8. Диалектическое единство линейности и нелинейности

В настоящей работе и в других публикациях мы обращали внимание на диалектическое единство симметрии и асимметрии, на нарушения симметричных состояний в реальной действительности, где нет чистых изолированных систем (нам, например, не известны случаи изоляции от гравитационных воздействий и в этом смысле все системы - открытые). Сейчас широким фронтом развертывается исследование свойств открытых неравновесных, нелинейных систем и процессов. Не только порядок, но и беспорядок, их диалектическая взаимосвязь, их законы поведения представляют особый интерес для физиков и философов-марксистов.

В одной из недавних наших совместных с В. И. Жогом публикаций мы рассмотрели вопрос о материальном единстве мира и единстве линейности и нелинейности физических процессов и показали, что в системе научных понятий, отражающих объективную диалектику материального мира, его единство, важное место занимают понятия линейности и нелинейности. Рассмотрение диалектического единства этих понятий позволяет полнее раскрыть сущность материальных процессов, выявить их взаимосвязи, общие моменты и особенности. "Всесторонняя, универсальная гибкость понятий...- отмечал В. И. Ленин,- примененная объективно, т. е. отражающая всесторонность материального процесса и единство его, есть диалектика, есть правильное отражение вечного развития мира" (2, 29, 99).

Прежде всего напомним читателям, какие системы называются линейными или нелинейными.

Линейные системы являются характерным классом физических систем, свойства которых не меняются при изменении их состояния. Иначе говоря, параметры линейной системы (упругость, коэффициент трения в механических системах, емкость, индуктивность в физических системах и т. п.) не зависят от величин, которые характеризуют состояние системы. Параметры реальных физических систем в известной степени зависят от их состояний, например активное сопротивление проводника зависит от его температуры и зависит, в свою очередь, от силы протекающего тока. Вследствие этого можно сказать, что все реальные физические системы являются нелинейными, а их линейность представляет такой способ описания, который справедлив, когда можно пренебречь изменением некоторых параметров такой системы.

Примерами линейных систем могут служить механический маятник, электрический колебательный контур и др. Они обладают свойствами, которые существенным образом упрощают анализ происходящих в них процессов. Различные по своей природе линейные процессы описываются одинаковыми линейными дифференциальными уравнениями.

Вместе с тем в физике все большее внимание привлекают такие реальные процессы и системы, для описания которых уже недостаточно линейных уравнений и требуется учет нелинейности. Как известно, нелинейными являются системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов. Поведение нелинейных физических систем принципиально отличается от поведения линейных. Наиболее характерным отличием является нарушение в них принципа суперпозиции. В нелинейных системах результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия последнего. Важные особенности поведения нелинейных систем проявляются в случае возбуждения в них колебаний.

Общей чертой нелинейных оптических явлений выступает зависимость характера их протекания от интенсивности света. Сильное световое поле меняет характер среды, что и обусловливает изменение характера оптических явлений. Развитие нелинейной оптики, прежде всего лазерной техники, поставило вопрос о выяснении роли нелинейности в физических теориях.

Следует подчеркнуть, что нелинейные эффекты не ограничиваются световыми колебаниями и волнами. Имеются и такие новые области физической теории, где невозможно обойтись без нелинейного подхода; это относится, например, к акустическим эффектам в среде (147. 1979. 128(1) 107). Здесь особый интерес представляют нелинейные явления электронного происхождения. При низких температурах электроны проводимости играют в акустических эффектах определяющую роль, причем нелинейности, обусловленные взаимодействием звуковой волны с электронами, проявляют себя при малых интенсивностях звука. Нелинейные эффекты, о которых здесь идет речь, связаны с явлением захвата электронов проводимости периодическим полем звуковой волны. При этом наблюдается целый ряд новых нелинейных эффектов. Таким, например, является зву-коэлектрический эффект, состоящий в возникновении постоянного тока, благодаря увлечению электронов проводимости звуковой волной (292, 990).

Как мы видим, представление о нелинейности помогает понять специфику двух различных физических процессов звуковых волн и электрического тока в проводниках. Это стало возможным потому, что здесь анализируются и линейные процессы, описывающие те и другие явления, но вместе с тем лишь представление о нелинейности позволяет описывать нестационарные процессы.

Для дальнейшего рассмотрения необходимо совершить небольшой экскурс в историю становления проблемы. Постановка задачи о нелинейности связана с именами Рэлея, Д'Аламбера, Пуанкаре, которые исследовали математическую модель струны и другие модели при помощи дифференциальных уравнений. Математические исследования природы линейности и нелинейности так или иначе обусловливались потребностями физики. Показательной в этом плане является история становления теории уравнений второго порядка с частными производными. "Она развивалась,- писал А. Пуанкаре,- главным образом через физику и для нее. Она может принимать множество форм, ибо для определения неизвестной функции недостаточно одного подобного уравнения: необходимо добавить дополнительные так называемые граничные условия: отсюда вытекает много разных проблем... Каждая физическая теория- теория электричества, теория теплоты - представляет нам эти уравнения под новым видом. Итак, можно сказать, что без них мы не знали бы уравнений с частными производными" (123, 224-225).

