Теория идеального газа

Свойства идеального газа, давшего нам определение температуры,- очень просты. При постоянной температуре действует закон Бойля - Мариотта: произведение pV при изменениях объема или давления остается неизменным. При неизменном, давлении сохраняется частное ^V/_Т, как бы ни менялись объем или температура. Эти два закона легко объединить, Ясно,- что выражение ^pV/_T остается тем же как при постоянной температуре, но изменяющихся V и р, так и при постоянном давлении, но изменяющихся V и Т. Выражение ^pV/_T остается постоянным при изменении не только любой пары, но и одновременно всех трех величин - р, V и Г. Закон ^pV/_Т = const, как говорят, определяет уравнение состояния идеального газа.

Идеальный газ выбран в качестве термометра потому, что толь-- ко его свойства связаны с одним лишь движением (но не с взаимодействием) молекул.

Каков же характер связи между движением молекул и температурой? Для ответа на этот вопрос надо найти связь между давлением газа и движением в нем молекул.

В сферическом сосуде радиуса R заключено N молекул газа (рис. 3.1). Проследим за какой-либо молекулой, например той, что движется в данный момент слева направо вдоль хорды длиной l. На столкновения молекул обращать внимание не будем: такие встречи не сказываются на давлении. Долетев до границы сосуда, молекула ударится о стенку и с той же скоростью (удар упругий) понесется уже в другом направлении. В идеале такое путешествие по сосуду могло бы продолжаться вечно. Если v - скорость молекулы, то каждый удар будет происходить через ^l/_vсекунд, т. е. в секунду каждая молекула ударится ^v/_l раз. Непрерывная дробь ударов N молекул сливается в единую силу давления.

По закону Ньютона сила равна изменению импульса в единицу времени. Обозначим изменение импульса при каждом ударе через Δ. Это изменение происходит ^v/_l раз в секунду. Значит, вклад в силу со стороны одной молекулы будет

Рис. 3.1

На рис. 3.1 построены векторы импульсов до и после удара, а также вектор приращения импульса Δ. Из подобия возникших при построении треугольников следует: Вклад в силу со стороны одной молекулы примет вид

Так как длина хорды не вошла в формулу, то ясно, что молекулы, движущиеся по любой хорде, дают одинаковый вклад в силу. Конечно, изменение импульса при косом ударе будет меньше, но зато удары в этом случае будут чаще. Расчет показал, что оба эффекта в точности компенсируются.

Так как в сфере N молекул, то суммарная сила будет равна

где v_cp - средняя скорость молекул.

Давление ρ газа, равное силе, деленной на площадь сферы 4πR², будет равно

где V - объем сферы.

Таким образом,

Это уравнение было впервые выведено Даниилом Бернулли в 1738 г.

Из уравнения состояния идеального газа следовало: ρV = const*T; из выведенного уравнения видим, что pV пропорционально v²_cp. Значит,

или

т. е. средняя скорость молекул идеального газа пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры.