Рождение новой механики

Догадок и необыкновенных, принципиально новых открытий накопилось уже достаточно: была установлена дискретность возможных значений ряда величин; найден один из основных масштабов природы — постоянная Планка, разграничивающая область явлений, описывающихся классической физикой, и явления квантовой природы; выяснено, что частицы выступают как носители и волновых, и корпускулярных свойств... Нужно было обобщать их, искать единое объяснение — строить теорию.

Квантовая механика

В 1926 г. Эрвин Шрёдингер, австрийский физик-теоретик, обобщил гениальную догадку де Бройля на случай, когда электрон движется не в свободном пространстве, а во внешнем поле, например в кулоновском поле ядра; он получил уравнение для функции, описывающей волновые свойства частиц.

Если написать это уравнение в свободном пространстве, функция будет описывать волновой процесс с длиной волны де Бройля, т. е. волны с постоянной длиной. Во внешнем же поле длина волны не постоянна, она изменяется от точки к точке. Если поле изменяется медленно, так же медленно изменяется и длина волны, и в каждой точке она определяется формулой де Бройля, только «импульс» р будет не постоянным, а изменяющимся от точки к точке p(r).

Оказалось, что решение уравнения Шрёдингера для атома водорода получается в согласии с правилами квантования Бора не для всех энергий, а только для дискретных значений, совпадающих с теми, которые следовали из правил Бора. Стационарное — устойчивое — состояние электрона в атоме водорода — допустимая боровская орбита — на языке уравнения Шрёдингера означает, что получилась стоячая волна, а стоячая волна получается, когда в области движения электрона укладывается целое число волн де Бройля.

В этом и состоит смысл правил квантования: стоячие волны могут образоваться только при дискретных значениях энергии электрона, когда в области движения укладываются одна, две, три и так далее волн.

Поясним это на простом примере. Предположим, что частица движется между непроницаемыми стенками, расположенными на расстоянии l друг от друга. У каждой из стенок волновая функция должна обращаться в нуль, т. е. переходить в волновую функцию снаружи, которая равна нулю (поскольку за стенки частица не выходит). Поэтому, чтобы получилось стационарное состояние n, на длине l должно уложиться целое число полуволн: 2l /λ = n. Такая стоячая волна представляет собой суперпозицию двух бегущих волн, одна из которых бежит направо, другая — налево, как в струне. Средний импульс частицы, отвечающей такой стоячей волне, равен нулю, а квадрат импулвса связан с длиной стоячей волны соотношением де Бройля. Длина волны де Бройля связана с импульсом частицы тем же соотношением: р = 2πh/λ = πhn/l. Найдем энергию: Е = р²/2m. Отсюда легко получить формулу: Е = π² h²n²/2ml². Так для этого простого случая мы нашли уровни энергии.

Квантование осциллятора

Отвлечемся немного от истории и посмотрим, что получится, если применить квантовую механику к обобщенному осциллятору, о котором уже шла речь.

Чтобы найти возможные состояния осциллятора, нужно, так же как и в уже описанном случае, чтобы образовалась стоячая волна с одной, двумя, тремя и так далее полуволнами де Бройля. Но в отличие от задачи о движении частицы между стенками длина l области, где может находиться координата осциллятора, растет с его энергией.

Приведем результат решения уравнения Шрёдингера. Энергия осциллятора Е_n=(n+ 1/2)hω. Она изменяется не непрерывно, как у классического осциллятора, а скачкообразно, порциями, равными ħω, что подтверждает правильность предположения Планка, которое положило начало квантовой теории.

Не менее важно и другое отличие от классического осциллятора. В самом нижнем состоянии, когда n =0, энергия не равна нулю, а равна hω /2. Конечно, совершенно ясно, что энергия не может равняться нулю; если бы одновременно были равны нулю и кинетическая, и потенциальная энергии, значит, были бы равны нулю и координата, и импульс. А это невозможно: сейчас мы познакомимся с соотношением неопределенности, согласно которому координата и импульс одновременно не могут иметь определенного значения!

Вот важное свойство квантового осциллятора, имеющее множество далеко идущих следствий: квантовый осциллятор в основном состоянии, в отличие от классического, не покоится. Ни кинетическая, ни потенциальная его энергии не равны нулю.

Оценим энергию основного состояния. Энергия осциллятора имеет вид: αq'²/2+γq²/2. Обобщенный импульс осциллятора — «масса» на «скорость» — равняется р = αq'. В основном состоянии в области движения осциллятора q укладывается половина волны де Бройля. При оценке для простоты будем отбрасывать численные множители.

Длина волны λ = ħ/p ~ q. Итак, р = ħ/q. Подставляя в выражение для энергии, найдем: (ħ/2αq²) + γq²/2. Наименьшая энергия получится, если приравнять кинетическую энергию к потенциальной. Вспомним, что частота осциллятора ω = (λ/α)^1/2

Отсюда найдется амплитуда колебаний осциллятора в основном состоянии: q² ~ ħ/αω и энергия основного состояния: E₀ ∼ ħω. Так же мы могли бы оценить значения энергии возбужденного состояния, получился бы результат, напоминающий точное решение, только с неопределенным числовым множителем впереди.

