Газ Лоренца

Еще в начале нашего века Г. А. Лоренц, один из предшественников Эйнштейна в создании теории относительности, изучал простую теоретическую модель, которая обладала интересными свойствами.

Так как движение молекул газа в трехмерном пространстве рассчитывать очень трудно, Лоренц ограничил себя решением двумерных задач, т. е. задач, в которых частицы - молекулы - двигаются в одной плоскости^*. Оп еще больше упростил задачу, считая, что частицы совсем не сталкиваются между собой, а сталкиваются с препятствиями - неподвижными круглыми дисками, расположенными в беспорядке по всей плоскости. Столкновение с дисками предполагалось упругим, так что молекулы при столкновениях изменяли лишь направление своей скорости, но не изменяли ее величину (т. е. сохранили свою энергию). Отражение молекул от дисков подчинялось оптическому закону - равенству угла падения и угла отражения.

^* (Сейчас с помощью ЭВМ задача Лоренца решается полнее.)

Мы помним пример с кубическим ящиком, в котором молекулы отражались упруго от его стенок и никак не запутывали свою траекторию. В модели газа Лоренца все происходило совсем иначе.

Если бы все в устройстве модели было бы идеальным, то траекторию каждой частицы можно было предсказать и эта модель мало бы отличалась от модели газа в кубике и газ Лоренца сохранял бы память. Но здесь в игру входит новый фактор - неустойчивость движения. Если столкновение не совсем упруго и угол отражения слегка отличается от угла падения, если диски не совсем круглые, если какие-либо другие возмущения нарушают слегка движение, то маленькие ошибки, отклонения от идеального движения, быстро накапливаются и траектория после небольшого числа столкновений станет очень запутанной, а положение частицы и направление ее скорости практически случайными. Ошибки эти могут быть даже но реальными, а появляться в процессе вычислений, в результате округления, отбрасывания последних знаков в получаемых числах - так, обычный калькулятор фиксирует на экране лишь восемь знаков. Случайные ошибки округления хорошо имитируют неточность модели.

Поведение молекул в газе Лоренца можно описать более аккуратно. Предположим, что узкий пучок частиц входит в игру в какой-то точке плоскости. Скорости всех молекул в этом пучке практически одинаковы, так что угол между скоростями любых двух частиц α₀ очень мал. При столкновениях молекул с дисками угол α быстро растет и пучок частиц быстро размазывается. Частицы, летевшие вначале параллельно друг другу, разбегаются в разные стороны: их траектории быстро становятся совсем непохожими. Во многих случаях угол между двумя траекториями, равный α₀ (почти нулю), вначале растет со временем по экспоненциальному закону

Величина τ определяет скорость роста угла и называется временем релаксации. Можно сказать, что скорости молекул "размешиваются" и становятся стохастическими за время порядка τ.