30. Срочное приземление

А На круговые полярные (но разные) орбиты в независимые друг от друга моменты времени выведено N = 1000 спутников-кораблей с экипажами. В некоторый случайный момент на все корабли поступает приказ Земли: "Немедленное приземление!" Где больше приземлится кораблей - в Антарктиде или в Африке? Даем некоторые пояснения. Причиной приказа может быть, например, информация Службы Солнца: на нем обнаружена сильная вспышка, которая через несколько минут или часов (заряженные частицы от Солнца летят несколько медленнее света) создаст большую радиационную опасность для экипажей. Поэтому будем предполагать, что на выбор места посадки нет времени, команда исполняется немедленно. Второе: при оптимальном торможении двигатели разворачиваются соплами точно вперед по направлению полета, поэтому их работа не придает приземляющемуся объекту боковой скорости, и траектория приземления лежит в плоскости орбиты.

Для наглядности обе эти оговорки можно было бы заменить одной, простейшей, но не совсем реальной: корабли приземляются в той точке, над которой их застиг приказ.

Б Подавляющее большинство решающих рассуждает так. Спутники запущены в случайные, не связанные между собой моменты, команда на приземление застигает их в случайном положении, поэтому все точки приземления равновероятны. Площадь Африки S_Aф = 29*1О⁶ км², Антарктиды - S_AH = 14*10⁶ км², поэтому в Африке приземлится кораблей больше в

(1)

Решение ошибочно. За один оборот каждый полярный спутник пролетает и над полюсом, и над экватором. Но полюс - точка, а экватор - линия, состоящая из бесконечного множества точек. Одинаково ли часто какой-нибудь конкретный спутник пролетает над Килиманджаро и Южным полюсом?

В Для спутника с полярной круговой орбитой равновероятны не все точки Земли, а все широты. В самом деле, двигаясь равномерно, спутник одинаковое время находится между параллелями 0-1⁰ и 89-90°. Значит, при внезапном приземлении в приэкваториальное "кольцо" 0-1⁰ длиной 40 000 км и шириной 111 км приземлится столько же кораблей, сколько в приполярное "кольцо" 89-90° (внутренний радиус этого кольца бесконечно мал) такой же ширины, 111 км. (Мы считаем Землю строго шарообразной, поэтому приполярный градус широты в километрах равноценен приэкваториальному.)

В приполярном кольце с площадью S_пол плотность кораблей будет в

(2)

больше, чем в приэкваториальном с площадью S_экв (r₀ - радиус Земли). Заметим, что если бы мы взяли возле экватора и полюса кольца в 10 раз более узкие, то числитель формулы (2) уменьшился бы в 10 раз, а знаменатель - в 100, отчего дробь возросла бы в 10 раз. Уменьшая и далее, мы обнаруживаем, что для бесконечно узких колец вероятность приземления в некоторую точку у полюса хотя сама по себе и бесконечно мала, но тем не менее в бесконечность раз больше, чем в некоторую конкретную точку у экватора^*).

^*) (Отметим один парадокс Над Южным полюсом спутник проходит один раз за оборот, над экватором - два! Следовательно, вероятности для них различаются вдвое? Парадокса нет, пока мы рассматриваем вместо полюса (точки) сколь угодно близкую к нему параллель (линию), которую, как и экватор, спутник пересекает дважды. Парадокс возникает только тогда, когда мы линию пытаемся заменить неравноценным ей геометрическим объектом - точкой. Более глубокое обсуждение этого парадокса выходит за рамки данной книги. Можем лишь посоветовать обратиться к парадоксам теории множеств, Там ваше удивление возрастет еш,9 больше.)

Дадим несколько иное объяснение этого, неожиданного для многих, эффекта. Остановим суточное вращение земного шара. Теперь каждый полярный спутник движется строго по своему меридиану (см. предыдущую задачу), поэтому густота приземлившихся спутников для любой местности пропорциональна густоте сетки меридианов. А густота возрастает к полюсам (посмотрите На глобус). Нетрудно видеть, что оговорку о мгновенности приземления, данную в условии, можно снять. Во время приземления спутник пролетает вперед несколько тысяч километров, но с меридиана не сворачивает. Пусть все спутники однотипны (их траекторий приземления идентичны). Тогда немгновенность их приземления эквивалентна мгновенности плюс одинаковый для всех сдвиг Команды во времени, который не имеет никакого значения (команда поступает в случайный момент). Если же приземляются спутники нескольких типов, то полученное выше распределение плотности справедливо для каждого типа в отдельности, поэтому и суммарное распределение будет иметь тот же характер.

Снимем оговорку о неподвижности Земли. Суточное вращение Земли не влияет на текущую широту спутников и поэтому не меняет и плотности приземления. Смещение же с одного меридиана на другой не имеет значения, так как от номера меридиана (долготы) плотность н зависит.

Теперь исходная задача об Африке и Антарктиде становится ясной и уже, казалось бы, малоинтересной. Однако при решении ее всплывают некоторые детали, заслуживающие внимания.