В 30-е годы XX в. на первое место в области обыкновенных дифференциальных уравнений встают проблемы качественной теории. Значительное влияние оказывают потребности физики, особенно нелинейной теории колебаний. А. А. Андронову и Л. И. Мандельштаму принадлежит здесь целый ряд важных математических идей и разработок.

Академик Н. Г. Басов писал: "Л. И. Мандельштам первым обратил внимание на необходимость выработки в физике нового "нелинейного мышления". До его работ существовали лишь отдельные частные подходы к анализу отдельных нелинейностей в различных физических задачах. Роль Л. И. Мандельштама состоит в том, что он отчетливо понял всеобщность нелинейных явлений, сумел увидеть, что возможности линейной теории принципиально ограничены, что за ее пределами лежит огромный круг явлений, требующих разработки новых нелинейных методов анализа" (234, 171 -172).

Логикой своего развития физика вынуждала ученых стихийно прибегать к диалектике в понимании соотношения линейности и нелинейности в реальных процессах. Однако сейчас такой подход явно недостаточен: здесь необходимо сознательное, творческое использование методологической мощи теории диалектики. Об этом свидетельствует современное состояние исследований в области физики и других наук.

В современной физической теории принято различать геометрическую и физическую нелинейность. Так, например, согласно нелинейной теории упругости, макроскопические упругие свойства твердых тел описываются нелинейной зависимостью компонент тензора деформации от смещений по координатам. Указанная особенность конечных деформаций не зависит от физических свойств деформируемого тела и называется "геометрической нелинейностью".

Физическую нелинейность определяют через модули упругости высших порядков. Указанные нелинейности носят феноменологический характер и не вскрывают динамику явлений упругости.

В философской и физической литературе часто пользуются понятиями "феномен" и "феноменология", и поэтому о них следует сказать несколько слов. Понятие "феномен", производным от которого является понятие "феноменология", в марксистской философии отождествляется с понятием "явление" - философской категорией, отражающей внешние свойства и отношения объекта. Интересное объяснение термину "феноменологический", с точки зрения физика, дает В. Гейзенберг. По его мнению, феноменологической можно назвать такую теорию, "...которая пробует увязать различные эмпирические данные на некоторой теоретической основе, но не пытается явно сформулировать исходный закон природы. Теории такого типа могут весьма успешно описывать необходимые явления, а с течением времени они могут возникать как следствие определенного приближения, примененного в полной теории" (34, 172).

В случае решения реальных физических задач, как об этом пишет В. Гейзенберг, этих представлений оказывается недостаточно. Для описания особенностей реальных твердых тел приходится прибегать к понятиям нелинейных взаимодействий, которые запрещены теорией упругости однородного изотропного тела.

Аналогичная ситуация имеет место и при описании микроскопической нелинейности, которая определяется нелинейностью межатомных сил. Представление о нелинейности межатомных сил, которое принято называть "решетчатой нелинейностью", позволяет объяснить целый ряд физических явлений, в том числе и макроскопических. Например, тепловое расширение твердых тел. Представление о нелинейности межатомных сил дало возможность объяснить появление новых фононов (квантов колебаний кристаллической решетки), распространить представления о фоно-фононных взаимодействиях на описание нелинейных взаимодействий искусственно возбуждаемых низкочастотных волн (когерентных фононов) (147. 1970. 102(4), 550).

Исследование реальных физических явлений ведет ученых к отражению в диалектике понятий объективной диалектики этих явлений. Эта общая закономерность хорошо просматривается и при рассмотрении соотношения между понятиями линейности и нелинейности. Учет единства и различия линейности и нелинейности позволяет, с одной стороны, выявить и описать нелинейные упругие свойства твердых тел, а с другой - дает возможность создать модели распространения нелинейных волн. Можно привести и другие примеры, иллюстрирующие вышесказанное, и, опираясь на них, утверждать, что возможности, содержащиеся в единстве и различии линейности и нелинейности, еще далеко не полностью реализуются в физических теориях.

Известно, что материальное единство мира находит свое отражение и в исследованиях взаимосвязи целого и его частей. Так, например, анализ оснований синергетики позволяет рассмотреть один из аспектов этой проблемы. Необходимость появления синергетики была обусловлена требованиями объяснения сложных процессов различной природы, не описывающихся линейными уравнениями и при рассмотрении которых классическая математическая физика встретилась с известными затруднениями.

Синергетика описывает процессы, в которых целое обладает такими свойствами, которых нет у его частей. Она рассматривает окружающий материальный мир как множество локализованных процессов различной сложности и ставит задачу отыскать единую основу организации мира как для простейших, так и для сложных его структур.

До настоящего времени в естествознании преобладающим был подход, согласно которому часть всегда рассматривалась как более простое, чем целое. В синергетике делается попытка описать развитие мира в соответствии с его внутренними законами развития и при этом на основании результатов всего комплекса естественных наук. Для нашего анализа представляется важным то, что одним из основных понятий синергетики является понятие нелинейности (95; 133; 135; 174; 278).

Успехи термодинамики, ее связь со статистической физикой обусловили возможность применения ее методов для описания широкого класса систем. Неравновесная термодинамика охватывает все случаи, когда потоки (или скорости необратимых процессов) являются линейными функциями термодинамических сил (градиентов температуры или концентраций). Впоследствии выяснилось, что некоторые процессы не могут быть описаны в рамках этого в общем плодотворного подхода.

