Новая фундаментальная постоянная

Ключ к загадке был скрыт в формуле Вина. В ней сразу бросается в глаза появление новой постоянной b в показателе экспоненты. В те времена температуру никто не умножал на постоянную Больцмана (она, как мы говорили, была введена лишь Планком). Но если показатель экспоненты написать в виде bv/T=bkv/kT, то вместо коэффициента b в формулу для распределения войдет новый коэффициент bк. Размерность коэффициента bк - энергия×время. Глядя на формулу Вина, можно было, в конце концов, понять, что не существует способа вывести ее из каких-либо соображений, если они основаны на уравнениях классической физики. Надо было махнуть рукой на классическую физику, отбросить логику и, не задумываясь на первых порах о смысле, придумать новую гипотезу. Такой гипотезой оказалась гипотеза кванта.

Планк хорошо отдавал себе отчет в том, насколько необычна его гипотеза. Но она спасала физику, и это было достаточным основанием для того, чтобы он не испугался ее защитить. Гипотеза состояла в предположении, что атомы стенок сосуда, в котором находится излучение (те, которые мы назвали осцилляторами), могут испускать или поглощать электромагнитные волны только порциями - квантами с энергией hv. Этого предположения оказалось достаточно, чтобы ликвидировать ультрафиолетовую катастрофу.

Много позднее Планк писал из Берлина Вуду: "Дорогой коллега! Во время моего ужина в Гринти Холл Вы высказали пожелание, чтобы я написал Вам более подробно о том психологическом состоянии, которое привело меня когда-то к постулированию гипотезы квантовой энергии. Сейчас я выполняю Ваше пожелание. Кратко я могу описать свои действия как акт отчаяния, ибо по своей природе я миролюбив и не люблю сомнительных приключений. Но я целых шесть лет, начиная с 1894 г., безуспешно воевал с проблемами равновесия между излучением и веществом; я знал, что эта проблема имеет фундаментальное значение для физики; я знал формулу, которая дает распределение энергии в нормальном спектре; поэтому необходимо было найти теоретическое объяснение, чего бы это ни стоило. Классическая физика была здесь бесполезна - это я понимал... (кроме двух начал термодинамики).

Я был готов принести в жертву мои установившиеся физические представления. Больцман объяснил, каким образом термодинамическое равновесие возникает через равновесие статистическое; если развить эти соображения равновесия между веществом и излучением, то обнаружится, что можно избежать ухода энергии в излучение при помощи предположения, что энергия с самого начала должна оставаться в форме некоторых квантов. Это было чисто формальное предположение, и я в действительности не очень размышлял о нем, считая только, что, несмотря ни на какие обстоятельства, сколько бы ни пришлось за это заплатить, я должен прийти к нужному результату".

То, что сказал Планк, требует некоторого объяснения. Для этого надо представить себе сосуд - ящик, в котором есть электромагнитное поле. Пусть в его стенках находятся электроны, которые не могут двигаться свободно, а колеблются, как бы связанные упругой пружиной. Не надо думать, что такая картина слишком груба,- законы теплового равновесия не зависят от конкретного устройства системы, и модель с электронами должна привести к тому же результату, что и любая другая модель. Необходимо, однако, соблюсти два условия: во-первых, частоты колебаний электронов должны быть самыми разными, чтобы они могли излучать и поглощать электромагнитное излучение любой частоты; во-вторых, электроны должны находиться в тепловом равновесии со стенкой, чтобы их движение можно было описывать определенной температурой.

