Адиабатические инварианты

Когда Нильс Бор разработал свою теорию атома, у многих физиков появилось опасение, не разрушает ли эта теория все здание классической физики. Как мы помним, согласно идее Бора электрон, находясь на стационарной орбите, не излучает. Излучение происходит лишь тогда, когда он переходит с орбиты на орбиту. Но все дело в том, что, в общем-то, достаточно даже небольшого изменения внешних условий - напряженности магнитного или электрического полей, температуры вещества и т. д.,- чтобы электрон вышел из стационарного состояния и испустил квант света. На деле, однако, этого, как известно, не происходит. Почему?

Согласно адиабатической гипотезе, выдвинутой Эренфестом, бесконечно медленное (адиабатическое) изменение внешних условий не ведет к изменению величин действия, которые как раз и квантуются в теории Бора, то есть принимают значения, равные целому кратному числу квантов действия. Иными словами, эти величины являются адиабатическими инвариантами. А поскольку изменение внешних условий в большинстве случаев можно считать бесконечно медленным по сравнению с движениями электронов в атоме, получает объяснение то обстоятельство, почему такое изменение не переводит электрон с одной орбиты на другую.

И наоборот, квантоваться, то есть приравниваться целому кратному числу квантов действия, должны лишь те величины, которые являются адиабатическими инвариантами.

Интересна история постановки вопроса о применении теории адиабатических инвариантов к квантованию систем.

В 1911 году на Первом Сольвеевском конгрессе в момент, когда обсуждался вопрос о поведении атомов и молекул при изменении внешних условий, Лоренц вспомнил, что в свое время он предлагал Эйнштейну аналогичную задачу: как будет вести себя маятник при бесконечно медленном изменении длины? Эйнштейн тогда сразу же нашел ответ: энергия маятника будет изменяться от значения hν в начале процесса до hv₁ в конце его (v и v₁ - соответственно начальная и конечная частота колебаний маятника). Иначе говоря, величина действия h, связанного с маятником, при адиабатическом изменении длины маятника остается постоянной.

Обобщая этот результат, Эйнштейн заметил, что то же самое имеет место при протекании тока в замкнутом проводнике, лишенном сопротивления, и при свободном излучении.

В 1911 году Эренфест применил адиабатическую теорию к свободному излучению.

Три года спустя в статье "Об одной механической теореме Больцмана..." он ввел адиабатическую гипотезу и попытался применить ее к квантовой теории. В этой своей работе Эренфест исходит из соображений, связанных с излучением абсолютно черного тела. Он замечает, что отношение ^E_p/_vp (Е_р - энергия р-го собственного колебания излучения полости, a v_p - его частота) остается постоянным при адиабатическом сжатии полости с идеально отражающими стенками. Это постоянство позволяет, в частности, иным путем, нежели это сделал Планк,- чисто термодинамическим - вывести его квантовую гипотезу.

Далее Эренфест распространяет адиабатическую теорию на периодические механические системы, указывая, что "при адиабатическом воздействии на периодическую систему отношение средней во времени кинетической энергии к "частоте" остается неизменным".

Таким образом, для этих двух классов систем - излучающего абсолютно черного тела и периодической механической системы - Эренфест нашел адиабатически инвариантные, то есть квантующиеся, величины.

Кроме того, он рассмотрел случай вращающейся системы и показал, что на него можно распространить квантовые условия, относящиеся к гармонически колеблющимся системам. Это он делает на примере диполя, гармонически колеблющегося в сильном направляющем поле: адиабатически уменьшая напряженность этого поля, можно придать диполю вращательное движение. Этот свой пример Эренфест рассматривал как прецедент для отыскания более общих квантующихся систем.

Статья Эренфеста "Об одной механической теореме Больцмана..." интересна как попытка найти общий метод для определения величин, которые должны подвергаться квантованию. Анализ этой работы показывает, что он уже в то время имел все необходимые данные для применения своей гипотезы о квантовании адиабатических инвариантов к атомной системе.

В 1916-1917 годах Эренфест, а также его ученики И. Бюргерс и Ю. А. Крутков обобщили теорию адиабатических инвариантов на системы, обладающие многими степенями свободы. В 1921 году Ю. А. Крутков разработал последовательную теорию, которая позволяла находить новые адиабатические инварианты для широкого класса систем и, следовательно, указывала, как эти системы могут быть проквантованы в рамках теории Бора.

Оппонент. Огромной заслугой Эренфеста было уже само то, что он заметил рождение великих направлений в физике - той же квантовой теории. Что он правильно понял: формула Планка ведет к дискретным уровням. Ведь таких людей было немного - кто правильно понял - по пальцам можно пересчитать.

