Нулевые колебания

Весьма впечатляющие результаты получаются при исследовании с помощью соотношения неопределенностей колебаний атомов в твердых телах. Атомы (или ионы) совершают колебания в узлах кристаллической решетки. Обычно такие колебания связаны с тепловым движением атомов - чем выше температура, тем сильнее колебания. А что будет, если температуру понизить? С классической точки зрения амплитуда колебаний будет уменьшаться, и при абсолютном нуле атомы вовсе остановятся. Но возможно ли это с точки зрения квантовых законов?

Уменьшение амплитуды колебаний на квантовом языке означает уменьшение размера облака вероятности (область локализации частицы). А за это, как мы уже знаем, приходится, в силу соотношения неопределенностей, расплачиваться увеличением импульса частицы - попытка остановить микрочастицу не приводит к успеху. Оказывается, что даже при абсолютном нуле температур атомы в твердом теле совершают колебания. Их называют нулевыми колебаниями, и проявляются они в целом ряде красивых физических эффектов.

Попробуем прежде всего оценить энергию нулевых колебаний. В колебательной системе при отклонении тела на малую величину х от положения равновесия на него действует возвращающая сила F = -kx (в случае пружины k - ее жесткость; у атома в твердом теле величина k определяется силами межатомного взаимодействия). Соответственно у тела появляется потенциальная энергия

где ω = √k/m - частота колебаний.

Отсюда следует, что амплитуда колебания х_mak связана с запасом энергии тела Е формулой

Но амплитуда колебаний на квантовом языке как раз определяет характерный размер области локализации частицы, который в силу соотношения неопределенностей связан с минимальным импульсом частицы. Получается, с одной стороны, чем меньше энергия колебаний, тем меньше должна быть амплитуда; с другой стороны, уменьшение амплитуды приводит к увеличению импульса, а следовательно, и энергии частицы. Минимальная энергия, которой может обладать частица, определяется из оценки

Сравнивая здесь первое и последнее выражения, находим E₀~ћω. Точный расчет дает вдвое меньшее значение. Энергия нулевых колебаний равна ћω/2. Она максимальна у легких атомов, которые колеблются с большей частотой.

Пожалуй, самое яркое проявление нулевых колебаний - это существование жидкости, которая вообще не замерзает, даже при абсолютном нуле температур. Ясно, что жидкость не замерзает, если кинетической энергии колебаний атомов достаточно для того, чтобы разрушить кристаллическую решетку. При этом совершенно неважно происхождение кинетической энергии - связана ли она с тепловым движением атомов или с нулевыми квантовыми колебаниями. Наиболее вероятные кандидаты в незамерзающие жидкости - водород и гелий. В этих легчайших веществах энергия нулевых колебаний максимальна. Но гелий к тому же - инертный газ. Его атомы взаимодействуют друг с другом очень слабо, и расплавить кристаллическую решетку гелия сравнительно легко. Оказывается, что энергии нулевых колебаний в гелии для этого достаточно, и он не замерзает даже при абсолютном нуле. А вот водород, хотя его атомы и обладают большей, чем у гелия, энергией нулевых колебаний, все-таки замерзает, так как взаимодействие атомов водорода между собой гораздо более сильное.

Все остальные вещества также замерзают при абсолютном нуле температур. Так что гелий - единственное вещество, которое при нормальном давлении всегда остается жидким. Можно даже сказать, что именно соотношение неопределенностей не позволяет ему замерзнуть. Физики называют жидкий гелий квантовой жидкостью. Она обладает таким удивительным свойством, как сверхтекучесть. Академик Л. Д. Ландау говорил, что жидкий гелий - это окно в квантовый мир.

Рис. 4. Волны на границе между твердым (светлая область) и жидким гелием

При давлении около 25 атмосфер жидкий гелий все-таки затвердевает. Твердый гелий, правда, тоже не совсем кристалл. В нем нулевые колебания определяют, например, кинетическую энергию атомов на границе между твердым и жидким гелием, и вследствие этого поверхность кристалла может совершать гигантские колебания, словно граница между двумя неперемешивающимися жидкостями (рис. 4). Твердый гелий физики назвали квантовым кристаллом, и его свойства сейчас интенсивно исследуются.