Фигуры Лиссажу (Н. Минц)

Самые простые колебания тела - это колебания, при которых отклонение х тела от положения равновесия изменяется по закону

где а - амплитуда, ω - частота, φ - начальная фаза колебаний.

Такие колебания называются гармоническими. Гармонические колебания совершают математический маятник, грузик на пружине, напряжение в электрическом контуре.

В этой статье мы рассмотрим случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Если оба колебания происходят вдоль одной прямой, то уравнение движения тела будет представлено суммой уравнений двух движений:

Нетрудно построить график смещения тела от положения равновесия в зависимости от времени. Для этого нужно сложить ординаты кривых, соответствующих первому и второму движениям. На рис. 85 показан пример сложения двух гармонических колебаний (сплошные синусоиды). Пунктирная линия соответствует результирующему колебанию. Оно уже не является гармоническим.

Рис. 85

Более сложные траектории получаются при сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Примером такого колебания может служить движение тела, изображенного на рис. 86. В этом случае вид траекторий зависит от соотношения частот, амплитуд и фаз взаимно перпендикулярных колебаний.

Рис. 86

Эти траектории, как мы уже знаем, называют фигурами Лиссажу. Установка, использованная Лиссажу, показана на рис. 87. Камертон Т' колеблется в горизонтальной плоскости, камертон Т - в вертикальной. Луч света проходит через линзу и попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону Т', отражается им, попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону Г, и после вторичного отражения попадает на экран. При колебании только одного камертона светлое пятно на экране колеблется вдоль прямой линии. Если колеблются оба камертона, пятно может описывать замысловатые траектории.

Рис. 87

Траектория движения тела в том случае, когда оно одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описывается системой уравнение

(1)

где x и y - проекции смещения тела на осях X и Y.

Допустим для простоты, что φ₁ = φ₂ = 0 и ω₁ = ω₂ = ω. Тогда

(2)

Это означает, что следовательно, соотношения (2) описывают отрезок прямой. Угол наклона α к оси X определяется уравнением

Пусть теперь Тогда

(3)

Разберем сначала самый простой случай, когда A₁ = A₂, φ'₁ = φ₂ = 0 и ω₁ = ω₂ = ω, т. е.

(4)

Точка с координатами x и y, определяемыми этими уравнениями, описывает окружность радиуса A. Действительно, x²+y² = A² cos² ωt + A² sin² ωt = A². А это и означает, что траектория движения - окружность.

Пусть теперь A₁≠A₂. Построим траекторию движения для случая A₁ = 1, A₂ = 2. В момент максимального отклонения x = A₁ = 1, т. е. cos ωt = 1, ωt = 0 и, следовательно, y = 2 sin ωt = 0. Аналогично при x = 0, y = 2, при и так далее.

Построив по этим координатам график, мы получим эллипс, большая полуось которого равна A₂, а малая - A₁, т.е. эллипс вытянут по оси Y (рис. 88, а)^*.

^* (То, что система уравнений

описывает эллипс, можно показать и аналитически:

т. е. точка с координатами хну лежит на эллипсе.)

Рис. 88

Нетрудно показать, что при A₁ = 2 и A₂ = 1 мы получим эллипс, вытянутый по оси X (рис. 88, б).

Таким образом, ясно, что, меняя соотношение амплитуд, можно получать различные эллипсы.

Пусть теперь ω₁ = 2ω, ω₂ = ω, φ'₁ = 0 и φ'₂ = 0. Тогда система уравнений (3) приобретает вид

Преобразуем уравнение для x следующим образом:

Рис. 89

Эта кривая - часть параболы с осью вдоль оси X и вершиной в точке x = A₁ (рис. 89). Таким образом, мы получили незамкнутую кривую.

Рассмотрим теперь влияние частот на форму траектории, а амплитуды поперечного и продольного колебаний, описываемых системой уравнений (3), возьмем одинаковыми.

