Почему звучит скрипка

...А скрипка цвета не имела, 
Она имела только звук.

Н. Панченко. "Стихи о скрипке"

При движении тела в какой-либо среде возникают силы сопротивления движению, стремящиеся замедлить его. Механическому движению одного твердого тела по поверхности другого препятствуют силы сухого трения; в жидкости или газе появляются вязкое трение и аэродинамическое сопротивление и т. п.

Взаимодействие тела со средой - довольно сложный процесс, приводящий обычно к тому, что энергия тела со временем переходит в тепло. Однако сопротивление среды может играть и обратную роль - увеличивать энергию тела. При этом, как правило, возникают колебания. Например, сила сухого трения между передвигаемым шкафом и полом тормозит его движение, и эта же сила, действующая между смычком и струной, вызывает колебания струны. Как вы увидите дальше, причиной возникновения колебаний является падающая зависимость силы трения от скорости движения. Колебания возникают тогда, когда сила трения уменьшается при увеличении скорости.

Рассмотрим процесс возникновения механических колебаний на примере скрипки. Звучание скрипки вызывается движением смычка. Невозможно, конечно, объяснить здесь все сложные явления, связанные с особенностями звучания скрипки. Однако попробуем в принципе разобраться, почему возникают колебания скрипичной струны, когда по ней равномерно ведут смычком.

Силы трения между смычком и струной - это силы сухого трения. Можно говорить о силах трения покоя и трения скольжения. Первая сила возникает между соприкасающимися, но неподвижными друг относительно друга телами, вторая - при скольжении одного тела по поверхности другого.

Сила трения покоя, как известно, может принимать любые значения (в зависимости от внешней силы) от нуля до максимального F_тр⁽⁰⁾, при этом она всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней силе.

Рис. 1

Сила трения скольжения зависит от материала тел и от состояния трущихся поверхностей, а также от относительной скорости этих тел. О последней мы будем говорить более подробно. Характер зависимости силы трения скольжения от скорости для различных тел различен; нередко при увеличении скорости скольжения вначале происходит уменьшение силы трения скольжения, а затем она начинает возрастать. График зависимости абсолютной величины силы сухого трения от скорости в этом случае показан на рис. 1. Силы трения между скрипичным смычком и струной как раз и имеют такой характер. Вертикальный участок при v = 0 соответствует силам трения покоя. Если относительная скорость струны и смычка v соответствует падающему участку 0<v<v₀, то увеличению относительной скорости на некоторую малую величину Δv соответствует уменьшение силы трения, и наоборот, при уменьшении скорости соответствующее изменение силы трения положительно (см. рис. 1). Как вы сейчас увидите, именно благодаря этой особенности может увеличиваться энергия струны за счет работы сил сухого трения.

Рис. 2

При начальном движении смычка струна отклоняется вместе с ним. При этом сила трения покоя уравновешивается силами натяжения струны (рис. 2). Равнодействующая F сил натяжения пропорциональна отклонению струны х от положения равновесия:

где l - длина струны, а Т₀ - сила натяжения струны, которую при малых отклонениях можно считать постоянной. Поэтому при движении струны вместе со смычком сила F будет расти, и в тот момент, когда она станет равной максимальной силе трения покоя F_тр⁽⁰⁾, начнется проскальзывание.

Будем пока для простоты считать, что в момент начала скольжения изменение силы трения происходит скачком: она уменьшается от максимального значения силы трения покоя до небольшой силы трения скольжения. Иными словами, после начала скольжения движение струны можно считать почти свободным.

В момент срыва скорость струны равнялась скорости смычка, и вначале струна будет продолжать отклоняться в сторону движения смычка. Но теперь равнодействующая сила натяжения ничем не скомпенсирована, поэтому она будет тормозить движение струны, замедляя его. В какой-то момент скорость струны упадет до нуля, затем струна начнет двигаться обратно; после максимального отклонения от положения равновесия в противоположную начальной сторону струна опять будет двигаться в сторону движения смычка. А смычок продолжает двигаться равномерно со скоростью u. В некоторый момент скорости струны и смычка сравняются. При этом между струной и смычком проявляется сила трения покоя, равная равнодействующей сил натяжения.

При дальнейшем движении струны до положения равновесия силы натяжения уменьшаются, и соответственно уменьшается сила трения покоя. После прохождения струной положения равновесия процесс повторяется.

Рис. 3

Соответствующий график зависимости отклонения струны от времени показан на рис.3, а. Движение струны периодическое, причем в каждом периоде имеются два разных участка. Например, на участке 0<t<t₁ струна движется со смычком с постоянной скоростью u, так что отклонение х линейно зависит от времени (tgα = u). В момент t₁ происходит срыв, и при t₁<t<t₂ изменение х со временем происходит по синусоидальному закону. В момент t₂, когда касательная к синусоиде имеет тот же наклон, что и начальный прямолинейный участок (условие равенства скоростей), струна вновь захватывается смычком.