Так качественное рассмотрение позволяет выяснить свойства решения и даже получить линейную зависимость энергии от номера возбуждения.

Одно из двух: координата или импульс

Необычные — мысленные — эксперименты проделывал Вернер Гейзенберг, размышляя в 1927 г. о понятиях координаты и импульса частицы. Он пришел к мысли, что невозможно одновременно точно измерить координату и импульс: чем точнее измеряешь координату электрона, тем менее определенным делается его импульс...

Чтобы измерить координату, нужно посмотреть в «микроскоп» на электрон, освещенный светом короткой волны. Координата электрона будет измерена с неопределенностью порядка длины волны использованного света. Но, взаимодействуя с волной, электрон получит отдачу: его импульс изменится на величину порядка импульса одного фотона, равного 2πħ/λ. Чем меньше λ, тем лучше будет измерена координата, но тем более неопределенным станет импульс.

Итак, неопределенность координаты Δq ~ λ, неопределенность импульса Δр ~ 2πh/λ. Умножая выражение для Δр на λ ~ Δq, получим: ΔqΔр ~ 2πħ.

Это и есть соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Попробуем измерить координату электрона по-другому — проделаем известный опыт, много раз проводившийся со светом. Пропустим пучок электронов через отверстие в экране так, чтобы он шел перпендикулярно плоскости экрана, а за отверстием поставим второй экран. На нем появится яркое пятно с размытыми краями — свет у краев отверстия загибается, это результат его волновой природы. Загибание света легко увидеть, закрыв лампочку линейкой, линейка покажется выщербленной в том месте, где проходит свет. Та же картина дифракции получится и у пучка электронов.

По другую сторону экрана по законам дифракции получится пучок волн всех направлений, лежащий внутри некоего угла — угла дифракции. Отклонение электрона от прежнего направления после прохождения отверстия означает, что он получил импульс отдачи в поперечном направлении. Неопределенность поперечной координаты равна диаметру отверстия и связана с неопределенностью импульса опять соотношением Гейзенберга.

Проделав множество таких мысленных экспериментов с тем же результатом, нельзя не прийти к заключению, что мы имеем дело с принципиальным ограничением, которое природа накладывает на понятия координаты и импульса частицы. Этого ограничения не знала классическая физика, оно не вносит изменений в описание больших тел из-за малости h.

Соотношение неопределенностей и принцип дополнительности

Сама по себе координата и сам по себе импульс вполне определенны, они становятся неопределенными, только если одновременно измерять их, они взаимно неопределенны или дополнительны друг другу. Соотношение неопределенностей оказалось конкретным выражением общего принципа дополнительности, который сформулировал Нильс Бор в том же 1927 году.

Бор обнаружил, что кроме координаты и импульса частицы есть другие дополнительные понятия, например энергия и момент времени, когда произошло взаимодействие частицы с измеряющим устройством. Но, более того, идея дополнительности позволяет понять общую причину неопределенности некоторых понятий классической механики.

Квантовая природа микрообъектов дополнительна их классическому описанию. Что это значит?

Принципиальная неопределенность некоторых величин есть следствие применения классических понятий к описанию неклассических объектов. Но это неизбежно, ведь измерительные приборы должны давать определенные показания, и в этом смысле они обязательно классичны. Не значит ли это, что наше описание объективных свойств микрообъектов неопределенно и двусмысленно? Нет, язык классической физики, на котором говорят наши средства наблюдения и на котором мы формулируем свои мысли, позволяет до конца исследовать квантовые свойства микрообъектов.

Особенность квантовой механики в том, что свойства микроскопических объектов нельзя изучать, отвлекаясь от способа наблюдения. В зависимости от него электрон проявляет себя либо как частица, либо как волна, либо как нечто промежуточное.

Конечно, у частиц есть свойства, которые не зависят от способа наблюдения: масса, заряд, спин... Но всякий раз результат измерения дополнительных величин зависит от способа наблюдения.

Идея дополнительности помогла, наконец, примирить представление об электроне как о частице и о волне. Сказочные мифические существа — кентавры, люди-кони — в одной ситуации воплощают человеческую мудрость и благожелательность, в другой проявляют животный буйный нрав и невоздержанность; одни из них воспитывали героев, другие — вредили им. Частица-волна электрон — то человек, то конь, то кентавр, в зависимости от ситуации, от вопросов, которые задает эксперимент.

Итак, сформулированы основные законы и принципы. Квантовая механика на основе принципа дополнительности осуществляет синтез ранее непримиримых понятий; она позволяет предсказать исход любого опыта, в котором проявляются как корпускулярные, так и волновые свойства частиц. Но главный вопрос оставался нерешенным: что такое волновая функция, главный инструмент теории?