Построим, например, кривые, соответствующие уравнениям

Сделать это проще всего так. Возьмем окружность радиуса А (рис. 90), отметим на ней точки, соответствующие углам ωt, равным 0, ^π/₈, ^π/₄, ^3π/₈, ^π/₂, ^5π/₈, ^3π/₄, ^7π/₈, π, ..., 2π.

Рис. 90

Чтобы найти течки с координатами x = A cos ωωt и y = A sin2ωt, вспомним, что в случае окружности единичного радиуса (r = 1) cos ωt численно равен проекции радиуса-вектора r (ωt) на ось X, a sin ωt - проекции на ось Y. Так как мы взяли окружность радиуса A, то координаты x и y каждой точки окружности - это проекции радиусов-векторов этих точек на оси X и Y.

Найдя все точки по их координатам, проведем через эти точки сплошную линию (рис. 90).

Рис. 91

Для обоих случаев получаются замкнутые кривые, число петель которых соответствует отношению (рис. 91, а, б).

Рис. 92

Фигура, приведенная на рис. 92, незамкнута. Она соответствует системе уравнений

В каком же случае получаются незамкнутые фигуры? Можно ли найти общие закономерности? Рассмотрим уравнения в виде

Прежде всего заметим, что в той точке, где кривая поворачивает обратно по той же траектории, скорости тела вдоль осей X и Y одновременно обращаются в нуль. Ведь именно в этом случае тело, двигаясь вдоль кривой, останавливается, а затем начинает двигаться обратно. Если x = A₁ cos ρωt, то

Когда

В результате

Аналогично для v_y получаем

Посмотрим, когда скорости v_x и v_y обращаются в нуль:

Из этих условий ясно, что фигура Лиссажу получается незамкнутой в тех случаях, когда

В частности, кривая на рис. 92 удовлетворяет этому условию.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать на экране осциллографа. На вертикальную развертку подается одно гармоническое колебание, на горизонтальную - другое. Их сумма может принимать разнообразные формы. Для этого достаточно менять частоту переменного напряжения на обкладках осциллографа.

Каждый из вас может сам сделать очень простое устройство для наблюдения и фотографирования фигур Лиссажу. Возьмите обыкновенную металлическую линейку и изогните ее так, чтобы плоскость одной половины линейки была перпендикулярна плоскости второй ее половины (см. рис. 93).

Рис. 93

Один из концов линейки зажмите в тиски. Если теперь качнуть свободный конец линейки, он будет описывать в воздухе замысловатые фигуры. Это и будут фигуры Лиссажу.

Движение свободного конца линейки складывается из независимых колебаний двух частей линейки. Одна - от тисков до перегиба и вторая - от перегиба до конца. Колебания каждой части перпендикулярны плоскости линейки на этом отрезке. Поскольку угол перегиба линейки равен ^π/₂, колебания взаимно перпендикулярны. Вид траектории конца линейки зависит от длины и ширины линейки и от того, в каком месте ее перегнуть.

Для получения разных фигур можно использовать одну и ту же линейку. Чтобы изменять соотношение частот вертикального и горизонтального колебаний, достаточно зажимать линейку в тиски в разных местах.

Так как частота колебаний зависит от длины линейки, то, меняя соотношения между длинами ее частей, вы будете менять соотношения между частотами взаимно перпендикулярных колебаний конца линейки. При этом получатся различные траектории конца линейки.

Рис. 94

Чтобы сфотографировать получающиеся фигуры, к свободному концу надо прикрепить маленькую лампочку от карманного фонарика. Лампочка проводами, протянутыми вдоль линейки, соединяется с батарейкой (см. рис. 93). Поместив наш сложный маятник в темной комнате, можно сфотографировать колебания линейки. Время экспозиции должно быть достаточно велико. Его вы можете определить, проведя несколько опытов с разной экспозицией. На рис. 94 приведены фотографии, полученные именно таким способом.

Попробуйте провести подобные опыты самостоятельно.

1. Докажите, что все кривые, описываемые системой уравнений
   
   
   незамкнуты.
2. Получите уравнение кривой