Развитие теории квант

Проблема черного излучения

День 14 декабря 1900 г., когда Планк в докладе на заседании Немецкого физического общества в Берлине ввел для обоснования найденного им закона излучения гипотезу о дискретных количествах энергии - квантах, навсегда вошел в историю науки как день рождения квантовой теории. Предполагая величину кванта энергии пропорциональной частоте ε = hv, Планк показал, что классический осциллятор не может обладать средней энергией kT, как это должно было бы быть по теореме о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, а энергией, соответствующей его частоте:

"Мы видим,- писал по поводу этого выражения 8 мая 1909 г. Планк,- что о равномерном распределении энергии между различными резонаторами здесь не может быть и речи". Используя найденную им связь между энергией равновесного излучения в единице объема поля излучения и средней энергией осциллятора

Планк получает свою знаменитую формулу для спектрального распределения энергии излучения:

Эта формула дает прекрасное совпадение с опытом. Из нее получаются закон Стефана-Больцмана и закон Вина. Постоянные, входящие в выражения этих законов, благодаря формуле Планка оказались связанными с атомными постоянными k и h. Знание постоянной Больцмана k, которая, кстати сказать, была введена Планком, позволяет определить число Авогадро N и заряд электрона e. Из измерений Луммера и Прингсгейма, проведенных в 1899 г., Планк вычислил эти величины и нашел

Это были первые и наиболее точные в то время определения атомных величин. Для сравнения укажем, например, что определения заряда электрона, проведенные в лаборатории Кавендиша в Кембридже, давали значение e = 3,1*10^-10.

Формула Планка была также подтверждена измерениями Пашена (1901). Правда, Луммер и Прингсгейм критиковали результаты Пашена, считая, что они недостаточно обосновывают формулу Планка, однако Пашен в том же году опроверг эту критику. "Новейшие опытные исследования Пашена также указывают на сравнительно большую точность формулы Планка", - отмечал в 1901 г. известный русский физик В. А. Михельсон.

Приведенная выше выдержка была взята из доклада В. А. Михельсона, в котором впервые в русской литературе упоминается гипотеза Планка о квантах света. "Это, как мне кажется, одно из наиболее любопытных заключений теории Планка. Хотя это заключение вполне логично вытекает из всего предыдущего (т. е. хода рассуждений Планка, воспроизведенного Михельсоном.- П. К.), тем не менее физический смысл его представляется еще далеко недостаточно выясненным".

Вот эта "недостаточная выясненность" новой идеи и помешала физикам сразу и безоговорочно принять теорию Планка, несмотря на ее несомненные успехи. Сам Планк не очень благосклонно относился к выдвинутой им гипотезе квантования энергии и пытался, как он сам пишет, "как-то ввести h в рамки классической теории".

Ввести проблему черного излучения в рамки классической теории пытались Г. А. Лоренц, Д. Д. Томсон и Д. Джинс.

М. Планк

В период 1901 - 1905 гг. Лоренц выступил с рядом статей, посвященных проблеме теплового излучения. В первой из этих статей - "Теория излучения и второй закон термодинамики",- опубликованной в 1901 г., Лоренц пытается выяснить возможность применения второго принципа термодинамики, связанного по Больцману с нестройностью теплового движения, к излучению, которое с точки зрения теории Максвелла подчиняется регулярным уравнениям электромагнитного поля. То, что законы Стефана-Больцмана и Вина подтверждаются опытом, указывает на применимость второго начала термодинамики к явлениям излучения. Но тогда получается любопытное следствие. Поскольку всякое тело, помещенное в полость, заполненную эфиром и окруженную идеально отражающими стенками, приходит в равновесное состояние, при котором объемная плотность энергии будет универсальной функцией длины волны и температуры, то это означает, что в отношении излучения различные тела являются чем-то сходными между собой. Это сходство Лоренц усматривает в представлении об электронах как составных частях материи. Применяя соотношения размерности для различных физических величин и уравнения электронной теории, Лоренц приходит к выводу, что законы Вина и Стефана-Больцмана будут удовлетворены, если заряд электрона остается инвариантной величиной. Касаясь вывода Планка, Лоренц называет его "интересным", но полагает, что будущая теория излучения будет строиться на принципах электронной теории. Интересно, что одним из следствий развитых Лоренцем соображений является вывод о возможности построения универсальной системы единиц, которая должна основываться на таких величинах, как скорость света, гравитационная постоянная, заряд электрона и средняя кинетическая энергия молекулы. Современная атомная физика реализовала в измененном виде эту идею Лоренца. Целью исследования Лоренца было выяснение условия применимости второго начала термодинамики к излучению. Вид универсальной функции излучения он оставил неопределенным, хотя и упоминает о формуле Планка. Задачу определения функции распределения энергии излучения по спектру он решает в 1903 г. в статье "Об испускании и поглощении тепловых лучей большей длины волны металлами".