Для решения этой задачи были предложены нелинейные модели, в которых использовались термодинамические понятия: концентрация, температура и т. п. Одной из таких моделей является так называемая модель брюсселятора¹. Предложенная модель описывает пространственное распределение и временное изменение реагентов в химических реакциях. Дальнейшее изучение показало возможность ее использования для описания свойств диссипативных структур самых различных нелинейных систем.

¹ (Название этой модели обусловлено тем, что она предложена брюссельской научной школой, руководимой лауреатом Нобелевской премии И. Пригожиным.)

Отклонение от начального стационарного хода поведения химических реакций, как показывает изучение этой модели, приводит к тому, что возникают различные структуры, в том числе и нелинейные. Это позволяет сформулировать так называемый принцип "порядка через флуктуации". "В той области, где термодинамическая ветвь теряет устойчивость,- пишет И. Пригожий,- флуктуации усиливаются и приводят к макроскопическому порядку, который стабилизируется за счет обмена энергией со внешней средой" (95, 11). Учет нелинейности при изучении термодинамических процессов показывает, что флуктуации и случайные процессы малой амплитуды, нарастая, могут изменить основные характеристики физической системы.

Возникает вопрос: какова роль нелинейности, зачем разрабатывать нелинейные модели, если большое количество физических процессов можно объяснить с помощью линейных моделей или же свести нелинейные задачи к линейным? Ответ на этот вопрос, по нашему мнению, состоит в следующем: линейные задачи рассматривают лишь рост, течение процессов, нелинейность же описывает фазу их стабилизации, возможность существования нескольких типов структур, т. е. сочетание линейности и нелинейности (пока еще далеко не диалектическое) дает более адекватное отражение реальных процессов, так как с их помощью выражается единство устойчивости и изменчивости, являющихся ядром сущности всякого движения.

Большинство реальных систем описывается линейными уравнениями. Для многих из них имеются решения, что позволяет получить линейные соотношения. Однако это возможно лишь для тех случаев, когда воздействия на рассматриваемую систему не являются достаточно интенсивными. Если же эти воздействия интенсивны и система носит открытый и неравновесный характер, то возникает необходимость нелинейного анализа. Одной из причин существующего интереса к модели брюсселятора является то, что в ней находят свое отражение общие черты многих систем, характеризующих возникновение структур и явлений самоорганизации.

Представляется важным, что нелинейность связана с принципом экстремального действия, который для нелинейных систем, изучаемых синергетикой, формулируется как принцип минимальной диссоциации энергии. В настоящее время его принято формулировать так: "Когда природа допускает существование нескольких процессов, достигающих одной и той же цели, то реализуется тот, который требует минимальных энергетических затрат" (89, 56).

Учет нелинейности оказывается существенным и при описании турбулентного движения. До сих пор нет общепринятого взгляда на природу турбулентности. Широко распространены две точки зрения. С одной стороны, турбулентность возникает как результат случайных процессов, отражающихся в уравнениях термодинамики, а с другой - ее причину можно объяснить за счет введения других сил, например флуктуирующих процессов. Задача осложняется еще и тем, что описание турбулентных процессов приводит к проблеме выбора различных решений, описывающего данный процесс дифференциального уравнения.

Удалось установить, что системы дифференциальных уравнений описывают стохастические процессы без привлечения каких-либо флуктуирующих сил. В настоящее время такие системы называются системами, имеющими "странные аттракторы". Просто аттракторами называют то множество значений, которые приобретает рассматриваемая система при бесконечно большом времени существования (135, 87). Здесь существенно то обстоятельство, что для получения этих значений можно пренебречь начальными условиями развития данного процесса. Аттракторами обычно называют множество особых изолированных точек или замкнутых кривых, а все остальные аттракторы получили название странных. "В семидесятые годы было показано, что многие процессы описываются либо уравнениями Лоренца, либо системами уравнений, у которых есть странные аттракторы. Такие уравнения описывают поведение некоторых типов волн в плазме, многие химические реакции в открытых системах, изменение численности определенных биологических сообществ, генерацию лазера в некотором диапазоне параметров. Делаются попытки связать модели со странными аттракторами и циклы солнечной активности" (256, 59).

Нелинейные представления, описывающие системы со странными аттракторами, приводят к появлению в теории новых понятий, что в свою очередь приводит к уточнению физической теории.

Основным вопросом, который обсуждает синергетика в своих задачах, является вопрос о том, как возникает порядок из беспорядка, как в однородной в среднем неравновесной среде появляются вполне определенные структуры. Классическим примером является образование ячеек Бенара при термодинамической конвенции. Сам этот эффект достаточно прост. При подогреве плоского горизонтального слоя силиконового масла снизу из беспорядочных начальных возмущений возникает упорядоченная структура определенной формы. Причем она не зависит от размеров сосуда и геометрии его боковых стенок (147. 1979. 128(4), 606-608).

Вопрос о появлении упорядоченных структур не является специфичным только для термодинамики, он возникает и в астрофизике при попытках объяснить структуру спиральных галактик, а также в биологии и химии - при объяснении ревербиратов (спиральных волн) (242).

