1. Категории симметрии и асимметрии в истории науки

В ряде опубликованных работ, где исследуется применение принципа симметрии в естествознании, математике, архитектуре, искусстве, приводится обширный фактический материал, показывающий процесс формирования понятия симметрии в науке (4, 33, 46, 62, 167, 171, 196). Наличие этих публикаций позволяет нам ограничиться только кратким обзором некоторых моментов этой истории.

Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в определенных понятиях установленные им прежде всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности, соразмерности, равновесия и их нарушения.

Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, геометрическую строгость строения пчелиных сотов, последовательность и повторяемость расположения ветвей и листьев на деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении и искусстве.

Понятие "симметрия" употреблялось в двух значениях. В одном смысле симметричное означало нечто весьма пропорциональное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова -равновесие.

Греческое слово σνμμετρα означает однородность, соразмерность, пропорциональность, гармонию.

Познавая качественное многообразие проявлений порядка и гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию и в количественных отношениях, при помощи геометрических построений и чисел.

Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности, соразмерности, гармонии подавляла древнего человека своим совершенством, и это было использовано религией, различными представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в объективной действительности для доказательства всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос. Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар) имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.

Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии. Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое, тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и 4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4, пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что "все есть число" или "все упорядочивается в соответствии с числами". Сами эти числа 1, 2, 3, 4 составляли знаменитую "тетраду". Очень древнее изречение гласит: "Что есть оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма сирен". Геометрическим образом тетрады является треугольник из десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3, плюс 2, а одна находится в центре.

Традиция, приписывающая Пифагору вычисление интервалов диатонической гаммы, также заслуживает доверия; это были целый тон (9:8) и большой полутон, или "лейма" (256:243); действительно, эти соотношения могут быть получены из октавы (2:1), квинты (3:2) и кварты (4:3) при помощи последовательных делений.

В геометрии, механике - всюду, где мы имеем дело с отрезками прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти понятия являются отражением реальных отношений между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С. Таким образом, совершается переход от единства к двойственности, и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Пропорция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких соотношений. Следовательно, необходимо наличие не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между А и В, дает возможность построить шесть различных возможных соотношений:

при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой буквами "а", "b", "с" и применения к данной длине любой системы мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:

1) две симметрические части а = b;

2) ^a/_b = ^c/_a

Так как с = а + b, то очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении ^a/_b; значит, "а" превосходит "b" и точка "С" стоит ближе к В, чем к А.

Это соотношение может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделена на две неравные части таким образом, что большая из ее частей относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится к его большей части: 3) В этом случае "b" больше "а"; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же, что и во втором случае.

Рассмотрим равенство при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется лишь одна точка С, поставленная таким образом, чтобы длина отрезков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления; следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее отношению ^a._b. Эту же задачу можно решить путем геометрического построения, известного как деление прямой на две неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и большей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин обеих частей, а это и соответствует формуле

которую называют "божественная пропорция", "золотое сечение" и т. д.

Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению наряду с понятием симметрии и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих первых количественных выражений в так называемом золотом делении, или золотой пропорции.

Пифагор выразил "золотую пропорцию" соотношением:

где H и R суть гармоническая и арифметическая средние между величинами А и В.

Кеплер в своем труде "Mysterium Cosmographicum de admirable proportionc orbium caelestium" ("Космографическая тайна удивительнейших пропорций небесной сферы", 1556) первый обращает внимание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее sectio divina - "божественное сечение"; Леонардо да Винчи называет эту пропорцию "золотое сечение".

Проведем некоторые преобразования вышеприведенной формулы. Прежде всего разделим на "b" оба элемента второго члена этого равенства и обозначим

или . Отсюда

Корнями этого уравнения являются

Это число обладает характернейшими особенностями. Обозначим это число буквой Ф.

Оказывается, что геометрическая прогрессия, в основании которой лежит Ф, обладает следующей особенностью: любой член этого ряда равен сумме двух предшествующих ему членов. Ряд 1, Ф, Ф², Ф³, ..., Фⁿ является одновременно и мультипликативным, и аддитивным, т. е. одновременно причастен природе геометрической прогрессии и арифметического ряда. Следует обратить внимание на то, что формула

выражает простейшее асимметрическое деление прямой АВ. С этой точки зрения данное отношение является "логической" инвариантов проистекающей из счислений отношений и групп. Пеано, Бертран Рассел и Кутюра показали, что исходя из принципа тождественности можно вывести из этих отношений и групп принципы чистой математики.