Непосредственным поводом к этой работе Лоренца послужили эксперименты Э. Хагена и Р. Рубенса, которые исследовали отражательную способность металлов показали в том же, 1901 г., в каком появилась работа Лоренца, что между электропроводностью и отражательной способностью металлов для больших длин волн существует связь. "Из этого результата следует,- писал Лоренц в своей статье,- что теория, которая может дать адекватную идею механизма токов проводимости, будет также достаточна для объяснения поглощения лучей, использованных в этих экспериментах".

Поэтому Лоренц строит теорию излучения металлами, опираясь на теорию электропроводности металлов, развитую Друде и им самим. Прежде чем перейти к изложению предпосылок этой теории и соответствующим им расчетам, Лоренц останавливается на формуле Планка и его гипотезе квантов. Он указывает, что гипотеза квантов является существенной частью теории Планка, и обращает внимание на то, что в этой теории "вопрос о механизме, посредством которого теплота тела производит электромагнитные колебания в эфире, остается открытым". "Тем не менее,- продолжает Лоренц,- результаты Планка весьма замечательны. Его формула очень точно представляет энергию излучения для всех значений длин волн ..." Теория же самого Лоренца, развиваемая им в разбираемой статье, с самого начала,- и это он подчеркивает,- ограничивается длинными волнами.

В отличие же от Планка, который предполагает, что излучающее тело состоит из резонаторов различных частот, Лоренц предполагает, что излучение производится электронами, находящимися в тепловом движении, среднюю кинетическую энергию такого движения он принимает равной αT. Эти электроны в моменты соударений становятся центрами излучения. Таким образом, излучение нагретой пластинки, по Лоренцу, состоит из нерегулярных апериодических импульсов. Эти импульсы могут быть разложены в ряд Фурье. В предположении, что время свободного пробега значительно меньше периода колебаний, Лоренц подсчитывает излучение, частоты которого лежат в пределах от п до n+dn, а длины волн соответственно от λ до λ-dλ. Отсюда он вычисляет плотность энергии излучения, которая равняется

или выражая, ее через длины волн, получим значение

Формула Планка дает для плотности энергии излучения величину

Для больших длин волн это выражение переходит в ^8πkT/_λ⁴dλ. Это выражение совпадает с выражением Лоренца, если положить

"Но средняя кинетическая энергия молекулы газа,- замечает Лоренц,- согласно Планку должна быть ³/₂kT и обозначалась в предыдущем изложении через αТ. Здесь, таким образом, обнаруживается полное согласие между двумя теориями для случая длинных волн, и это, конечно, замечательный вывод, поскольку фундаментальные предпосылки теории весьма различаются друг от друга".

Заметим, что формула Лоренца совпадает с формулой, полученной Рэлеем в июне 1900 г., т. е. за полгода до доклада Планка. Рэлей исходил из принципов классической статистики, краеугольным камнем которой является теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Выражение для средней энергии молекулы одноатомного газа ³/₂kT и получено в соответствии с этой теоремой. Применимость классической статистики к электронам в металле является, следовательно, фундаментальной предпосылкой к теории Лоренца. Другой предпосылкой является теорема Лармора об изучении ускоренно движущегося электрона. Энергия, излученная таким электроном в единицу времени, составляет

где f - ускорение электрона, а полное количество испущенной электроном энергии за все время его движения равно

Д. Д. Томсон в 1905-1906 гг. развивал теорию излучения для всех длин волн, основываясь на приведенном выше выражении для энергии, излученной ускоренно движущимся электроном. Если представить, что частица, выйдя из состояния покоя, в течение промежутка времени t₁ двигалась с постоянным ускорением f = β и, достигнув к концу этого промежутка некоторой скорости, движется затем равномерно в течение промежутка времени t₂ в конце которого она, сталкиваясь, получает ускорение -β, и в течение промежутка времени t₁ приходит в состояние покоя. Таким образом, частица в промежутки времени от t = -∞ до t = - (t₁ + ^t₂/₂)

имеет ускорение f = 0.

от t = - (t₁ + ^t₂/₂) до t = - ^t₂/₂

имеет ускорение f = β,

от t = - ^t₂/₂ до t = ^t₂/₂

имеет ускорение f = 0,

от t = ^t₂/₂ до t = t₁ + ^t₂/₂

имеет ускорение f = -β,

от t = t₁ + ^t₂/₂ до t = ∞

имеет ускорение f = 0.