Несмотря на то что процессы самоорганизации находят свое проявление в самых разнообразных формах, они имеют ряд общих черт. "Отличительная черта моделей самоорганизующихся процессов,-отмечает Г. И.Рузавин,-заключается в том, что в них используются нелинейные математические уравнения, в которые переменные входят в степени выше первой" (31.1984. 8, 43).

Таким образом, можно сделать вывод, что синергетика, используя единство линейности и нелинейности, выражает в теории те аспекты материального единства мира, которые связаны с общими свойствами саморазвития сложных систем. Нелинейные уравнения, составляющие основу этой теории, позволяют с помощью достаточно простых моделей описывать самые различные материальные процессы. Даже не решая этих уравнений можно выработать представление о качественно новых чертах тех процессов, которые этими уравнениями описываются.

Все происходящие в природе процессы можно условно разделить на две большие группы: сложные (хаотические) и простые (упорядоченные). Сложнее всего построить теорию, описывающую неупорядоченные процессы, например вихри в турбулентном потоке жидкости, сложные атмосферные явления, шумы в электронной схеме. Традиционным является статистический поход к неупорядоченным процессам. Скажем, нельзя заранее предсказать, какова будет следующая амплитуда шумового сигнала, но можно оценить вероятность достижения этим сигналом определенных значений.

Если рассматривать различные процессы - изменение популяций от поколения к поколению, шумы в механических, электрических и химических осцилляторах, то можно подметить у них одну общую черту. При изменении какого-либо внешнего параметра поведение системы от простого переходит к хаотическому. Имеется определенный диапазон значений этого параметра, при котором поведение системы является упорядоченным и, что не менее важно, периодическим. Если выйти за границы этого диапазона, то процесс перестает воспроизводиться через Т секунд. Новая периодичность сохраняется внутри нового диапазона значений параметра, пока не достигается новое критическое значение. Удвоение периода можно наблюдать во всех вышеперечисленных процессах. "В пределе,-отмечает М. Фейгенбаум,-хаотического непериодического движения имеется единственное и поэтому универсальное решение, общее для всех систем, испытывающих удвоение" (147. 1983. 141(2), 346).

Это обстоятельство приводит к интересному следствию: б - скорость перехода к хаотическому движению является универсальной величиной, равной 4,6692016... Из этого следует и другой не менее важный вывод: "Универсальность теории такова, что большинство измеримых параметров любой из таких систем в пределе хаотического движения может быть определено без помощи специальных, описывающих данную систему уравнений, т. е. если система переходит к хаотическому поведению путем удвоения периода (качественная характеристика), то ее количественные характеристики становятся полностью заданными. Этот вывод подобен следствиям современной теории фазовых переходов, в которой несколько качественных характеристик системы, совершающей фазовый переход, особенно размерность, определяют универсальные критические элементы" (147. 1983. 141(2), 346).

Теория описания сложных хаотических процессов, обсуждаемая М. Фейгенбаумом, с нашей точки зрения, представляет интерес, ибо автор, по существу, исходит из признания материального единства мира и пытается найти то общее, что присуще хаотическим процессам различной природы. Теория универсальности дает возможность предсказать поведение той или иной системы за пределами возможностей других математических выводов. Поясним это с помощью следующего примера. Система дифференциальных уравнений имеет определенное заданное отображение. Конкретный аналитический вид этого отображения с помощью современных математических методов неизвестен. Вместе с тем если отображение это испытывает удвоение периода, то теория универсальности дает точные количественные предсказания, вне всякой зависимости от конкретного вида отображения.

Большое внимание к себе теория универсальности привлекает еще и потому, что экспериментально установлен переход ряда жидкостных потоков в турбулентное состояние через удвоение периода.

Важным методологическим выводом, вытекающим из теории универсальности, является также то, что поведению нелинейных систем различной природы и различного характера нелинейности присущи общие, универсальные характеристики. Выделение таких характеристик свидетельствует о том, что эта теория практически во все большей степени учитывает фактор материального единства и свидетельствует о единстве научного знания.

Из определений понятий линейности и нелинейности видно, что они основываются на таких категориях, как тождество и различие (как и категории симметрии и асимметрии), изменение и становление, т. е. на категориях, обладающих всеобщим значением. Каждый закон выражает тот или иной порядок явлений, их регулярность или последовательность во времени. В любом законе природы находит свое выражение однородность, присущая различным явлениям и материальным процессам. Однородность, а вместе с ней и линейность выражают одинаковость связей, отношений и структур, в то время, как нелинейность выражает их различие. Таким образом, линейность и нелинейность выступают существенными сторонами явлений окружающего мира.

Между законами явлений и их линейностью существует глубокая внутренняя связь. При помощи линейности можно вскрыть важные, существенные стороны явлений окружающего мира. В то же время знание о линейности явлений еще не означает полного знания их законов. Линейность и нелинейность явлений выражают не все содержание явлений, а лишь их определенную сторону.

Законы действуют лишь в определенных условиях. В связи с этим правомерен вопрос о линейности или нелинейности законов по отношению к различным условиям. Если в условиях действия законов нет тождественных, сохраняющихся моментов, то законы по отношению к ним линейностью не обладают. Задача состоит в том, чтобы выявить тождественное в разнообразных условиях действия законов, что, в свою очередь, позволяет определить их линейность.