Любопытно, что древние архитекторы уже пользовались приемом асимметричного деления. Так, например, стороны пирамиды Фараона Джосера относятся друг к другу, как 2 : √5, а ее высота относится к большей стороне, как 1 : 2.

Интересно, что на сохранившемся до наших дней изображении древнеегипетского зодчего Хисеры (жил свыше 4,5 тыс. лет тому назад) имеются две палки - очевидно, эталоны меры. Их длины относятся, как 1 : √5, т. е. как меньшая сторона прямоугольного треугольника к гипотенузе.

Известно также, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами, относящимися друг к другу, как 1:2, а план этого сооружения образует прямоугольник со сторонами 1 и √5.

Архитектор И. Шевелев рассматривая пропорции древнерусской архитектуры (церковь Покрова на Нерли и храм Вознесения в Коломенском) привел убедительные данные, свидетельствующие о том, что русские архитекторы также пользовались пропорциями, связанными с "золотым сечением".

Пропорция "золотого сечения" дает возможность архитекторам находить наиболее удачные, красивые, гармоничные сечения целого и частей, единство разнообразного; в конечном счете они пользуются сочетанием принципов симметрии и асимметрии.

Если в период Возрождения внимание ученых и преподавателей искусства было приковано к "золотому сечению", то впоследствии оно постепенно падало, и только в 1855 г. немецкий ученый Цейзинг вновь ввел его в обиход в своем труде "Aesthetische Forschungen" ("Эстетические исследования"). В нем он писал, что для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть то же отношение, что и между большей частью и целым.

Применение "золотого сечения" есть лишь частный случай общего закона периодической повторяемости одной и той же пропорции в совокупности, в деталях целого.

Рассмотрение вопроса о "золотом сечении" приводит к выводу, что здесь мы имеем дело с отображением средствами математики (при помощи понятий симметрии и асимметрии) существующей в природе пропорциональности.

Все вышеизложенное позволяет утверждать, что взгляды Пифагора и его школы содержали наряду с мистикой и идеализмом и некоторые плодотворные математические и естественнонаучные идеи. Впоследствии учение пифагорейцев получило развитие в философии крупнейшего представителя античного идеализма Платона. Мир, утверждал Платон, состоит из правильных многоугольников, обладающих идеальной симметрией. Физические тела - это идеальные математические сущности, составленные из треугольников, упорядоченные демиургом.

Конспектируя лекции Гегеля по истории философии, В. И. Ленин пишет: "Подробно размазывает Гегель "натурфилософию" Платона, архивздорную мистику идей, вроде того, что "сущность чувственных вещей суть треугольники" и т. п. мистический вздор. Это прехарактерно! Мистик-идеалист-спиритуалист Гегель (как и вся казенная, поповски-идеалистическая философия нашего времени) превозносит и жует мистику - идеализм в истории философии, игнорируя и небрежно третируя материализм. Ср. Гегель о Демокрите-nil!! О Платоне тьма размазни мистической" (2, 29, 254).

Эти ленинские слова полны глубокого смысла и в наше время, когда философы-идеалисты, а также некоторые крупнейшие математики и естествоиспытатели капиталистического мира (Вейль, Дирак, Гейзенберг) зовут назад - к Пифагору и Платону.

Отдельные интересные суждения о симметрии и гармонии мы встречаем в работах многих философов и естествоиспытателей (прежде всего Леонардо да Винчи, Лейбница, Декарта, Спенсера, Гегеля и других) (238, 168-220), но мы их рассматривать не будем, так как сосредоточим внимание прежде всего на фактических данных о симметрии и асимметрии, которые дали естественные науки в своем развитии. Попутно заметим, что в значительной степени прав немецкий ученый Венцлав Бодо, когда пишет, что "философия, за исключением некоторых высказываний, не пыталась дать объяснение этой интересной стороне природы. На протяжении веков спорили о причинности, детерминизме и других вопросах, не видя взаимосвязи их с проблематикой симметрии или не стремясь к этому. Симметрия, по-видимому, прибавлялась только как искусственная роскошь к довольно узкому готовому миру вещей с их свойствами и силовыми взаимодействиями, их движениями и изменениями" (183).