Основы статистического подхода

Основной пафос статьи (так же, как и некоторых других, примыкавших к ней работ Эренфеста) заключался в стремлении точно выявить смысл того, что сделал его учитель Больцман в серии больших "мемуаров", которые он написал в течение ряда лет.

В самом начале своей научной деятельности Больцман занялся проблемой интерпретации второго закона термодинамики с точки зрения молекулярной теории. Утверждения второго закона, как его оставил Клаузиус, были следующие. Во-первых, существует некая функция S, определяющая состояние термодинамической системы, функция, называемая энтропией. Ее изменение δS равно отношению тепла δQ, подводимого к системе при бесконечно малом изменении ее состояния, к абсолютной температуре Т системы. Во-вторых, в любом необратимом процессе изменение энтропии всегда превышает значение ^δQ/_T, следовательно, для изолированной системы (такой, которая не обменивается теплом с окружающей средой) энтропия должна необратимо возрастать.

Проблемы, вставшие перед молекулярной теорией, заключались в следующем: прежде всего, необходимо было доказать, что функция S удовлетворяющая уравнению δS = ^δQ/_T действительно существует и, далее, что эта функция может только увеличиваться в необратимом адиабатическом процессе.

Знакомство с работами Максвелла по кинетической теории газов подсказало Больцману правильный путь преодоления трудностей. Этот путь пролег через использование статистического описания. В 1871 году в статье дают названием "Аналитическое доказательство второго закона механической теории тепла, выводимого из законов равновесия живой силы" он представил вывод уравнения, которое не только свидетельствовало о существовании энтропии, но и определяло процедуру ее подсчета для любой системы, находящейся в термодинамическом равновесии.

В следующем, 1872 году он опубликовал другой "мемуар" - "Дальнейшие исследования теплового равновесия молекул газа", в котором доказал уникальность равновесного состояния системы (имея в виду равновесное распределение молекул по скоростям). Более того, из его выкладок стало ясно: каким бы ни было первоначальное распределение, в результате столкновений молекул между собой оно будет эволюционировать к равновесному распределению.

В ходе доказательства Больцман ввел некую вспомогательную функцию Н и продемонстрировал, что она никогда не может увеличиваться. При стремлении системы к равновесию Н будет уменьшаться, достигая своего минимального значения при наступлении равновесия.

Что очень важно, величина (-H) не только ведет себя подобно энтропии, увеличиваясь при необратимом приближении к равновесию; как показал Больцман, она, кроме того, пропорциональна энтропии.

Иными словами, H-теорема завершила доказательство второго закона термодинамики на основе молекулярной теории.

Перед Эренфестом, когда он приступил к работе над статьей для "Математической энциклопедии", стояла нелегкая задача. Споры, вызванные работами Больцмана, как уже говорилось, по-прежнему не были разрешены.

По существу, Больцман оставил теорию в "эскизном" состоянии. Эренфест полагал, что в результате тщательного анализа можно выявить те ее места, где аргументы слабы либо же вообще отсутствуют. Многие свои основные идеи Больцман высказал на протяжении ряда лет, отвечая различным критикам. Эренфест собирался доказать, что эти идеи можно выстроить логическим образом, хотя многие из ключевых теорем не были точно сформулированы Больцманом и не было ясно, каким образом они могут быть доказаны и можно ли это сделать вообще.

Основной спор шел вокруг больцмановской Н-теоремы 1872 года, причем смысл этого спора, уровень, на котором он происходил, с течением времени менялись, подчас довольно неуловимо. Возражения, выдвинутые критиками, побудили Больцмана не только прояснить свою позицию, но также в значительной мере изменить ее. Эренфест считал, что в целом ответы Больцмана на критику удовлетворительны, но что при этом он не всегда формулировал ответы достаточно ясно. Он также не всегда отмечал изменения, которые произошли в его позиции.

Прежде всего Эренфест подчеркнул фундаментальное различие между первоначальным (данным Больцманом в 1872 году) доказательством Н-теоремы (так называемая "старая формулировка") и его более поздними исследованиями и замечаниями ("современная формулировка"). Важнейшее концептуальное различие между ними Эренфест видел в том, что "старая" теория была "кинетическо-статистической теорией молекулы". "Новая" же теория была "кинетическо-статистической теорией газа" в целом.