Линейность или нелинейность выражают различные тенденции развития материального мира. Если линейность отражает тенденцию к устойчивости, равновесию, сохранению определенности структуры, то нелинейность выражает тенденцию к нарушению равновесия и структуры, тенденцию к нарушению устойчивости. Однако как линейность не может быть сведена к устойчивости и сохранению, так и нелинейность не сводится к изменчивости. Понятия нелинейности и линейности более содержательны и разнообразны, чем понятия устойчивости и изменчивости. Вместе с тем выяснение диалектической связи этих понятий помогает отыскать новые аспекты взаимодействия элементов той или иной материальной структуры.

Известно, что линейность тесно связана с симметрией. Одним из наиболее ярких примеров подобной связи является связь линейности с релятивистской инвариантностью законов движения. Связь между принципами инвариантности и законами сохранения нами уже обсуждалась. Нам хочется обратить внимание на то, что одна из причин "возросшей эффективности принципов инвариантности кроется в линейности положенного в основу квантовой теории гильбертова пространства" (24, 54).

Линейность гильбертова пространства дает возможность из любых двух векторов состояний построить бесконечно большое количество новых векторов состояний. Отсюда следует, что возможность суперпозиции состояний связана с линейностью. В квантовой теории представление о линейности гильбертова пространства обеспечивает возможность введения математического аппарата, в том числе дает возможность объяснить стратегию повышения ранга симметрии в теории.

Представление о линейности, на котором основывается большинство положений квантовой теории (квантовой механики, квантовой теории поля, квантовой электродинамики и др.), во многом обусловливает ее достижения. Однако в этой теории до сих пор существуют неустранимые трудности, известные как трудности с расходимостями. Одной из попыток устранить эти трудности из теории является метод перенормировки.

В работах Н. Н. Боголюбова, Д. В. Ширкова, а также М. Гелл-Манна и других было установлено существование особой группы преобразований (так называемые ренормгруппы), связанной с методом перенормировки в квантовой теории поля, а известно, что применение теории групп связано со свойствами симметрии физических систем. Понятия и методы ренормгруппы используются во многих физических теориях.

"Замечательный факт,-пишут Н. Н. Боголюбов и Д. В. Шир-ков,-общности теоретического описания далеких друг от друга физических явлений демонстрируют плодотворность использования математических абстракций в физике, их всеобъемлющий характер, отражающий единство природы и особенности процесса ее познания" (14, 13).

В свое время В. Гейзенберг пытался построить теорию элементарных частиц на основе некоторого единого спинорного поля. Он указывал, что "существует лишь одно простое уравнение, которое способно, вероятно, описывать наблюдаемые элементарные частицы" (34, 45). Обсуждая условия формулировки такого уравнения, он отмечал, что "это уравнение должно описывать взаимодействие и поэтому не может быть линейным. Так как взаимодействие предполагается локальным, соответствующий ему член уравнения должен содержать произведение полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке" (34, 35).

Если руководствоваться этими идеями, то в качестве фундаментального можно принять некоторое нейтринное поле. "Тогда, в принципе,-отмечает М. А. Марков,-можно выделить гравитационное поле из системы, состоящей из уравнения для гравитационного поля... и уравнения Дирака для нейтрино в ковариантном виде. В результате мы получим некоторое нелинейное уравнение для фермионного поля. Вывод и анализ даже приближенных уравнений такого рода весьма сложен. Подобные исследования находятся еще в зачаточной стадии, и в настоящее время нельзя судить, в какой степени разные решения этих уравнений сравнимы с различными элементарными частицами в духе идей, начало которым положил Гейзенберг" (5, 475).

Следует подчеркнуть, что данные представления получены М. А. Марковым на основе предположений о взаимосвязи различных материальных взаимодействий, в том числе и предположения о необходимости учета гравитационного поля при описании взаимодействия элементарных частиц. Если помимо этого уравнения, учитывающего гравитационные взаимодействия, привлечь соображения о фундаментальной длине, то намечается путь устранения трудностей с расходимостями.

Подобный учет нелинейности в теории не является новым. Понятие нелинейности вводится в теории, как правило, когда возникает необходимость описывать гравитационное поле. Так, система гравитационных уравнений Эйнштейна представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных. Здесь мы видим попытку Эйнштейна дать минимальную интерпретацию этих уравнений. Дело в том, что эта система уравнений квазилинейна, т. е. она линейна в главных своих членах относительно максимального порядка.

Такая форма уравнений общей теории относительности не случайна: "Уравнения Эйнштейна, Эйнштейна-Максвелла, а также уравнения гидродинамики образуют... системы, которые могут быть сведены к гиперболическим системам Лере. Отсюда можно усмотреть, каким образом важная теория Лере применяется к основным физическим системам и какие точные результаты можно из нее извлечь" (76, 135).

Попытки А. Эйнштейна найти геометрическую интерпретацию физических полей не принесли успеха. В литературе, когда анализируются причины этих неудач, чаще всего указывают, что Эйнштейн не учитывал квантовых особенностей движения микрообъектов и ограничивался лишь использованием тензорных уравнений. Не прибегая к анализу этого вопроса, необходимо подчеркнуть, что подход Эйнштейна позволил рассмотреть электромагнитные поля наряду с гравитационными, что указывает на то, что между ними есть нечто общее и что эти поля отражают определенные аспекты материального единства мира. Эйнштейновский подход стимулировал исследования в области нелинейной теории поля и послужил своеобразной отправной точкой для развития целого ряда направлений современной физики.