Рис. 3, а соответствует идеальному случаю, когда сила трения скольжения отсутствует, и поэтому нет потерь энергии при свободном ходе струны. Полная работа силы трения покоя на линейных участках за период при этом также равна нулю, так как при отрицательных х совершается отрицательная работа (сила трения направлена против движения), а при x>0 совершается такая же по величине, но положительная работа.

Что же происходит в случае, когда сила трения скольжения отлична от нуля? Трение скольжения приводит к потерям энергии. Движение струны при проскальзывании теперь описывается графиком, показанным на рис. 3, б. При отрицательных отклонениях эта кривая более пологая, чем при положительных. Поэтому зацепление струны смычком происходит при меньшем по величине отрицательном отклонении - х₂, чем положительное отклонение x₁, соответствующее срыву. В результате сила трения покоя во время сцепления струны со смычком совершает за период положительную работу

где k = 4T₀/l - коэффициент пропорциональности между величиной силы трения покоя и отклонением струны.

Эта работа как раз и компенсирует потери энергии за счет сил трения скольжения. Колебания струны являются незатухающими.

Вообще говоря, для пополнения энергии струны за счет сил трения не обязательно, чтобы происходило сцепление струны со смычком. Достаточно, чтобы относительная скорость смычка и струны при колебаниях струны находилась в пределах падающего участка зависимости силы трения скольжения от скорости. Рассмотрим более подробно явление возбуждения колебаний струны в этом случае.

Пусть смычок опять движется с некоторой постоянной скоростью и, а струна отклонена от положения равновесия на х₀ так, чтобы равнодействующая F (х₀) сил упругости уравновешивала силу трения скольжения F_тр(u). Если струна случайно отклонится в сторону движения смычка, то относительная скорость уменьшится. В результате сила трения возрастает (относительная скорость соответствует падающему участку!), и струна отклонится еще больше. При дальнейшем отклонении упругая сила в какой-то момент обязательно превысит силу трения (упругая сила пропорциональна величине отклонения, а сила трения скольжения не может превзойти максимального значения силы трения покоя), и струна начнет двигаться в обратную сторону. Она пройдет положение равновесия, снова отклонится, остановится и т. д. Таким образом возбудятся колебания струны.

Важно, что эти колебания будут незатухающими. В самом деле, при движении струны со скоростью Δv в сторону смычка сила трения совершает положительную работу, а при обратном движении - отрицательную. Но относительная скорость v₁ = u-Δv в первом случае меньше, чем скорость v₂ = u+Δv во втором случае, а следовательно, сила трения F_тр(u-Δv), наоборот, больше, чем F_тр(u+Δv). Таким образом, положительная работа сил трения при движении струны в сторону смычка больше, чем отрицательная работа при ее возвратном движении, и в целом силы трения совершают положительную работу. Амплитуда колебаний будет увеличиваться. Однако лишь до определенного предела. При v>v₀ (см. рис. 1) скорость выходит! за пределы падающего участка, и тогда отрицательная работа силы трения уже может стать больше, чем положительная. Энергия, а значит и амплитуда колебаний будут уменьшаться.

В результате установится такая амплитуда колебаний, при которой полная работа сил трения равна нулю (говоря точнее, эта работа компенсирует потери энергии вследствие сопротивления воздуха, неупругого характера деформаций и т. п.). С этой постоянной амплитудой и будут происходить незатухающие колебания струны.

Возбуждение звуковых колебаний при движении одного твердого тела по поверхности другого происходит очень часто. Сухое трение в дверной петле может вызвать скрип двери. Скрипят половицы, обувь. Скрип можно произвести просто пальцем, проведя им по какой-нибудь гладкой поверхности. Явления, происходящие при этом, во многом аналогичны возбуждению колебаний скрипичной струны. Вначале проскальзывания нет, и возникает упругая деформация. Затем происходит срыв, и возбуждаются колебания тела. Колебания не затухают, так как благо-даря падающей характеристике сил сухого трения поставляется необходимая энергия за счет работы этих сил.

При изменении характера зависимости сил трения от скорости скрип исчезает. Известно, например, что для этого достаточно смазать трущиеся поверхности. Сила жидкого трения (при малых скоростях) пропорциональна скорости, и условий, необходимых для возбуждения колебаний, нет.

Наоборот, когда хотят возбудить колебания, поверхности обрабатывают специальным образом, чтобы добиться более резкого уменьшения сил трения при увеличении скорости. Смычок скрипки, например, для этого натирают канифолью.

Рис. 4

Знание законов трения помогает решать важные практические задачи. При обработке металла на токарном станке иногда возникает вибрация резца. Эти колебания вызываются силами сухого трения между резцом и металлической стружкой, скользящей по его поверхности при обточке металла (рис. 4). Зависимость силы трения от скорости стружки (скорости обработки) для ряда высококачественных сталей оказывается падающей. Этим, как мы уже знаем, можно объяснить колебания резца. Для борьбы с вибрацией используется, например, специальная заточка резца, при которой нет скольжения стружки. Тем самым устраняется причина возникновения колебаний.