VI. Разное (от ботаники до бионики)

96. Холодная вода теплее горячей

A Имеется один литр горячей воды с температурой t₁ и один литр холодной с температурой t2. При помощи горячей воды нагревают холодную. Можно ли сделать так, чтобы окончательная температура литра нагреваемой воды стала выше окончательной температуры нагревающей воды?

Б Обычно немедленно и категорически отвечают:

- Нельзя! Процесс теплопередачи прекратится, когда температура обоих литров воды станет одинаковой. Чтобы процесс шел дальше, нужно, чтобы тепло передавалось от холодного тела к более горячему, а это противоречит второму началу термодинамики! Если бы это было возможно, то возможен был "бы и "вечный двигатель".

Мы уважаем второе начало термодинамики и вовсе не предлагаем вам его нарушить. Клаузиус прав^*)! Тем не менее рекомендуем вам попытаться изобрести способ решить задачу. Малую часть (1 см³) холодной воды с помощью литра горячей мы могли бы нагреть почти до t₁. Вот стоящая идея! Надо попробовать разделить нагреваемую воду на части и нагревать их поочередно.

^*) (По крайней мере пока речь идет о литре, а не о десятке-другом молекул воды.)

Пусть же вихрем сабля свищет! 
Мне Костаки не судья! 
Прав Костаки, прав и я!

Козьма Прутков "Новогреческая песнь".

В Пусть в термосе А (рис. 143) находится горячая вода, в термосе Б - холодная. Нальем в сосуд В с тонкими теплопроводными стенками часть холодной воды и опустим сосуд В в горячую воду (термос А). Через некоторое время температура воды в А и В сравняется, причем установится некоторая промежуточная температура х, так что

Выльем нагретую до х воду из В в термос Г. Нальем в сосуд В оставшуюся холодную воду (с температурой t₂) и опять погрузим В в А. Температура в A и В снова сравняется и станет равной у, причем x > y > t₂.

Рис. 143

Перельем воду из В в Г. Там в результате смешивания обеих частей нагреваемой воды, имеющих температуры х и у, получим некоторую среднюю температуру z:

В воде же, которая была горячей, установится температура у, которая меньше z. Именно это и требовалось условиями задачи. Проследите еще раз за всеми рассуждениями, чтобы убедиться, что мы не нарушали законов термодинамики, а, наоборот, все время ими руководствовались.

Пример: если t₁ = 95 °С и t₂ = 5°С, то, разделяя холодную воду на две равные части и применяя к ней изложенную выше процедуру, имеем

Это и будет окончательная температура "горячей" воды. А для "холодной"

Из-за неизбежных потерь тепла на нагрев посуды эта разница (а главным образом сами значения у и z) будет несколько меньше. Но знак неравенства сохранится.

То же самое произошло бы, если бы мы разделили пополам не " холодную, а горячую воду.

Отметим, что, разделяя холодную воду не на две, а больше частей, можно получить окончательную ее температуру еще более высокой. Эта возможность в более совершенном воплощении используется в технике при теплопередаче от одного жидкого или газообразного тела к другому. Если нагреваемую и нагревающую жидкости пустить по внутренней Б и внешней А трубам попутно (рис. 144, а), то на выходе температура обеих жидкостей будет приблизительно одинаковой. Если же пустить жидкости по трубам навстречу друг другу (рис. 144, б), то при достаточно длинных трубах и правильно выбранных сечениях и скоростях жидкостей последние почти целиком обменяются температурой (не считая начальной и конечной порций воды, соответствующих переходным процессам включения и выключения установки).

Рис. 144

На графиках по оси абсцисс отложено расстояние вдоль трубы, по оси ординат - температура. Стрелками в трубах показано направление движения жидкости, стрелками на кривых - ход температуры. Из рис. 144, б видно, что z >> y, т. е. окончательная температура нагреваемой жидкости существенно выше окончательной температуры нагревающей.

В таком виде задача впервые была опубликована автором в журнале "Физика в школе" (1956, № 3). В дальнейшем, при перепечатке в сборниках парадоксов, некоторые из авторов сделали к ней небольшое дополнение, к сожалению, ошибочное. О нем сейчас пойдет речь.

