Функция Карно

Карно, как мы уже знаем, доказал, что эффективность тепловой машины зависит только от температуры нагревателя и холодильника, но не смог эту зависимость вывести аналитически, так как у него не было тех формул, которые мы только что получили.

Эту зависимость вывел Клаузиус.

Вернемся к циклу Карно, Адиабаты в этом цикле соединяют изотермы с температурами Т₁ и Т₂; для двух адиабат можно написать два уравнения:

где а₁, и а₂ - две разные постоянные. Адиабата обладает тем свойством, что если она соединяет две точки с температурами T₁ и Т₂, то отношение объемов в этих точках

зависит только от отношения температур. Использовав это свойство для пар точек а, г и б, в (рис. 9), в цикле Карно, мы можем заключить, что

или что объемы на концах двух изотерм цикла удовлетворяют соотношению

Именно этого соотношения не хватало Карно.

Теперь мы вычислим работу, совершаемую в изотермическом процессе. Для первой изотермы аб работа, производимая газом, равна

Очевидно, что эта работа равна количеству теплоты Q₁, полученному от нагревателя. Работа, производимая над газом, для второй изотермы есть

Эта работа, в свою очередь, равна количеству теплоты Q₂, отданному холодильнику.

Учитывая теперь соотношение между объемами, мы можем написать, что

или, наконец,

Отметим, что для получения этой формулы нам надо было знать уравнение адиабаты. Но чтобы вывести уравнение адиабаты, надо уметь переводить количество теплоты в работу. Теория не уничтожаемого теплорода для этого не годилась.

Так что Карно не мог написать такой формулы. Он смог показать только, что отношение Q₁/Q₂ зависит от значений температур нагревателя и холодильника и что, более того, это отношение значений одной и той же функции от двух значений температуры: f(T₁)/f(T₂). Функцию f(T) называли функцией Карно.

Клаузиус показал (использовав закон сохранения энергии), что в качестве функции Карно можно просто взять значение температуры по термодинамической шкале ;(шкале Кельвина). Только после этого формула Карно могла быть написана так, как ее пишут сейчас. Функция Карно, определяющая эффективность, обычно задается как отношение "использованного" тепла Q₁-Q₁ к полученному от нагревателя Q₁. Следовательно, мы можем написать:

Это и есть знаменитая формула для коэффициента полезного действия тепловой машины, работающей по циклу Карно ^*:

Она показывает, что доля тепла, которая может быть превращена в работу, зависит от двух температур - нагревателя и холодильника. В механике мы привыкли, что кинетическая энергия тела может быть целиком превращена в работу. С теплом такого сделать нельзя. К этому представлению о работе надо было привыкнуть. Оно привело к появлению новой науки - термодинамики.

^* (Напомним, что Карно этих формул не было. Их получил только Клаузиус.)