Основываясь на представлениях Эйнштейна о существовании некоего единого поля, Луи де Бройль предположил, что существует некоторый внутренний колебательный процесс, который находит свое проявление в виде синфазной с ним волны. Причем регулярные решения для частиц получаются лишь в том случае, если процессы описываются нелинейными уравнениями. Таким образом, для описания реальных физических процессов потребовалось ввести нелинейность (180).

Как уже указывалось выше, концепция единого поля получила свое развитие в представлениях В. Гейзенберга. Из тех принципов, которые он положил в основу своей теории спинорных полей, мы хотим выделить два. Первый состоит в том, что основные уравнения поля должны быть нелинейными, для того чтобы в теорию можно было включить взаимодействие, обусловливающее массы частиц. Второй состоит в том, что из свойств симметрии основных уравнений следуют правила отбора в элементарных реакциях, а из последних получаются указания о структуре исходных уравнений.

Для нас важно, что уравнения спинорного поля характеризуются псевдовекторной нелинейностью, включающей в себя некую фундаментальную длину и свойства симметрии (192). Несмотря на искусственный характер построений Гейзенберга, на наш взгляд, они содержат очень важные соображения о необходимости введения в теорию элементарных частиц представлений о нелинейности для того, чтобы включить в эту теорию идею взаимодействия. Другим важным моментом, на который необходимо указать, является то, что в теории Гейзенберга представления нелинейности тесно связаны друг с другом. Следует заметить, что наблюдающееся сейчас возрастание интереса к вышеназванным идеям Гейзенберга объясняется не только этим. Дело в том, что одним из полученных им результатов является объяснение законов электродинамики и вычисление постоянной тонкой структуры, что имеет самое непосредственное отношение к проблеме материального единства мира. Фундаментальные физические постоянные дают возможность понять структуру материального мира и указывают на взаимосвязь различных физических теорий. В дальнейшем эти представления получили свое развитие; причем авторы предлагаемых физических теорий элементарных частиц использовали различные нелинейные уравнения, хотя сама природа постулируемого исходного нелинейного поля оставалась для них неясной. Постулат нелинейности состоял в том, что уравнения единого поля должны быть нелинейными для того, чтобы частицы, рассматриваемые как материальные образования, могли взаимодействовать друг с другом.

Тот факт, что нелинейные .уравнения в физических теориях позволяют описывать некоторые фундаментальные свойства физических процессов, находит свое наглядное подтверждение в квантовой хромодинамике. Для того, чтобы совместить модель кварков с основными принципами квантовой механики, была предложена идея, согласно которой каждый кварк обладает новым квантовым числом - цветом. Каждый из составляющих адрон кварков обладает своим дополнительным цветом, и поэтому адрон, состоящий из трех кварков, обесцвечивается. В данном случае в теории изотопического спина цвет выполняет роль электрического заряда. Он позволяет "промаркировать" кварки и тем самым устранить трудности, связанные с противоречием кварковой модели и кварковой статистики.

Аналогично электрическому заряду цвет в кварковой модели не только "маркирует" частицы, но и является характеристикой кваркового взаимодействия. Это позволяет построить динамическую теорию кварков. Уравнения, которые описывают динамическую теорию кварков и их взаимодействие, были найдены Янгом и Миллсом еще в 50-х годах, но тогда им не придали особого значения. Считалось, что к действительности они отношения не имеют. Симметрия по цвету должна соответствовать группе SU(3), в то время как уравнения квантовой электродинамики подчиняются симметрии группы SU(\), т. е. группе осевых вращений плоскости относительно перпендикулярной ей оси.

Уравнения квантовой электродинамики линейны, а уравнения квантовой хромодинамики нелинейны. Это фундаментальное отличие имеет следующий физический смысл, фотон, переносящий взаимодействие в квантовой электродинамике, не переносит электрического заряда, а глюоны, переносящие взаимодействие между кварками, обладают цветом и меняют цвет взаимодействующих кварков. Необходимо отметить: уравнения Янга-Миллса следуют из локальной калибровочной инвариантности, что тесно связывает их с другими физическими теориями, использующими эти представления.

Тенденция развития физических теорий в настоящее время состоит в том, что в них происходит переход от теорий с линейными уравнениями к теориям с нелинейными уравнениями. Причем введение нелинейности не случайно. Оно связано, как правило, с описанием многочастичных, коллективных взаимодействий. Объективная диалектика реальных процессов, отражаемая в физике средствами математики, вызвала необходимость рассматривать нелинейность как нечто более общее, а линейность - как ее частный случай. По существу, на это указывал А. Эйнштейн, когда писал, что "истинные законы не могут быть линейными и не могут быть получены из линейных законов" (282, 143). В большинстве случаев мы имеем дело с линейной аппроксимацией физических законов, что позволяет описать многие физические явления. Однако целый ряд физических явлений, таких, например, как кварковое взаимодействие, нуждаются в нелинейном описании, что ставит задачу выработки новых математических представлений.