Если бы Африка и Антарктида имели форму колец, то решение должно было бы получить по аналогии с формулой (2). На самом деле решение значительно сложнее, в основном за счет неправильных контуров континентов. Мы дадим приближенное решение.

Вычисление для Африки можно провести путем разбиения ее параллелями на узкие "ленты", вычисляя число приземлений внутри каждой из них. Плотность приземления в разных лентах различна, но внутри любой из них приблизительно постоянна. Чем уже ленты, тем точнее результат. Полный результат для Африки есть сумма приземлений во всех лентах.

Однако мы поступим иначе. Из любви к искусству попробуем подогнать фигуру Африки под удобную для вычислений, не нарушая, конечно, распределения кораблей по площади. Плотность точек приземления симметрична относительно экватора. Воспользуемся этим. Отобразим в плоскости экватора, как в зеркале, Западную Африку А (левее нулевого меридиана, заштрихована на рис. 23). Получим ее зеркальное изображение Б. Ни площадь Б, ни распределение плотности по ней не отличимы от А. Следовательно, "усеченная" Африка плюс "остров" Б эквивалентны первоначальной Африке.

Рис. 23

Поскольку все меридианы (в отличие от параллелей) в отношении плотности приземления равноправны, то мы можем передвинуть "остров" Б на новые меридианы без нарушения условий задачи, если только широты точек "острова" при этом не изменятся. Можно придвинуть "остров" Б к Африке либо зеркально отразить его относительно меридиана 0°. Полученный при этом "полуостров" В почти точно дополняет "усеченную" Африку до "бочонка" ДЕЖЗ. Правда, остается Гвинейский залив и полуостров Сомали. Их Сироты слегка различны, но поскольку оба они находятся в непосредственной близости к экватору, где плотность с широтой меняется крайне медленно, то мы, в нарушение строгости, закроем залив Полуостровом.

Опираясь на географический атлас, примем угловую полувысоту бочонка" равной 35°. Найдем теперь угловую ширину "бочонка" и, исходя из его равновеликости Африке. Вся поверхность земного шара равна

Часть поверхности шара от Северного полюса до 35-й параллели

Часть поверхности шара между двумя 35-ми параллелями

Африка составляет от нее долю

Итак, ширина "бочонка" в градусах φ = 38,2°. На пояс S₂ приходится

на Африку -

На рис. 24 показаны контуры Антарктиды (масштаб крупнее, чем у Африки). Пунктиром показан контур "круга", по площади равновеликого Антарктиде, он охватывается 70,7°-й параллелью. Доля кораблей, приземлившихся внутрь этого круга, равна доле широт, попавших внутрь круга:

Рис. 24

Число приземлившихся кораблей

Для круга это число правильное, для Антарктиды завышенное, так как на море, попавшее внутрь круга, сядет больше кораблей (Δn₁), чем на равновеликую ему сушу (Δn₂), находящуюся вне круга: вне круга плотность меньше, чем внутри. Уточнить решение можно, вычислив Δn₁ и Δn₂ с помощью подходящих аппроксимаций (кольцевыми "лентами") и вычитая разницу Δn₁ - Δn₂ из числа n_Ан. Мы заниматься уточнением не будем.

Средняя плотность кораблей, приземлившихся в Африке и Антарктиде,

а их отношение

Для других, неполярных, спутников ситуация срочного приземления не менее любопытна. Так, экваториальные спутники приземляются только на экваторе и нигде больше (разве что с небольшим разбросом за счет неточности ориентации тормозных двигателей). В случае спутников, плоскость орбиты которых составляет угол Θ с экваториальной плоскостью, максимум плотности приходится на широты ± Θ, к экватору же плотность Р(Θ) симметрично убывает (рис. 25, б). При |Θ| > |Θ₀| плотность равна нулю, так как в эти широты спутники не залетают.

Рис. 25

Поведение плотности Р(Θ) поясняется рис. 25, а, где широты и долготы составляют декартову систему координат. Траектория подспутниковой точки изображается кривой, напоминающей синусоиду (но из-за сферичности Земли не совпадает с ней; вычислить ее можно методами сферической тригонометрии). Вблизи экватора время пролета спутником кольца шириной 10° равно τ₁, вблизи широты Θ₀ оно значительно больше (τ₂>>τ₁), так как крутизна кривой там наименьшая^*). Этим определяется вероятность пребывания спутника в соответствующих широтах и плотность точек приземления (рис. 25, б) при срочной посадке. На рис. 25 показан случай Θ₀ = 50°.

^*) (Аналогично описывается время (и вероятность) пребывания качающегося маятника на различных расстояниях от вертикали. То же можно сказать о распределении мгновенных значений синусоидального напряжения.)

Между прочим, из этой задачи следует, что вероятность столкновения на орбите для полярных спутников наибольшая над полюсами (если других, неполярных, спутников нет), для спутников с наклонением орбиты Θ₀ - над широтами ± Θ₀. Впрочем, в последнем случае, при строго идентичных орбитах, скорость "столкновения" над широтами ± Θ₀ равна нулю.