Автор. Я согласен с вами, что очень важно вовремя оценить значение открытия. На такое способен только человек, обладающий исключительно тонким научным чутьем. Но я все же не стал бы сводить к этому научные заслуги Эренфеста. Так же как не стал бы сводить его трагедию к тому, что он, дескать, вовремя заметил и оценил новые грандиозные научные направления, но не сумел внести в них достойный вклад.

Оппонент. Мне кажется, что слово "трагедия" здесь вообще неуместно. Есть немало честолюбивых людей, которые в начале своего жизненного пути строят грандиозные планы, вынашивают необыкновенные замыслы, но которым, однако, так и не удается их осуществить. Что ж, рассматривать это как трагедию? Нет, конечно. С годами человек начинает понимать, что его способности, его потенциал недостаточны для осуществления тех планов, которые он выдвигал перед собой, начинает снижать уровень своих притязаний...

Автор. Почему же это не случилось с Эренфестом? Как вы считаете?

Оппонент. Не знаю. Возможно, тут сказались какие-то особенности его психики - склонность к меланхолии, к депрессии.

Может быть, дало о себе знать и то, что на протяжении всей жизни он тесно соприкасался с действительно выдающимися людьми - Эренфест был учеником Больцмана, преемником и другом Лоренца, дружил также с Эйнштейном, Бором... Он не мог на них не равняться, я уже говорил вам об этом и могу повторить вновь.

Автор. Я тоже готов повторить, что, на мой взгляд, не это - не дружба с Эйнштейном или Бором - было причиной его терзаний. Лоренц - это да, он причастен к ним, но дело не в том, что Эренфест на него равнялся.

Хочу еще раз привести его собственные слова, обращенные к Иоффе: "...Пойми меня правильно: я ведь не одержим безумной идеей, что должен стать здесь полным подобием Лоренца. Я очень хорошо понимаю, как все здесь сложилось: Лейденский университет в Голландии маленький, Лоренц попал в Лейден случайно, в качестве учителя гимназии, да так и осел здесь. Его преемник должен был быть первоклассным молодым ученым. Но такого сюда не заполучить. Поэтому приходится подыскивать кого-то из числа второклассных, Я, естественно, сознаю, что в настоящее время среди физиков этого ранга нахожусь в числе сильнейших. И все-таки, все-таки, все-таки... И все-таки я знаю, что ты меня очень хорошо понимаешь".

Суть в том, что Эренфест трезво себя оценивал - он хоть и в числе сильнейших, но среди второклассных физиков. Именно такой по плечу "маленькому" Лейденскому университету. Все это он хорошо понимал рассудком, но не мог принять сердцем... Ему не дает покоя, что город, университет, студенты вынуждены иметь такого второклассного (хотя и сильнейшего среди второклассных) профессора. Это по "логике возможного" он попал сюда на руководство кафедрой физики, а если бы примеряться к иной логике, "логике желательного", тут нужен совсем другой, более сильный. И вот он что есть мочи пытается обскакать самого себя, прыгнуть выше головы. Не из честолюбия - из чувства долга. Понимаемого своеобразно, максималистски. Иоффе, который знал Эренфеста лучше чем кто-либо иной, прямо говорит: то обстоятельство, что он занял по настоянию самого Лоренца его кафедру, "составило впоследствии трагедию его жизни". Оппонент. Все-таки в чем тут загадка? И в чем тут трагедия? Для него лично - да, трагедия. В бытовом смысле этого слова. Но вы ведь используете его в ином значении, так сказать, в первородном.

Автор. Много ли вы знаете людей, которые терзались бы оттого, что не по праву занимают какой-то пост, какую-то должность? Или скажем конкретнее: известен ли вам хотя бы один заведующий кафедрой, кто бы мучился от сознания, что тут надо бы быть какому-то специалисту посильнее? В этих эренфестовских терзаниях есть что-то преувеличенное, гиперболизированное и одновременно возвышенное. Есть именно то, что присуще трагедии как литературному жанру, придуманному древними греками, но что почти не встречается в реальной жизни. А если и встречается, кажется странным, непонятным. Загадкой!

Вы можете сказать, что это была именно странность, род чудачества. Кстати, и в воспоминаниях об Эренфесте проскальзывают такие нотки. Крамерс, например, в одном случае говорит, что Эренфесту отчасти были свойственны донкихотские идеалы, в другом, имея его в виду, приводит цитату из Шекспира: Nature has form'd strange fellows in her time ("Родит природа странных людей"). Но, в общем-то, это была не странность, не донкихотство. Это было другое. Тот же Крамерс пишет, что, по мере того как он ближе узнавал своего учителя, для него все яснее делалась человеческая незаурядность Эренфеста: "Мне все отчетливее раскрывались особенности его живого и сложного характера, его личности во всей ее возвышенности и со всем ее трагизмом Никто в мире, по-видимому, не понимал этих особенностей в такой степени, как он сам, и сознание этого безусловно не облегчало его жизни".