Жюль-верновский силач и формула Эйлера

Вы помните у Жюля Верна силача-атлета Матифу? "Великолепная голова, пропорциональная исполинскому росту; грудь, похожая на кузнечный мех; ноги - как хорошие бревна, руки - настоящие подъемные краны, с кулаками, похожими на молоты..." Вероятно, из подвигов этого силача, описанных в романе "Матиас Сандорф", вам памятен поразительный случай с судном "Трабоколо" когда наш гигант силой могучих рук задержал спуск целого корабля.

Вот как рассказывает романист об этом подвиге:

"Судно, освобожденное уже от подпорок, которые поддерживали его по бокам, было готово к спуску. Достаточно было отнять швартов, чтобы судно начало скользить вниз. Уже с полдюжины плотников возились под килем судна. Зрители с живым любопытством следили за операцией. В этот момент, обогнув береговой выступ, появилась увеселительная яхта. Чтобы войти в порт, яхта должна была пройти перед верфью, где подготовляли спуск "Трабоколо", и, как только она подала сигнал, пришлось, во избежание всяких случайностей, задержать спуск, чтобы снова приняться за дело после прохода яхты в канал. Если бы суда,- одно, стоявшее поперек, другое, подвигающееся с большой быстротой,- столкнулись, яхта погибла бы.

Рабочие перестали стучать молотками. Все взоры были устремлены на грациозное судно, белые паруса которого казались позолоченными в косых лучах солнца. Скоро яхта очутилась как раз против верфи, где замерла тысячная толпа любопытных. Вдруг раздался крик ужаса: "Трабоколо" закачалось и пришло в движение в тот самый момент, когда яхта повернулась к нему штирбортом! Оба судна готовы были столкнуться; не было ни времени, ни возможности помешать этому столкновению. "Трабоколо" быстро скользило вниз по наклону... Белый дымок, появившийся вследствие трения, закрутился перед его носом, тогда как корма погрузилась уже в воду бухты (судно спускалось кормой вперед.- Я. П.).

Вдруг появляется человек, схватывает швартов, висящий у передней части "Трабоколо", и старается удержать его, пригнувшись к земле. В одну минуту он наматывает швартов на вбитую в землю железную трубу и, рискуя быть раздавленным, держит с нечеловеческой силой в руках канат в продолжение 10 секунд. Наконец швартов обрывается. Но этих 10 секунд было достаточно: "Трабоколо", погрузившись в воду, только слегка задело яхту и пронеслось вперед.

Яхта была спасена. Что касается человека, которому никто не успел даже прийти на помощь,- так быстро и неожиданно все произошло,- то это был Матифу".

Как изумился бы автор романа, если бы ему сказали, что для совершения подобного подвига не нужно вовсе быть великаном и обладать, как Матифу, "силой тигра". Каждый находчивый человек мог бы сделать то же самое!

Механика учит, что при скольжении каната, навитого на тумбу, сила трения достигает большой величины. Чем больше число оборотов каната, тем трение больше; правило возрастания трения таково, что, с увеличением числа оборотов в прогрессии арифметической, трение растет в прогрессии геометрической. Поэтому даже слабый ребенок, держа за свободный конец каната, 3-4 раза навитый на неподвижную тумбу, может уравновесить огромную силу.

На речных пароходных пристанях подростки останавливают этим приемом подходящие к пристаням пароходы с сотней пассажиров. Помогает им не феноменальная сила их рук, а трение каната о тумбу.

Знаменитый математик XVIII века Эйлер установил зависимость силы трения от числа оборотов веревки вокруг сваи. Для тех, кого не пугает сжатый язык алгебраических выражений, приводим эту поучительную формулу Эйлера:

Здесь F - сила, против которой направлено наше усилие f, е=2,718...- основание натуральных логарифмов, k - коэффициент трения между веревкой и сваей, α - "угол навивания", т. е. отношение длины дуги, охваченной веревкой, к радиусу этой дуги.

Применим формулу к случаю, который описан у Жюля Верна. Результат получится поразительный. Силой F в данном случае является сила тяги судна, скользящего по доку. Вес судна из романа известен: 50 тс. Пусть наклон стапеля 1/10; тогда на канат действовал не полный вес судна, а 1/10 его, т. е. 5 тс, или 5000 кгс.

Далее, коэффициент трения каната о железную тумбу к будем считать равным 1/3. Угол α легко определим, если примем, что Матифу обвил канат вокруг тумбы всего три раза. Тогда

где r - радиус тумбы. Подставив все эти значения в приведенную выше формулу Эйлера, получим уравнение

Неизвестное f (т. е. необходимое усилие) можно определить из этого уравнения, прибегнув к помощи логарифмов:

Итак, чтобы совершить подвиг, великану достаточно было тянуть канат с силой лишь 10 кгс!

Не думайте, что эта цифра -10 кгс - только теоретическая и что на деле потребуется усилие гораздо большее. Напротив, наш результат даже преувеличен: при пеньковом канате и деревянной тумбе, когда коэффициент трения k больше, усилие потребуется до смешного ничтожное, лишь бы тумба была прочной и канат был достаточно крепким и мог выдержать натяжение. Вот почему даже слабый ребенок мог бы, навив канат 3-4 раза, не только повторить подвиг жюль-верновского богатыря, но и превзойти его.