К сожалению, вывести формулу Планка довольно трудно. Для этого надо уметь вычислять распределение осцилляторов по энергии. Мы приведем сразу конечный результат. Формула, выведенная Планком, имеет вид

Главную особенность формулы Планка можно увидеть при больших частотах. Предположив, что энергия может излучаться и поглощаться только в виде конечных порций - квантов, связанных с частотой формулой

Планк обнаружил, что при этом ультрафиолетовая катастрофа исчезает и для распределения получается разумная формула. При каждой температуре спектр мощно разбить на две части: в одной - частоты, большие kT/h, в другой - частоты, меньше kT/h. Величина кТ грубо характеризует то место в спектре, в котором сосредоточена большая часть энергии. Когда hv много больше, чем кТ, то экспонента в знаменателе становится большой и единицей можно пренебречь. Тогда

Мы видим, что формула Планка воспроизводит поведение функции распределения Вина. Спектр излучения убывает очень быстро с ростом энергии, а потому при больших частотах никакой "катастрофы" не происходит.

Дело выглядит так, что колебания электромагнитного поля, отвечающие большим частотам, практически не получают энергии. Это есть следствие гипотезы Планка о квантах. По представлениям классической теории, каждое колебание должно иметь среднюю энергию кТ. Если kT > >hv, то такой энергии отвечают несколько квантов. Если же kT < <hv, то даже одного кванта становится слишком много. Излучить же полкванта или четверть кванта атомы-осцилляторы не могут: таких порций нет в природе. Поэтому "большие" кванты - кванты с большой частотой - не излучаются, их нет и в электромагнитном поле. Эти степени свободы "вымерзли". Так "вымерзают" частоты, кванты которых слишком велики по сравнению с кТ. С уменьшением температуры "вымерзает" все больше и больше колебаний. При абсолютном нуле исчезают все степени свободы - энергия и энтропия излучения устремляются к нулю.

Явление "вымерзания" степени свободы обнаружил еще Нернст задолго до появления квантовых представлений, размышляя о том, как должна вести себя энтропия вблизи абсолютного нуля.

Если посмотреть на формулу Планка при низких частотах (hv <<kT), то в этой области можно заменить экспоненту по формуле ε^α=1+ α при α <<1 и получить формулу Релея - Джинса:

Это замечательная формула. Из нее исчезла постоянная Планка h. При низких частотах, когда квант "маленький", формула дает классическое число степеней свободы электромагнитного поля - их 8 πv²/C² на интервал частоты Δv. На каждую степень свободы приходится энергия кТ.

В истории с квантом Планк проявил удивительную интуицию. Ведь на самом деле не существует никакой логической цепочки, которая могла бы привести его к открытию.

Планк сам не думал о настоящих квантах - квантах электромагнитного поля. Для него кванты были порциями энергии, которые терял осциллятор. Только через пять лет Эйнштейн заметил, что если квант имеет энергию, то он имеет право на самостоятельное существование, как частица с энергией е и массой покоя, равной нулю.

Точные расчеты по формуле Планка дают для полной плотности энергии излучения (закон Стефана - Больцмана)

где

В эту формулу входят сразу три фундаментальные постоянные: к, h и с. Постоянная Больцмана (к) - из кинетической теории, постоянная Планка (ћ) - из квантовой механики, скорость света (с) - из теории электромагнитного поля Максвелла.

Закон Стефана - Больцмана обычно пишут не для плотности энергии, а для количества энергии, которое за секунду испускает с единицы поверхности в пустоту тело, нагретое до температуры Т:

где σ=5,67*10^-8 кг/(с³ К⁴), Постоянные σ и α связаны соотношением σ=1/4 αс.

Если разделить плотность энергии Е₀ на энергию одного колебания, т. е. на кТ, то получим величину, которую можно интерпретировать как число квантов в единице объема. Оно оказывается равным 5,5*10⁷ Т³/м³. Это значит, что число квантов не остается постоянным, а растет с температурой. Этим газ из фотонов отличается от идеального газа, газа из постоянного числа атомов.

Открытие Планка обрело физическое содержание, когда Эйнштейн понял, что электромагнитное поле состоит из квантов - фотонов - и что осцилляторы излучают и поглощают фотоны - частицы, движущиеся со скоростью света и не имеющие массы покоя.

Появление фотонов в физике было настолько неожиданным и их существование было настолько трудно признать, что только в 1924 г. фотоны стали рассматривать как газ и применять к нему законы статистической физики.