Как будто простая задача

Самовар, вмещающий 30 стаканов, полон воды. Вы подставляете стакан под его кран и с часами в руках следите по секундной стрелке, за какое время стакан наполняется до краев. Допустим, что за полминуты. Теперь зададим вопрос: за какое время опорожнится весь самовар, если оставить кран открытым?

Казалось бы, здесь детски-простая арифметическая задача: один стакан вытекает за полминуты,- значит, 30 стаканов выльются за 15 мин.

Но сделайте опыт. Окажется, что самовар опоражнивается не в четверть часа, как вы ожидали, а в полчаса.

В чем же дело? Ведь расчет так прост!Прост, но неверен. Нельзя думать, что скорость истечения с начала до конца остается одна и та же. Когда первый стакан вытек из самовара, струя течет уже под меньшим давлением, так как уровень воды в самоваре понизился; понятно, что второй стакан наполнится за больший срок, чем за полминуту, третий вытечет еще ленивее, и т. д.

Скорость истечения всякой жидкости из отверстия в открытом сосуде находится в прямой зависимости от высоты столба жидкости, стоящего над отверстием. Гениальный

Торричелли, ученик Галилея, первый указал на эту зависимость и выразил ее простой формулой:

где v - скорость истечения, g - ускорение свободного падения, h - высота уровня жидкости над отверстием. Из этой формулы следует, что скорость вытекающей струи совершенно не зависит от плотности жидкости: легкий спирт и тяжелая ртуть при одинаковых уровнях вытекают из отверстия одинаково быстро (рис. 55). Из формулы видно, что на Луне, где сила тяжести в 6 раз меньше, чем на Земле, потребовалось бы для наполнения стакана примерно в 2,5 раза больше времени, нежели на Земле.

Рис.55. Что скорее выльется: ртуть или спирт? Уровни жидкостей в сосудах одинаковы

Но возвратимся к нашей задаче. Если после истечения из самовара 20 стаканов уровень воды в нем (считая от отверстия крана) понизился в четыре раза, то двадцать первый стакан наполнится вдвое медленнее, чем первый. И если в дальнейшем уровень воды понизится в девять раз, то для наполнения последних стаканов понадобится уже втрое больше времени, чем для наполнения первого. Все знают, как вяло вытекает вода из крана самовара, который уже почти опорожнен. Решая эту задачу приемами высшей математики, можно доказать, что время, нужное на полное опорожнение сосуда, в два раза больше срока, в течение которого вылился бы такой же объем жидкости при неизменном первоначальном уровне ⁹.

⁹ (Чтобы определить скорость вытекания жидкости из сосуда, надо, казалось бы, умножить скорость жидкости v=2gh на площадь отверстия крана. Однако это вовсе не так, в чем можно убедиться на опыте. Дело в том, что скорости разных частиц жидкости на выходе струи не параллельны друг другу, а имеют составляющую, направленную к центру потока. Этот парадокс разбирается подробно в книге: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Физика сплошных сред.- М.: Мир.- (Фейпмановские лекции по физике, т. VII), 1966, гл. 40, §3.)