Вернемся от труб со встречными потоками жидкостей к двум неподвижным литрам и рассмотрим вопрос: что будет, если холодную (или горячую) воду разделить не на две, а на десять, сто, тысячу или более частей? Интуитивно чувствуется, что температура холодной воды будет все выше и выше. Что же будет при бесконечно мелких частях? Загипнотизированные случаем с трубами, все в один голос заявляют, что горячая и холодная вода полностью (или "почти полностью") обменяются температурой!

То, что это неверно, легко показать без всяких вычислений. Только первая бесконечно малая порция холодной воды приобретет первоначальную температуру горячей. Последняя же порция приобретет температуру, равную окончательной температуре горячей. Значит, различные части холодной воды нагреются до разных температур, при их смешении температура окажется некоторой средней. А чтобы холодный литр приобрел первоначальную температуру горячего, нужно, чтобы эту температуру приобрели все его порции, что невозможно.

Теперь немного вычислений. Пусть t₁ = 100°С и t₂ =0 °C (с такими круглыми цифрами легче считать). Разделив холодную воду на десять равных частей, после первого теплообмена получаем температуру горячей воды

после второго

а после десятого

Окончательную температуру "холодной" воды можно найти, смешивая все ее десять частей:

Но еще проще ее найти из того условия, что при равенстве масс и теплоемкостей холодная нагреется на столько, на сколько остынет горячая, т. е.

Любопытно, что дальнейшее дробление холодной воды уже мало что дает для ее нагрева: разделив на сто частей, мы получили бы

Это только на 1,3 °С выше, чем при делении на 10 частей. В общем случае, деля воду на n равных частей, мы получаем

Студенты первого курса института уже знают (а школьники узнают, когда будут студентами), что знаменатель последнего выражения при неограниченном возрастании n не растет неограниченно, а стремится к вполне определенному числу. Это число для математики и физики не менее важно, чем знаменитое число π, и, подобно π, этому числу дано свое обозначение. Его называют основанием натуральных логарифмов и обозначают буквой е:

Итак, окончательная температура "горячего" литра не может спуститься ниже

а "холодного" - подняться выше z = 100 - 36,787 = 63,213 °С, т.е. литры не обменялись температурами ни полностью, ни "почти полностью". Отметим, что эти цифры получены в предположении, что теплоемкость воды не зависит от температуры, что не совсем верно.

^*) (То, что это число неплохо совпадает с такой важной константой, как нормальная температура человеческого тела, читателей, склонных к мистике, может настроить на размышления о гармонии, ниспосланной свыше.. Чтобы подлить масла в лампаду, отметим, что совпадение имеет место на всех шкалах температуры, в том числе Реомюра, Фаренгейта и Кельвина. Однако магическую силу этого числа в корне подрывает то обстоятельство, что у кур, например, нормальная температура 42 °С. Правда, можно возразить, что венцом мироздания являются все-таки не куры, а человек. Но такое возражение в данном случае не имеет силы, так как оно сделано человеком. Вполне возможно, что куры об этом иного мнения.

Впрочем, может быть, в формулу нужно подставлять температуру плавления и кипения не воды, а растворов солей, входящих в состав человеческой и соответственно куриной крови,- и мы получим физико-физиологический закон, которому подчиняются все теплокровные животные? )

В общем случае, когда температура "холодной" воды не 0 °С, a t₂, формула для окончательной температуры "горячей" воды имеет вид

Мы рассмотрели случай, когда на части делится или холодная или горячая вода. Читатель В. Шнайдер (Дубна) показал, что если на части делится и холодная и горячая вода, то теплообмен происходит глубже. Однако для этого нужно не только разделить оба литра на порции, но еще и делать теплообмен встречно: выстроить из горячих порций один "поезд", а из холодных - другой, и пустить эти "поезда" навстречу друг другу по теплообменнику. Нетрудно видеть, что, мельча порции до бесконечно малых и двигая их навстречу друг другу, мы получаем теплообменник рис. 144, б, работа которого уже описана и который действительно лучше в силу встречности потоков.