Поющие и безмолвствующие бокалы

Карета была подобна открытой раковине из сверкающего хрусталя, 
два больших колеса, казалось, были сделаны из того же вещества. 
Когда они вращались, возникали дивные звуки... Полные, все 
усиливающиеся и приближающиеся аккорды были подобны звукам 
стеклянной гармоники, но только неслыханной величины и силы ...

Э. Т. А. Гофман. "Крошка Цахес, по прозванию Циннобер"

То, что из стеклянных бокалов можно извлекать звуки, не ново. Однако оказывается, что музыкальные звуки из них можно извлекать весьма своеобразным способом. Впрочем, судите сами.

Если обмакнуть палец в воду и аккуратно водить им по краю бокала, постоянно смачивая водой, то сначала бокал будет издавать скрипящий звук, но затем, когда края хорошо оботрутся, звуки станут мелодичнее. Меняя силу нажима пальца, можно менять и тон извлекаемого звука. Кроме того, высота тона зависит еще и от размеров бокала, толщины его стенок и количества жидкости в нем.

Заметим, что не любой бокал способен издавать приятные поющие звуки, поэтому поиск подходящего бокала может оказаться долгим и хлопотливым. Лучше всего поют (а не скрипят) очень тонкие бокалы, имеющие форму параболоида вращения, на длинной и тонкой ножке. Тон звучания можно менять, подливая в бокал воду: чем больше в бокале будет воды, тем ниже он звучит. Когда уровень воды поднимется до середины бокала, на ее поверхности появятся волны, возникающие из-за сотрясения стенок бокала. Сильнее всего волнение будет в том месте, где в данный момент находится палец, извлекающий из бокала звук.

На основе описанного явления знаменитый американский ученый Бенджамен Франклин (открывший, в частности, атмосферное электричество) создал весьма оригинальный музыкальный инструмент, напоминающий описанный Гофманом в сказке "Крошка Цахес, по прозванию Циннобер". Целый ряд хорошо отшлифованных стеклянных чашек, просверленных в середине, на одинаковых расстояниях друг от друга прикреплялись к одной общей оси. Под ящиком, в котором находилась эта система, была приделана педаль (как у швейной машины), приводящая ось во вращение. От простого прикосновения мокрых пальцев исполнителя к вращающимся чашкам звуки усиливались до фортиссимо или падали до шепота.

Сейчас трудно представить себе этот удивительный музыкальный инструмент, но люди, слышавшие его, уверяли, будто бы гармония его звуков потрясающим образом действовала как на самого исполнителя, так и на слушателей. В 1763 г. свой экземпляр этого инструмента Франклин подарил англичанке мисс Дэвис. В течение нескольких лет она демонстрировала его во многих странах Европы, а затем этот удивительный инструмент бесследно исчез. Возможно, что воспоминания о нем впоследствии дошли до Эрнста Теодора Амадея Гофмана, и он использовал этот образ в "Крошке Цахесе".

Коль скоро речь зашла о бокалах, то стоит упомянуть и тот интересный факт, что чокаться бокалами с шампанским не принято. Видимо, в основе этой традиции лежит такое чисто физическое обстоятельство, что звук при соударении даже хрустальных бокалов, наполненных шампанским (или минеральной водой), оказывается глухим. В чем же тут дело? Почему бокалы с шампанским не звенят?

Мелодичность, "хрустальную" окраску звону придают возбуждаемые в резонаторе, которым является бокал с физической точки зрения, высокочастотные звуковые (v~10^-20 кГц) и даже ультразвуковые (v>20 кГц) колебания. При соударении пустых бокалов или бокалов, заполненных негазированными напитками, эти колебания возбуждаются и звучат довольно долго. Поэтому в качестве причины отсутствия звона при соударении бокалов с шампанским сразу же напрашиваются пузырьки углекислого газа, обильно выделяющиеся в нем после вскрытия бутылки. Может быть, они приводят к сильному рассеянию коротковолновых звуковых колебаний в бокале, подобно тому как флуктуации плотности молекул в атмосфере сильно рассеивают лучи коротковолновой части спектра солнечного света (см. раздел "В голубом просторе")?