Физический смысл волновой функции

Вернемся снова к нашему опыту. Поставим далеко за экраном фотопластинку. Электрон, попав на нее, «засветит» зерно эмульсии, и его координата определится с точностью до размеров зерна. Пучок электронов после дифракции засветит круг. Если уменьшать интенсивность пучка так, чтобы падал, скажем, один электрон в минуту, дифракционная картина не изменится, надо только подольше подождать, пока она проявится. Значит, и одному электрону нужно приписать вероятность попасть в то или иное место фотопластинки...

Анализ подобных опытов позволил Максу Борну в 1926 г. предположить, что квадрат волновой функции определяет вероятность того или иного значения координаты или импульса электрона в зависимости от типа поставленного опыта.

Что помогло прийти к такому заключению? Вспомним, что теория волновых явлений света — интерференции и дифракции — была разработана задолго до уравнений Максвелла, до понимания электромагнитной природы света. Предполагалось только, что источник света испускает волны неизвестной природы, а интенсивность света пропорциональна квадрату той величины, которая колеблется. В современном представлении в световой волне колеблются во времени и пространстве электрические и магнитные поля и интенсивность света пропорциональна их квадрату. Но почти все волновые проявления объясняются независимо от природы света.

Физический смысл волновой функции

Было естественно считать, что и для волн, связанных с частицами, интенсивность — в нашем случае вероятность — пропорциональна квадрату волновой функции.

Сначала предполагали, что волновым свойствам частицы соответствует реальное физическое поле, подобное электромагнитному в световой волне. Но тогда уже один электрон давал бы в одном акте всю дифракционную картину, а он чернит только одно зерно... Значит, волновая функция частицы не физическое поле, не физическая волна, это «волна информации». Она представляет собой запись потенциальных возможностей исхода того или иного наблюдения.

Волновая функция — максимально полное, возможное описание состояния частицы. Она заменяет классическое состояние, которое задается координатами и скоростями.

Странные и удивительные свойства волновой функции казались Эйнштейну физически недопустимыми. Спор Эйнштейна с Бором продолжался много лет и привел к более глубокому пониманию квантовой механики. Действительно, если волновая функция — описание вероятностей, значит, опыт, проделанный в одном месте, может скачком изменять результаты измерений в другом месте... Для физического поля это недопустимо. Но если принять, что волновая функция — волна информации, все становится на свои места. Скачкообразное изменение вероятности вызвано уточнением, новой информацией. Мы задаем вопрос: какова вероятность получить двойку по физике? Прибавив к этому уточнение, определенное условие, например: «не заглядывая дома в учебник»,— мы получим скачкообразное изменение вероятности, она может подскочить до единицы. Обратное условие: «полностью поняв и выучив урок» — снова скачком сведет вероятность к нулю.

Представим себе, что две частицы с суммарным импульсом, равным нулю, разлетелись и нам нужно найти импульс одной из них — в Москве, другой — на Северном полюсе. Вероятность найти частицу с определенным импульсом изменится скачком, если мы измерим импульс первой частицы и будем искать импульс другой при условии, что московский нам известен. Вероятность зависит от того, какой вопрос мы поставим, отберем ли мы любые исходы северных опытов или только те, при которых московский импульс имеет заданную величину. Ничего странного и необычного в этом нет.

Нарушается ли причинность?

Удивительные успехи небесной механики в XVII—XVIII вв. внушили глубокую веру в возможность однозначных предсказаний. Гордясь могуществом своей науки, французский астроном, математик, физик Пьер Лаплас сказал: «Дайте мне координаты и скорости всех частиц, и я предскажу будущее Вселенной!»

Но вот мы узнали, что одновременно точно задать импульсы и координаты частиц невозможно! Согласно квантовой механике, можно указать только вероятность того или иного значения координат и импульсов.

Наука уже сталкивалась с вероятностными предсказаниями. Классическая статистическая физика может ответить на вопрос: какова вероятность найти частицу нагретого газа с такой-то энергией? Но эта вероятность рождена сложностью системы, неточностью определения начального состояния — за нею стоит строгая однозначность механических законов.

Главное открытие квантовой механики — вероятностный характер законов Вселенной. Раз на некоторые вопросы нельзя однозначно ответить, значит, на взгляд классической физики, нарушена причинность!

Да, мы не можем задать координаты и импульсы частиц, можем только задать в начальный момент волновую функцию и однозначно найти ее в любой более поздний момент. Мы можем с такой же гордостью воскликнуть: «Дайте мне волновую функцию всех частиц, и я предскажу будущее!»

Итак, в более точном смысле причинность сохраняется: из максимально полно определенного в кван-товомеханическом смысле начального состояния однозначно следует единственно возможное конечное состояние.

Квантовая механика — внутренне непротиворечивая теория, полностью согласующаяся с опытом для своего круга явлений.