Линейность и нелинейность, являясь математическими абстракциями, выражают общенаучный характер ряда понятий современной математики. Математические абстракции в ходе своего развития выявляют все новые стороны математического познания. С одной стороны, они вычленяют новые количественные характеристики абстракций, а с другой - обнаруживают глубокую связь между элементами содержания и качества. Широкое использование различных математических абстракций, выработанных на основе понятий линейности и нелинейности, позволяет сделать вывод о существенной роли этих понятий в математизации современного научного знания. Эта роль во многом определяется тем фактом, что математические абстракции линейности и нелинейности принадлежат к общенаучному слою математического знания.

Математика выявляет наряду с количественными отношениями отношения структуры, связи, отражения и т. п. В последнем роль линейности и нелинейности неоценимо велика. Они позволяют выявить то общее для пространства, времени, структуры, что присуще различным явлениям действительности, описываемым математическими представлениями.

В широком использовании понятий линейности и нелинейности как для математического и физического, так и для философского анализа можно усмотреть проявление единства научного знания, в частности взаимосвязи математики и философии. Философское значение единства линейности и нелинейности состоит в том, что это единство может быть использовано для экспликации и уточнения категорий движения и развития. Здесь речь идет не об определении категорий философии через посредство математических абстракций или общенаучных понятий, а о конкретизации философских категорий посредством естественнонаучных терминов. Так представление о нелинейном характере различных материальных процессов позволяет отразить как количественный, так и качественный аспекты категории развития.

Необходимость описания нелинейных физических явлений породило введение новых физических представлений и понятий; среди них следует выделить понятия солитона и инстантона.

Прежде чем рассмотреть содержание этих понятий, необходимо дать общее квантово-полевое представление о физическом вакууме. Под ним понимается наинизшее энергетическое состояние материальных полей, характеризующееся отсутствием реальных частиц и нулевым значением квантовых чисел. Моделью солитона может служить уединенная волна, которая взаимодействует или не взаимодействует с поверхностью, ее порождающей. В микромире роль такой поверхности играет физический вакуум, и так как вязкость и трение в физическом вакууме отсутствуют, то волны в нем не затухают. И. Л. Розенталь отмечает, что "образ "стенок" на водной поверхности или существование множества несвязных (в топологическом смысле) вакуумов - следствие нелинейности уравнений. Поэтому солитон можно интерпретировать как результат компенсации диссипативных сил, стремящихся размыть волну, и нелинейного взаимодействия, позволяющего черпать энергию из основного состояния (вакуума). Именно по этой причине солитонные решения нелинейных уравнений получили широкое распространение в различных областях физики (взаимодействие лазерных пучков с веществом, высокотемпературная плазма, физика элементарных частиц и т. д.)" (130, 84).

Вакуумный солитон, устойчивый в пространстве, но меняющийся со временем, называется инстантоном. Нелинейное взаимодействие в квантовой хромодинамике можно рассматривать как появление и исчезновение инстантонов. Именно исходя из этого удается построить модели, объясняющие ненаблюдаемость кварков в свободном состоянии. Весьма вероятно, что нелинейность взаимодействия кварков является ответственной за то, что они не покидают адронов. "Нелинейность уравнений глюонных полей и связанное с ней самовзаимодействие полей могут быть одним из факторов", ответственных за невылет кварков из адронов (57, 46). Трубку силовых линий глюонного поля можно уподобить натянутой струне, соединяющей кварки. При удалении кварков друг от друга струна разрывается и возникает пара кварк-антикварк. Антикварк, соединяясь с первичным кварком, превращается в мезон и вылетает, а оставшиеся кварки возращаются к исходному адрону. Таким образом, оказывается, что кварки изолировать невозможно.

Возрастающее внимание к нелинейным процессам и к их описанию не означает, что уменьшается роль Линейных подходов. В физических теориях и сейчас уделяется большое внимание анализу линейных систем, изучению возможностей сведения различных нелинейных задач к линейным. Почему это происходит? "Ответ прост: потому, что мы умеем решать линейные уравнения!-пишет Р. Фейнман.- ...Вторая (и главная) причина заключается в том, что основные законы физики часто линейны. Например, уравнения Максвелла для законов электромагнетизма - линейные уравнения. Великие законы квантовой механики, насколько нам они известны, тоже сводятся к линейным уравнениям. Вот почему мы так много времени уделяем линейным уравнениям: если мы поняли линейные уравнения, мы готовы в принципе понимать очень многие вещи" (149, 2, 158).

Линейность отражает однородность, повторяемость в развитии явлений, тождественность в процессах. В самом общем случае линейность отражает порядок протекания явлений, тогда как нелинейность отражает уменьшение этого порядка: предельным случаем нелинейности является хаос.

Таким образом, по нашему мнению, возникает необходимость введения в теорию еще одной пары общенаучных понятий, порядок и беспорядок (хаос). Научные, в первую очередь физические, исследования показывают, что порядок и беспорядок находятся в единстве; более того, можно выделить определенные ступени этого единства. Понятие беспорядка предполагает наличие некоторого состояния системы, которое описывается понятием порядка. "Говоря о неупорядоченном состоянии, мы должны представлять себе идеал порядка, который,-отмечает Дж. Займон,-в данном случае не реализуется. Неупорядоченные системы гораздо удобнее описывать, задавая отклонения от этого идеала, а не вводя полностью неупорядоченную систему, которая затем в какой-то мере упорядочивается. Понятие беспорядка примитивно и интуитивно; рассматривая его, приходится оперировать такими статистическими терминами, как "случайный", "стохастический", "непредсказуемый" (244, 18).

