Импульс и координата

Представим себе, что нам надо следить за движением электрона. Как это сделать? Глаз - инструмент для этих целей неподходящий. Его разрешающей способности недостаточно, чтобы разглядеть электрон. Ну что ж, посмотрим на электрон в микроскоп. Разрешающая способность микроскопа определяется длиной волны света, в котором ведется наблюдение. Для обычного видимого света эта величина порядка 100 нм (10^-7 м), и частицы меньших размеров в микроскоп не разглядишь. Атомы имеют размеры порядка 10^-10 м, так что надеяться различить их, а тем более отдельные электроны, не приходится.

Но давайте пофантазируем.

Предположим, что нам удалось сконструировать микроскоп, использующий не видимый свет, а электромагнитные волны с меньшей длиной волны: например, рентгеновское или даже γ-излучение. Чем более жесткое у-излучение мы будем применять, то есть чем короче соответствующая длина волны, тем меньшие объекты можно наблюдать. Казалось бы, такой воображаемый γ-микроскоп был бы идеальным инструментом. С его помощью можно было бы измерить координату электрона сколь угодно точно. При чем же тут соотношение неопределенностей?

Вдумаемся глубже в этот мысленный эксперимент. Для того чтобы мы получили информацию о положении электрона, от него должен отразиться хотя бы один γ-квант - носитель минимальной порции энергии ћω^*. Чем меньше длина волны, тем больше порция энергии, которой обладает квант. А импульс кванта пропорционален его энергии. Сталкиваясь с электроном, γ-квант обязательно передает ему часть своего импульса. Таким образом, измеряя координату, мы всегда вносим неопределенность в импульс электрона, и чем точнее мы хотим провести измерение, тем большей будет неопределенность. Подробный анализ этого процесса показывает, что произведение неопределенностей нельзя сделать меньшим, чем постоянная Планка.

^* (Энергия кванта E = hv = ћω, где ω = 2πv - угловая частота.)

Может создаться впечатление, что мы рассмотрели только частный случай, придумали "плохой" прибор для измерения координаты и можно провести измерения гораздо тоньше, не "толкая" электрон, не изменяя его состояния. Но увы, это не так.

Лучшие умы (среди них и А. Эйнштейн) пытались придумать такой прибор, который смог бы измерить координату тела и его импульс одновременно, с точностью большей, чем позволяет соотношение неопределенностей. Но никому не удалось это сделать. Сделать это просто нельзя. Таков закон природы.

Все это может показаться несколько туманным, и трудно сразу построить какую-то четкую мысленную модель. Настоящее понимание приходит только в результате серьезного изучения квантовой механики. Для первого знакомства этого достаточно.

Чтобы понять, где лежит граница между макро- и микромиром, сделаем небольшую оценку. Например, в опытах по броуновскому движению используются очень маленькие частички - размером около 1 мкм и массой всего 10^-10 г. Но все-таки это кусочки вещества, содержащие огромное количество атомов. Из соотношения неопределенностей в этом случае имеем Δv_xΔx~ћ/m~10^-17см2/_с. Если, скажем, определять положение частички с точностью до одной сотой ее размера (Δх~10^-6 см), то Δv_х~10^-11 см/с. Получилась очень маленькая величина, и причина этого - малое значение постоянной Планка.

Скорость броуновского движения такой частички примерно равна 10^-4 см/с. Как видно, погрешность в скорости, связанная с соотношением неопределенностей, пренебрежимо мала (одна десятимиллионная доля!) даже у такого небольшого тела. Тем более она не играет роли для больших тел (ведь в правой части соотношения стоит ћ/m!). А вот если мы будем уменьшать массу частицы (возьмем, например, электрон) и увеличивать точность определения координаты (Δх~10^-8 см - атомные размеры), то неопределенность в скорости становится сравнимой с самой скоростью частицы. При описании электронов в атоме соотношение неопределенностей уже работает в полной мере, с ним не считаться нельзя. И это приводит к удивительным следствиям.