42. Две трамвайные остановки

А На рис. 42 схематически показана улица и две трамвайные остановки А и В. Все жители этой улицы работают на заводе, к которому трамваем надо ехать направо. Естественно, каждый пользуется той трамвайной остановкой, с которой он быстрее попадет на работу. Сегодня туман, и спешащие на трамвай не видят, какие номера трамваев подходят к остановкам в данную минуту. Покажите, где живут те, кто пойдет на остановку A. Иными словами, вам надо найти на улице такую точку С, чтобы жителям, живущим левее нее, было выгодно идти на остановку A, а правее - на остановку В.

Рис. 42

Б - Каждый пойдет к той остановке, которая ближе. Значит, точку С надо поставить на полпути между А и В. На это мы возразим, что если бы задача решалась так просто, то мы не включали бы ее в книгу.

В самом деле, допустим, что двое живущих точно посредине между остановками вышли из дому и любопытства ради пошлина разные остановки. Если они идут с одинаковой скоростью, то, конечно, придут на свои остановки одновременно. Допустим, что тот, кто пришел на остановку А, чуть-чуть опоздал: двери вагона трамвая только что захлопнулись. Ему ничего не остается, кроме ожидания следующего трамвая. А тот, кто пошел на остановку Б, разумеется, попадает в трамвай, на который опоздал его товарищ, потому что у него в запасе есть то время, которое трамвай должен затратить на преодоление пути АВ. Таким образом, средняя между А и В точка не является нейтральной: с нее выгодно идти к В. Нейтральная точка где-то левее. Насколько левее - это зависит от скорости трамвая и скорости пешехода. Найдите эту зависимость. И еще подумайте, почему в условиях задачи упоминается туман.

В Обозначим длину пути АВ через l, скорость трамвая - v_T и пешехода - v_П. Нанесем на отрезке АВ искомую точку С (рис. 43). Расстояние АС обозначим через l₁, ВС - через l₂. Точка С нейтральна, т. е.. очевидно, такова, что, на какую из остановок ни пойдешь, застигнешь трамвай относительно остановки в одинаковом положении: или он стоит, или подходит, или отошел. Трамвай на остановку А попадет на время t раньше, чем на остановку В, причем, если, не принимать во внимание время стоянки трамвая,

Рис. 43

Следовательно, пешеход, отправившийся из С в А, должен попасть туда на время t раньше, чем идущий из С в В. У пешехода, идущего к В, есть в запасе время t. Иными словамр, если обозначить время движения пешехода из С в A через t₁, а из С в В - через t₂, то должно выполняться равенство t₂ = t₁ + t. Поскольку t₁ = ^l₁/_vП, t₂ = ^l₂/_vП, то после подстановки в формулу значений t, t₁ и t₂ имеем

После очевидных преобразований

получаем окончательную формулу:

Если, например, v_Т = 10 ^м/_с и v_П = 2 ^м/_с, то

т. е. нейтральная точка С в 1,5 раза ближе к A, чем к В.

Чем меньше скорость пешехода, тем ближе это отношение к единице, т. е. тем ближе нейтральная точка С к средней С₀. Для черепахи точка С практически совпадает с С₀. Наоборот, с увеличением скорости пешехода точка С все больше приближается к первой остановке A. Человек, опаздывающий на работу, способен бежать 500 метров, допустим, со скоростью 5 ^м/_с. Для него ^l₂/_l1 = 3, и если l = 500 м, то l₁ = 125 м, l₂ = 375 м. Если ваша скорость равна скорости трамвая, то вам почти с любой точки между остановками выгоднее бежать к В. Если же ваша скорость еще больше, то вам трамвай не нужен.

Еще проще решение, подсказанное автору рецензентом Г. М. Ховановым. Задача легко решается с помощью понятия относительного движения. Из всего множества жителей улицы имеется такой, который живет именно в нейтральной точке С. Допустим, что он пошел на остановку A и пришел туда вместе с трамваем. Если бы он пошел в 5, то и туда он пришел бы вместе с этим же трамваем (точку С мы назвали нейтральной потому, что она обладает именно этим свойством).

Сравним эти два случая. И в том и в другом начальное расстояние между трамваем и пешеходом равно некоторому х_H, конечное же x_K = 0. Таким образом, до встречи трамвай в обоих случаях должен преодолеть одно и то же относительное расстояние х = х_H - х_К = х_H - 0 = х_H (не относительно земли, а относительно пешехода,- тут от вас требуется некоторое усилие воображения). В первом случае относительная скорость сближения трамвая и пешехода равна (v_T + v_П), во втором - (v_T - v_П). Разделив относительное расстояние х на относительную скорость, мы получим время от старта пешехода до встречи с трамваем:

Поскольку скорость пешехода относительно земли в обоих случаях предполагается одинаковой, то пройденные пешеходом в первом и втором случаях расстояния по земле l₁ и l₂ относятся так, как затраченные на них времена t₁ и t₂:

что и дает окончательную формулу.

Что касается упоминавшегося в разделе А тумана, то он был напущен в задачу для ее упрощения. В отсутствие тумана задача имеет два решения. Рассмотренное решение в отсутствие тумана верно только для экстренного случая, т. е. когда видишь, что трамвай уже подходит к A и тебе к A не успеть. Тогда надо быстро прикинуть, где при той скорости, на которую ты способен, находится нейтральная точка С, и если она левее тебя, то беги вправо. Если же,правее - бежать бесполезно, уже опоздал. А если трамвай еще далеко, t₀ спешить некуда. И тогда, разумеется, нейтральной точкой является С₀, так как на первый план выступает простое соображение экономии подметок.