Статистика Бозе

В 1925 г. Ш. Бозе прислал свою статью "Закон Планка и гипотеза о световых квантах" Эйнштейну, который перевел ее на немецкий язык и опубликовал в журнале "Zeitschrift fur Physik" со своим примечанием. Бозе начинает свою статью с того, что применяет к световым квантам (фотонам) принцип подразделения фазового пространства на равновеликие ячейки h³. Как мы знаем, этот принцип впервые был применен и Саккуром при выводе химической постоянной Нернста (1912) и затем Планком при применении идей Нернста к одноатомному газу в 1913 г. Далее Бозе предлагает новый способ подсчета термодинамической вероятности фотонного газа. В данном объеме V с заданной энергией Е содержится N_s квант с энергиями hv_s (s меняется от 0 до ∞), так что

Состояние кванта характеризуется его координатами x, y, z и импульсом

так что фазовый объем светового кванта будет

В этом объеме содержится ячеек величиной h³ каждая. Для учета поляризации это число надо еще умножить на 2, так что интервалу частот dv соответствует

ячеек. Теперь Бозе меняет способ подсчета возможных распределений. Он отказывается от подсчета "комплексий", как это принято в классической статистике, а считает ячейки, не содержащие квантов, содержащие один, два кванта и т. д. Если в классической статистике обмен частицами между двумя ячейками, содержащими одинаковое число частиц, давал новую комплексию, то, по Бозе, такой обмен нового не дает - кванты неразличимы. Новое дает обмен ячейками, содержащими равное количество квантов, так как ячейки можно перенумеровать. Обозначив число ячеек, не содержащих квантов, через p₀^s, число ячеек, содержащих по одному кванту,- p₁^s, по два кванта - p₂^s и т. д., Бозе пишет для числа возможных распределений квантов hv₃ по ячейкам

где

и вероятность состояния выражается произведением

Вычисляя log W и находя максимум этого выражения для наиболее вероятного состояния, получаем формулу Планка и энтропию фотонного газа.

Примечание Эйнштейна к статье Бозе гласило: "Данный вывод формулы Планка представляет собой, по моему мнению, большое достижение. Как я предполагаю, показать в другом месте использованный здесь метод позволяет также получить квантовую теорию идеального газа". И действительно, уже в том же, 1924 г. в "Известиях Прусской Академии наук" появилась статья Эйнштейна "Квантовая теория одноатомного газа", за которой в следующем, 1925 г. появились еще две статьи по тому же вопросу. Проблема, волновавшая Нернста, Планка, Саккура, Шапошникова, была полностью решена Эйнштейном.