Даже для звуков с частотами, находящимися на верхней границе слышимости человеческого уха (v~20 кГц), длина волны в воде составляет λ = c/v ~10 см (с = 1450 м/с - скорость звука в воде), что заведомо намного превышает размеры пузырьков углекислого газа в шампанском (v₀~1 мм), поэтому рассеяние звуковых волн по релеевскому типу на них, казалось бы, вполне возможно. Однако давайте вдумаемся, что означает полученная нами оценка для λ_min. Для простоты забудем о сложной форме реального бокала и рассмотрим его в виде прямоугольного ящика. Пусть в нем имеется плоская звуковая волна, представляющая собой волну сжатия и разрежения. Избыточное давление в среде при распространении плоской волны можно записать в виде

где Р₀ - амплитуда колебаний давления, ω - частота звука, λ - длина соответствующей звуковой волны, х - координата рассматриваемой точки вдоль направления распространения волны.

Поскольку даже λ_min превышает размеры бокала, то для излучаемых им звуковых волн функция P_изб (x,t) (о которой говорят как о поле давления) в заданный момент времени в пределах объема бокала меняется слабо, то есть первое слагаемое в аргументе косинуса в (*) оказывается несущественным (так как х<<λ). Главную роль в изменении избыточного давления внутри бокала, таким образом, играет второе слагаемое в аргументе косинуса, которое указывает на тот факт, что внутри бокала устанавливается практически однородное (в меру малости х<<λ), но быстро меняющееся со временем поле избыточного давления:

Подчеркнем отличие этого поля давления от стоячей волны. В стоячей волне давление меняется от точки к точке и не зависит от времени. В поле (**) ситуация обратная - оно однородно (не меняется от точки к точке), но быстро меняется со временем. Стоячая волна не может образоваться в бокале из-за малости его размера по сравнению с длинами возбуждаемых звуковых волн. Эти волны просто не помещаются в бокале.

Итак, полное давление в жидкости внутри бокала, таким образом, определяется суммой Риэб(1) и атмосферного давления:

Нам осталось сделать всего один шаг на пути к пониманию причин быстрого затухания звона бокалов с шампанским. Дело, оказывается, в том, что насыщенная газом жидкость является "нелинейной акустической средой". За этими "научными словами" скрывается следующее. Растворимость газа в жидкости зависит от давления - чем больше давление, тем больше газа "вмещает в себе" единица объема жидкости. Но, как мы уже убедились, при излучении бокалами звука внутри него возникает переменное поле давления. В моменты, когда давление в жидкости падает ниже атмосферного, в ней происходит усиленное выделение пузырьков. Конечно же, выделение газа изменяет найденный нами простой гармонический закон изменения давления в жидкости со временем; и именно в этом смысле о такой жидкости, насыщенной газом, следует говорить как о нелинейной акустической среде.

На выделение газа расходуется энергия колебаний и они быстро затухают. При соударении бокалов в них первоначально возбуждаются колебания различных частот, однако благодаря описанному механизму высокочастотные колебания затухают гораздо быстрее, чем низкочастотные (подумайте, почему?), и в результате мы слышим лишь глухой, лишенный своей высокочастотной "хрустальной" окраски звук.

Однако пузырьки в жидкости могут не только гасить звуковые волны, но и наоборот, в определенных условиях их излучать. Так, недавно было обнаружено, что под воздействием интенсивного лазерного излучения мелкие пузырьки воздуха, находящиеся в воде, начинают генерировать звуковые волны. Этот эффект обусловлен "ударом" лазерного луча о поверхность пузырька, от которой, вследствие явления полного внутреннего отражения, он может отражаться. В результате этого "удара" пузырек некоторое время вибрирует (до затухания колебаний), возбуждая в окружающей его среде звуковые волны. Оценим их частоту.

