее скорость относительно кометы Галлея при встрече.

Параметры орбиты кометы, надеюсь, мы еще помним.

Так вот, возникает вопрос, не стоило ли, добравшись до кометы, подстроиться под ее движение? Тогда можно было бы подольше за ней наблюдать, поподробнее ее исследовать.

Изменение скорости, заметим, V=68 км/с. Давайте уж возьмем это значение и не будем уточнять его. Это не меньше, а, наоборот, гораздо больше скорости газов u=4 км/с. Какой надо считать скорость газов, даже в системе "корабль до маневра", неясно.

Начальные порции в этой системе имеют скорость и, ракета получила импульс uΔМ в противоположном направлении и приобретает скорость ΔV=uΔM/M, если считать, что мы рассматриваем бесконечно малую порцию газов ДМ. Перепишем полученное соотношение ΔM/M=ΔV/u и будем рассматривать его как зависимость переменной М от независимой переменной V. Мы видим, что изменение функции при одном и том же изменении аргумента пропорционально значению самой функции. Такая функция - экспонента. Вот мы и "вывели" формулу Циолковского: масса меняется со скоростью по экспоненте. Если обозначить начальную массу M₀, конечную скорость V, то формула Циолковского примет обычный вид: M₀/M=e^V/u.

Проверим, сильно ли мы ошиблись в расчете "путешествия с Луны на Землю". Например, нам надо было набрать скорость 0,42 км/с, и мы насчитали расход топлива в 9,5 %. А что дает формула Циолковского? Почти 10 % - такова точность наших расчетов. Результат можно было немного уточнить, не меняя в принципе самих расчетов, если принять скорость газов в среднем равной u - V/2. Тогда у нас получилось бы практически столько, сколько получается по формуле Циолковского. Конечно, в случае "Веги" никакое приближение не даст приличного результата. Так что давайте с помощью формулы Циолковского посчитаем,

Задача 59. Какую долю массы "Веги" надо было отвести на топливо, чтобы при встрече "Вега" могла подстроить свое движение под движение кометы Галлея?

Комета Галлея прилетит лишь через три четверти века. А мы, не дожидаясь ее возвращения, слетаем пока на Солнце. Конечно, людям туда лететь небезопасно, а вот автоматы, пока не сгорят, могут сообщить немало интересного о нашем светиле. Скорость, при которой корабль попадет на Солнце, некоторые называют "четвертой космической". Мне это кажется не совсем последовательным: чем больше номер скорости, тем дальше мы улетели, а теперь вроде это правило нарушается. И все же

Задача 60. Рассчитайте четвертую космическую скорость.

Как мы видим, надо иметь уйму горючего, чтобы попасть на Солнце. Рассмотрим такую ситуацию: мы уже оторвались от Земли, наша скорость относительно Солнца 29,8 км/с. Что будем делать? Тормозить? А нет других путей, более экономичных? Например, увеличим скорость... Зачем? А ведь мы только что поняли, что садиться лучше из апоцентра. Вот и давайте полетим, скажем, к Юпитеру.

Задача 61. Какой запас топлива нужен, чтобы с орбиты Земли перейти на эллипс, касающийся орбиты Юпитера?

Теперь мы подлегаем к Юпитеру.

Задача 62. С какой скоростью сблизятся наш корабль и Юпитер?

Относительно Юпитера наша скорость - 5,65 км/с - направлена противоположно скорости Юпитера относительно Солнца. Если мы подгадаем так, что наш корабль войдет в сферу притяжения Юпитера, но не врежется в поверхность планеты, то после облета планеты его относительная скорость, конечно, должна быть той же самой, но ее направление может заметно измениться. Нельзя ли это использовать? Вряд ли. Ведь при начальной конфигурации скоростей мы имеем минимально возможную скорость относительно Солнца. Поэтому мы лучше подлетим к орбите Юпитера там, где планеты нет, и просто ликвидируем оставшиеся 7,42 км/с прямым торможением. Останется 25,6 % той массы, с которой мы подлетели к орбите Юпитера, а от массы на орбите Земли - 2,77 %. Выигрыш чуть не в 50 раз!

Поскольку включать двигатель все же придется, Юпитер может оказаться полезным. Войдя в его сферу тяготения, мы можем - временно - увеличить скорость корабля. А как мы видели, при большой скорости изменения энергии обходятся дешевле. Расчеты показывают, что может хватить дополнительного импульса всего в 100-200 м/с, чтобы потом оказаться в ближайших окрестностях Солнца. Но тут нужна несколько иная, чем у нас, геометрия сближения с Юпитером..

В общем, автор ощущает себя в положении лучшего друга человека, который, как известно, все знает, все понимает, а сказать не может. Мне не удалось найти (найти - придумать, или найти, у кого бы списать) способ достаточно просто объяснить механизм так называемого активно-гравитационного маневра, и придется ограничиться маневрами пертурбационными. Этим мы займемся в двух следующих задачах.

Мы не использовали Юпитер, нам достаточно было удалиться от Солнца, а Юпитер служил лишь ориентиром. А вот если бы мы хотели улететь из Солнечной системы, Юпитер позволил бы нам сделать это "бесплатно".

Задача 63. При каком запасе топлива корабль (задача 61) может покинуть Солнечную систему?

А теперь давайте вспомним семейство комет, к которому относится комета Григга - Скьеллерупа, гуляющая в радиусе от 0,77 до 5 а. е. Интересно, Юпитер организовал ей такую орбиту или под влиянием других планет эта комета заметно изменила путь, предписанный ей после свидания с Юпитером?

Задача 64. Комета издалека падает прямо на Солнце. Юпитер поворачивает ее скорость так, что вблизи его орбиты оказывается афелий орбиты кометы. Определить расстояние до Солнца в перигелии.

Трудно с определенностью сказать, сильно или слабо изменилась орбита. Видимо, здесь подходит обтекаемое слово "умеренно".

Зато со всей определенностью можно сказать, что примерно таким путем возникло кометное семейство Юпитера. А теперь мы переходим в область, где предположения будут не столь обоснованными, а порой и просто зыбкими, потому что нас ждут.