Больцман повторял много раз, что Н-теорему следует рассматривать как теорему о вероятностях. Но что конкретно подразумевал он под этим словом? Термин "вероятность" он использовал в различных значениях. Эренфест попытался избавиться от получающихся в результате неясностей и логических провалов, придав единообразие словоупотреблению.

Как уже говорилось, своей главной задачей Эренфест считал сделать ясным то, что имел в виду Больцман, и показать, что в его утверждениях не было противоречий, хотя его оппоненты настаивали на обратном. Вместе с тем Эренфест в равной степени стремился продемонстрировать, что некоторые из утверждений Больцмана остаются недоказанными.

Так, в своем "мемуаре" 1877 года Больцман доказал, что равновесное распределение соответствует наибольшему объему в так называемом фазовом пространстве газа. В этом смысле равновесное распределение - самое вероятное. Эренфест обратил внимание на основательный пробел в больцмановском доказательстве и наметил путь, следуя по которому, этот пробел можно было бы устранить.

Эренфест объяснил также, как нужно понимать новую интерпретацию Н-теоремы, сделанную Больцманом. "Статистический" ее вариант, по существу, был рядом утверждений о свойствах пучка Н-кривых, соответствующих данному начальному распределению. Для любой индивидуальной Н-кривой Эренфест сформулировал утверждения Больцмана в такой форме:

1. отдельная Н-кривая почти всегда убывает непосредственно из каждой точки Н₁, которая лежит выше минимума Н₀;
2. это утверждение справедливо, независимо от того, следуют ли по кривой слева направо (положительная временная последовательность) или справа налево (обратная временная последовательность);
3. иначе говоря, Н-кривая почти всегда проходит в непосредственной близости от минимума Н₀.

В дополнение к положениям об отдельных Н-кривых Больцман сделал также ряд утверждений о пучке кривых в целом. К сожалению, он опять-таки никогда не высказывался четко, и это было одним из основных источников путаницы и полемики вокруг его идей. Эренфест сформулировал эти дополнительные положения в ясной форме.

...Краткое изложение статьи для "Математической энциклопедии", конечно, далеко не исчерпывает ее содержания. Цель изложения - дать читателю понятие о характере той работы, которую проделал Эренфест, стараясь внести ясность в неимоверно запутанный и туманный в то время раздел физики. С этой задачей, по общему мнению, он справился блестяще.

Оппонент. Вот также замечательная статья - "Об одной механической теореме Больцмана и ее отношении к теории квантов". Именно эта статья положила непосредственное начало серии публикаций, в которых была разработана адиабатическая гипотеза.

Автор. Слова Эренфеста о том, что у него "нет главных и солидных идейных направлений", а так, только "забавные задачки" - эти слова, которые так охотно цитируют, написаны им в письме к Иоффе от 20 февраля 1913 года, как раз в период работы над этой статьей. Именно после них он излагает наброски статьи: "Если постепенно до бесконечности уменьшать объем полости с зеркальными стенками, то для каждого основного колебания частота ν будет расти, возрастет также и энергия Е, так что отношение ^Е/_ν при этом "адиабатическом" изменении останется инвариантным", то есть неизменным. И дальше: "К рождеству мне удалось доказать следующую необычайно простую и удивительную теорему... При адиабатическом изменении (периодической) системы ее средняя кинетическая энергия пропорциональна частоте".

В сущности, письмо к Иоффе - уже почти готовый текст статьи, но отправляет он ее в печать (кое-что изменив, добавив пример применения выведенной им теоремы) только в декабре, что свидетельствует о чрезмерной неуверенности в себе. Да, собственно, он прямо об этом говорит в письме к Иоффе. А ведь это, повторяю, было началом разработки богатой "жилы" - серьезного и солидного направления. Откуда же тогда неуверенность? Она проистекает откуда-то "изнутри" Эренфеста. Чувствуется, что работа дается ему тяжело. Он видит некоторое несовершенство полученных им результатов (он ограничился только случаем периодических систем, его результаты не вполне согласуются с требованиями теории относительности), но не убежден, что ему удастся преодолеть возникшие трудности, пойти дальше.