Существует целый ряд важных явлений, которые, несмотря на свою кажущуюся несхожесть, описываются одним и тем же уравнением - уравнением гармонического осциллятора. Это различного рода колебательные процессы - колебания грузика на пружинке, атомов в молекулах и кристаллах, заряда на пластинах конденсатора в LC-контуре и многое другое. Все эти явления объединяет наличие линейно зависящей от смещения возвращающей силы, которая всегда стремится вернуть систему в положение равновесия после ее вывода из этого положения каким-либо внешним воздействием. Такой колебательной системой является и воздушный пузырек в жидкости. Собственную частоту его колебаний можно оценить по известной формуле для частоты колебаний грузика на пружинке, сообразив, что будет играть роль коэффициента жесткости этой пружины в рассматриваемом случае.

Первым кандидатом на роль коэффициента жесткости представляется коэффициент поверхностного натяжения жидкости σ - он имеет ту же размерность (Н/м). Вместо массы грузика в формулу для собственной частоты колебаний, естественно, следует подставить массу жидкости, вовлеченную в колебания пузырька. Понятно, что эта величина оказывается порядка объема пузырька, умноженного на плотность воды: m~pr₀³. Таким образом, собственная частота колебаний воздушного пузырька в роде определится формулой^*

^* (О колебаниях воздушных пузырьков в воде можно прочитать также в книге: Гегузин Я. Е. Пузыри.- М.: Наука, 1985.- Библиотечка "Квант", вып. 46.)

Но это не единственно возможное решение. У нас остался никак не задействованным еще один важный параметр - давление воздуха в пузырьке Р₀. Если его умножить на радиус пузырька, то мы также получим величину, имеющую размерность коэффициента жесткости. Подставляя эту новую жесткость в формулу для собственной частоты колебаний, получим совсем другую частоту

Какая же из двух найденных частот истинна? Обе. Они просто соответствуют различным типам колебаний воздушного пузырька. Первый - это колебания, которые совершает пузырек после его первоначального сплющивания (скажем, в результате удара лазерным лучом). В процессе таких колебаний меняется его форма, а с ней и площадь поверхности, но остается неизменным объем пузырька. В этом случае возвращающая сила определяется действительно коэффициентом поверхностного натяжения^*. Однако возможен и другой тип колебаний. Так, если воздушный пузырек в жидкости равномерно сжать со всех сторон, а потом отпустить, то колебаться он будет уже за счет сил давления. Таким - радиальным - колебаниям и соответствует вторая из найденных нами частот.

^* (Нужно отметить, что колебания, в процессе которых объем пузырька остается неизменным, возможны самых различных типов - от обычного периодического сплющивания пузырька попеременно в различных направлениях вплоть до его превращения чуть ли не в бублик. Частоты их при этом могут отличаться лишь численно, по порядку величины оставаясь равными v₁ = ^σ1/2/_ρ^1/2r0^3/2.)

В рассматриваемом нами случае возбуждения колебаний лазерным лучом внешнее воздействие несимметрично, и, по-видимому, тип колебаний пузырьков будет скорее близок к первому из рассмотренных. Если знать размеры пузырьков, то о типе возбуждаемых колебаний можно судить во частоте генерируемого ими звука. В обсуждаемых опытах эта частота составляла 3*10⁴ Гц, размеры же мельчайших воздушных пузырьков в воде нам точно не известны. Ясно только, что они порядка долей миллиметра. Подставляя в соответствующие формулы v₀ = 3*10⁴ Гц, σ = 0,07 Н/м, Р₀ = 10₆ Па, ρ = 10^3кг/_м³, находим, что характерные размеры пузырьков, генерирующих звук в процессе колебаний первого или второго типов, есть

Как видите, эти размеры различаются не очень сильно, и определить по ним тип колебаний, реализуемый в действительности в условиях обсуждаемого эксперимента, не представляется возможным. Однако найденные размеры пузырьков оказались именно такими, какими они представлялись нам из повседневного опыта.