О существе математических доказательств (Дж. Коэн)

Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. Следовательно, и остальные ученые в большинстве своем не знают, о чем говорят и истина ли то, что они говорят.

Таким образом, одна из главных функций математического доказательства - создание надежной основы для проникновения в суть вещей.

Аристотель относится к числу первых философов, занявшихся изучением математических доказательств. Он изобрел силлогизм - приспособление, которое в силу своей абсолютной бесполезности привлекало внимание бесчисленного множества логиков и философов. Силлогизм состоит из первой посылки, второй посылки и заключения. Логики только и делают, что приходят к заключениям. Просто чудо, что они до сих пор не обошли все кругом и не пришли туда, откуда вышли.

В первой посылке заключается истина, относящаяся к целому классу вещей, например: "Не все посылки верны". Во второй посылке утверждается, что интересующая нас вещь принадлежит к этому классу, например: "Последние четыре слова предыдущего предложения являются посылкой". Таким образом, мы приходим к заключению: "Не всегда верно, что не все посылки верны". Такова всеобъемлющая полнота, с которой логика обобщает явления повседневной жизни.

Опираясь на математические доказательства, ученые сумели соединить дотоле разрозненные области, термодинамику и технику связи, в новую дисциплину - теорию информации. "Информация", научным образом определенная, пропорциональна удивлению: чем удивительнее сообщение, тем больше информации оно содержит. Если, подняв телефонную трубку, человек услышит "алло", это его не очень удивит; значительно больше будет информация, если его вместо "алло" внезапно ударит током.

Колоссальные новые возможности открылись перед математическими доказательствами с развитием теории множеств в конце прошлого столетия и начале нынешнего. Автор сам недавно открыл одну теорему в теории множеств, которая заслуживает того, чтобы ее здесь привести.

Теорема. Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.

Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путем вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.

Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.

Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведем пример развернутой логической системы.

Лемма 1. Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).

Доказательство. Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P(k) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k+1 лошадей имеют ту же масть. Возьмем множество, состоящее из k+1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся k лошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернем удаленную лошадь в множество, а вместо нее удалим другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберем все k+l множеств, в каждом по k лошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, т. е. предположение, что P(k) влечет за собой P(k+1). Но ранее мы уже показали, что предположение P(1) выполняется всегда, значит, P справедливо для любого k и все лошади имеют одинаковую масть.

Следствие I. Все предметы имеют одинаковую окраску.

Доказательство. В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждении "если X - лошадь, то все X имеют одинаковую окраску" можно заменить "лошадь" на "нечто" и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить "нечто" на "ничто" без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)

Следствие II. Все предметы белого цвета. Доказательство. Если утверждение справедливо для всех X, то при подстановке любого конкретного X оно сохраняет свою справедливость. В частности, если X - слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов^*. Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия I вытекает следствие II, что и требовалось доказать!

^* (См. Марк Твен, Похищение белого слона.)

Теорема. Александр Великий не существовал.

Доказательство. Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: "Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал". Но, согласно следствию II, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.

Из этого краткого обзора, посвященного математическим доказательствам, не следует делать вывод, что все уже доказано. Приведем два примера недоказанных теорем. Первый - это знаменитая гипотеза Голдбрика из теории чисел, которая утверждает, что каждое простое число можно представить в виде суммы двух четных чисел. Этого нехитрого утверждения никто до сих пор не опроверг, но, несмотря на многовековые усилия математиков, никто и не доказал. Второй пример известен, хотя бы в интуитивной форме, всему цивилизованному миру. Это знаменитый первый закон Чизхолма: "Все, что может испортиться, - портится".

Напечатано в книге "A Stress Analysis of a Strapless Evening Gown", Englewood Cliffs, N. J., 1963.

Дж. Коэн - студент Гарвардского университета.

"Выражение "Инфекционное заболевание" означает прежде всего заболевание, подпадающее под действие подраздела 1 раздела 29 абсолютно или согласно определению одной из стадий такого заболевания, но в любом разделе части 4 настоящего Закона, применением которой заболевание или стадия заболевания исключаются из этого класса в соответствии с подразделом 2 упомянутого раздела 29, соответствующее выражение не означает такого заболевания или такого заболевания в такой стадии, как это может показаться".

Из британского "Закона об охране здоровья".

Правило тринадцатого удара, которое следует помнить, читая работу, обещающую слишком много: если часы пробили тринадцать раз, то это не только означает, что тринадцатый удар был неверным. Он порождает сомнения в верности каждого из первых двенадцати ударов.

Джон Мастерс

Одна знакомая просила Альберта Эйнштейна позвонить ей по телефону, но предупредила, что номер очень трудно запомнить: 24361.

- И чего же тут трудного? - удивился Эйнштейн. - Две дюжины и 19 в квадрате.

- Мы считали: 10, 9, 8, 7, ... - и сбились со счета

Использование ракет в медицинских целях

В начале научной карьеры Эйнштейна один журналист спросил госпожу Эйнштейн, что она думает о своем муже.

- Мой муж гений! - сказала госпожа Эйнштейн. - Он умеет делать абсолютно все, кроме денег.

"...одной из главных причин потока научной литературы является то, что, когда исследователь достигает стадии, на которой он перестает видеть за деревьями лес, он слишком охотно склоняется к разрешению этой трудности путем перехода к изучению отдельных листьев".

"Ланцет", декабрь 1960 г.