Представляя такую меняющуюся ступенчато функцию интегралом Фурье, Томсон получает для f выражение:

Рэлей показал в 1899 г., что для интеграла

справедливо соотношение

Отсюда

и энергия, излучаемая ускоренно движущимся электроном, будет

Если в секунду в каждой единице объема излучающего вещества происходит s столкновений, то энергия, излучаемая единицей объема в секунду, будет

Доля этой энергии, приходящаяся на интервал частот от q до q+dq, будет

(A)

В случае Лоренца частота q очень мала в сравнении с ¹/_t1 или ¹/_t1+t₂, а число столкновений s = ^nu/_l, где u - скорость теплового движения, l - длина свободного пробега. В этом случае выражение (А) дает

(B)

Но β = ^u/_t1, и если время столкновения t₁ мало по сравнению со временем свободного движения t₂, то l = ut₂ и это выражение Принимает вид

По теории Друде-Лоренца электропроводность

Отсюда энергия, излучаемая единицей объема металла, нагретой до температуры Т в единицу времени, равна

Исследуя выражение (А), Томсон показывает, "что наибольшее количество энергии, как и следовало ожидать, соответствует тем волнам, в которых время колебания сравнимо с t₁, т. е. с продолжительностью столкновения". Если время столкновения уменьшается с температурой, то максимум энергии с увеличением температуры сдвигается в сторону коротких волн.

В том же, 1905 г. Д. Джинс опубликовал статью "Распределение энергии между материей и эфиром". В этой работе Джинс исходил из теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы, распространяя ее и на эфир. Чтобы подсчитать число степеней свободы эфира, он подсчитывал число стоячих волн, содержащихся в кубе с идеально отражающими стенками.

Это число оказывается равным

где а - ребро куба. Отсюда число колебаний, частоты которых заключены в пределах от v до v+dv, будет

Считая, что на каждую степень свободы приходится энергия ¹/₂kT, и учитывая, что энергия электромагнитного колебания складывается из двух равных в среднем частей: магнитной и электрической энергии, находим, что энергия электромагнитного излучения, содержащаяся в кубе с объемом V = a³ в пределах частот от v до v+dv, будет

и энергия единицы объема

дает результат, совпадающий с результатом Рэлея, Лоренца и Томсона. Этот результат получается также как предельный случай и из формулы Планка. Но если у Планка, Лоренца и Томсона закон Рэлея-Джинса имеет ограниченное значение, оставаясь справедливым только для случая длинных волн, где он действительно подтверждается наблюдениями, то такой оговорки в теории Рэлея и Джинса нет. Предполагая универсальную применимость теоремы о равномерном распределении энергии, они получили формулу для плотности энергии равновесного излучения, резко противоречащую опыту. Формула Рэлея-Джинса не дает ни закона Стефана-Больцмана, ни закона смещения Вина. Согласно этой теории энергия излучения стремится к бесконечно большому значению для высоких частот. Такой парадоксальный вывод получил название "ультрафиолетовой катастрофы".

Упомянем еще об одной работе по теории излучения, опубликованной в 1905 г. Это доклад П. С. Эренфеста "О физических предпосылках теории необратимых процессов, излучения Планка", прочитанный им 9 ноября 1905 г. В этом докладе Эренфест анализирует термодинамические и статистические предпосылки четырех статей Планка, опубликованных в "Annalen der Physik": "О необратимых процессах излучения" (т. 1), "Энтропия и температура лучистой теплоты" (т. 1), "О законе распределения энергии в нормальном спектре" (т. 4), "О необратимых процессах излучения" (т. 6). Касаясь в своем докладе гипотезы Планка, Эренфест указывает, что данный Планком закон распределения энергии в нормальном спектре основан на двух гипотезах: 1) Гипотеза о равновероятном распределении энергии по резонаторам и 2) Гипотеза, что энергия излучения состоит из мельчайших частиц энергии, имеющих величину

"Гипотеза (2),- пишет Эренфест,- которая, очевидно, в теперешнем виде может быть понята только формально, требует еще дальнейшей редукции. Насколько я могу видеть, для нее отсутствует аналог в теории Больцмана". Таким образом, Эренфест считает, что квантовая гипотеза Планка является чисто формальной и должна быть в дальнейшем сведена к чему-то другому. Но он уже видит, что гипотеза не имеет аналога в классической статистике Больцмана. Этой статьей заканчивается первый период развития квантовой теории, связанный с разработкой проблемы черного излучения. Гипотеза квантов еще считается временной, формальной. Однако попытки построить теорию излучения на классической основе, предпринятые в этот период Рэлеем, Лоренцем, Джинсом, приводят к закону Рэлея-Джинса, находящемуся в резком противоречии с опытом, за исключением области длинных волн.