Нам представляется неоправданной характеристика Дж. Займа-ном беспорядка как примитивного и интуитивного понятия хотя бы потому, что это понятие связано с описанием нарушения симметрии, а следовательно, с единством симметрии и асимметрии. В вышеприведенной цитате мы встречаемся с типичным антидиалектическим пониманием соотношения симметрии, порядка и беспорядка. Дж. Займан показал, что можно выделить три типа беспорядка: ячеистый, топологический и континуальный. Каждый из этих типов беспорядка требует специального анализа со стороны как физиков, так и философов. Укажем только, что подобная классификация позволяет описать беспорядок замещения, магнитный беспорядок, "ледовый" беспорядок, ближний и дальний порядки, спектральный беспорядок, беспорядок газового типа и т. п. и что анализ этих процессов свидетельствует о наличии единства порядка и беспорядка.

Представление о единстве порядка и беспорядка позволяет описывать различные физические состояния вещества, выступая еще одним из видов отражения единства материального мира в научном знании.

Представляется необходимым указать и на тот факт, что порядок обусловлен целым рядом объективных факторов, в том числе и трехмерностью реального пространства. Так, можно показать, что в случае одномерных и двухмерных систем спонтанный кристаллический порядок существовать не может (208, 250-254).

Связь понятий порядка и беспорядка с таким фундаментальным свойством, как размерность пространства, указывает на значимость этих понятий в теории. В свою очередь такое фундаментальное свойство пространства, как трехмерность, связано с основными физическими закономерностями. Одним из первых обратил на это внимание П. Эренфест (287). Он показал, что атом остается стационарным только в том случае, когда пространство трехмерно.

Приближенное описание реальных физических явлений часто осуществляется с помощью линейных уравнений, что является одним из оснований для аналогий в физике. Так, существуют электрические системы (линейные цепи), полностью аналогичные механическим системам. Можно задать вопрос: как это помогает развитию теории? Ведь механическую задачу решить не менее трудно, чем электрическую, ибо они эквивалентны. Конечно, "открытие электричества не помогло решить математические уравнения,- пишет Р. Фейнман,-но дело в том, что всегда легче собрать электрическую цепь и изучить ее параметры" (149, 2, 164). Изучив же особенности аналогичной системы, мы можем дать более полное описание работы искомой системы. Данные соображения справедливы и для анализа нелинейных систем,-можно, например, построить электрическую цепь, являющуюся аналогом нелинейной механической системы.

Линейность отражает закономерность, порядок различных систем окружающей действительности. В окружающем нас материальном мире можно выделить совокупность относительно замкнутых систем, которым присуща некоторая целостность, некий порядок. Однако эта упорядоченность не носит абсолютного характера, она является изменчивой, релятивной, включает в себя различные неоднородности, которые уменьшают порядок систем. Эти неоднородности, на первый взгляд, носят несущественный характер и на фоне существующих закономерностей выступают как элементы неупорядоченности. Но во многих процессах неоднородности играют важную роль. Есть основания утверждать, что в окружающем нас мире существует единство порядка и беспорядка и это находит свое выражение в единстве линейности и нелинейности. Нет ни абсолютно упорядоченных, ни абсолютно беспорядочных физических систем. Понятия порядка и беспорядка, линейности и нелинейности являются, таким образом, соотносительными и находятся в единстве.

Понятия линейности и нелинейности выполняют важную гносеологическую функцию, связанную с математизацией и формализацией научного знания. Так, сведение какой-либо физической задачи к линейной позволяет широко использовать хорошо разработанный аппарат линейных уравнений. Многочисленные факты показывают, что использование понятий линейности и нелинейности, а также связанных с ними логико-математических методов исследования выступает источником нового знания. Понятия линейности и нелинейности, разработанные наиболее полно в теории колебаний и волн, при их применении переносят в другие области научного знания не только присущие им содержание и методы, но и являются тем центром, который способствует распространению других частно-научных и общенаучных понятий и методов.

Широкое распространение понятий линейности и нелинейности в различных науках во многом связано с математизацией последних. Ф. Энгельс придавал разработке математического анализа исключительно важное значение для изучения явлений природы. Он писал: "Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение" (1, 20, 587). Одним из существенных моментов математического описания механического движения явилось представление о линейности явлений и процессов. В этом представлении нашла в первом приближении свое отражение идея материального единства мира. Во многом развитию представления о линейности способствовала и внутренняя логика развития математики как науки. В связи с этим следует обратить внимание на то, что В. И. Ленин, анализируя книгу А. Рея "Современная философия", отмечает то место, где автор рассуждает о возможности математического творчества в том случае, если бы внешний мир внезапно исчез, и подчеркивает следующую мысль: "Да, бесспорно, если бы он исчез теперь; но мог ли бы он создать математику, если бы материального мира никогда не существовало?.." (2, 29, 478).

Математические представления о линейности и нелинейности являются определенным отражением материального единства мира и способствуют синтезу научных знаний о различных областях материального мира. Линейность и нелинейность вносят свой вклад в научную картину мира. Совместно с философскими категориями общенаучные понятия линейности и нелинейности способствуют объединению результатов различных наук в целостное знание.