3. Книги Вторая, Третья, Четвертая

Книга Первая, как мы уже говорили, содержит весьма подробное изложение гелиоцентрической системы мира. Конечно, Коперник не имел прямых доказательств истинности гелиоцентрического взгляда на Вселенную, однако он обосновал и разработал свое учение настолько, насколько позволили это сделать астрономия, математика, физика и астрономическое приборостроение того времени.

Коперник, отдавая дань великим древнегреческим предшественникам, Платону и Аристотелю, которые считали, что все небесные светила должны равномерно двигаться по самым совершенным, круговым орбитам, также последовал античной традиции и обосновал новую картину мироздания, опираясь на геометрию равномерных круговых движений.

Но не только в этом Коперник следовал античным представлениям. Так же, как и древние астрономы, Коперник считал, что сфера звезд неподвижна. Однако он допускал, что расстояние от Земли до нее практически бесконечно^*.

^* (Задолго до Коперника идею бесконечности Вселенной отстаивал известный философ и ученый Николай Кузапскнй (1401-1464).)

Прежде чем изложить содержание остальной части сочинения Коперника, ознакомимся с основными геометрическими понятиями и моделями, использовавшимися в астрономии на протяжении двух тысячелетий, начиная с эпохи Платона и Аристотеля и вплоть до эпохи Кеплера. Постулат Платона и Аристотеля об идеальности небесных движений никем, в том числе и Коперником, не подвергался никаким сомнениям и служил отправной точкой при построении кинематики Солнечной системы. Но древние астрономы прекрасно знали, что наблюдаемые движения Луны, Солнца и планет относительно звезд неравномерны, поэтому они считали, что их наблюдаемые неравномерные движения суть результат сложения нескольких равномерных круговых движений. Такой же точки зрения придерживался и Коперник, и мы увидим, что в некоторых деталях, касающихся точности расчета планетных движений, он был дальше от истины, чем Птолемей. Прекрасный очерк об эволюции теории планетных движений с древних времен и до эпохи Кеплера содержится в "Этюдах по истории планетных теорий" профессора Н. И. Идельсона, включенных в сборник "Николай Коперник", вышедший в 1947 году в Издательстве АН СССР. Дальше мы не один раз будем пользоваться материалами из этого очерка.

В основу древнейших, доптолемеевских теорий планетных движений (заметим, что Солнце и Луна также считались планетами) были положены геометрические понятия деферента, эпицикла и экс-центра.

Пусть задан параллелограмм TOPN, стороны которого последовательно связаны шарнирами, позволяющими каждой из них вращаться вокруг смежной с ней, и пусть одна из сторон, например сторона параллелограмма ТО, закреплена неподвижно в плоскости, в которой происходит равномерное вращение параллелограмма против часовой стрелки (рис. 14).

Рис. 14. Изображение деферента, эпицикла и эксцентра

Очевидно, что при этом движение точки N является равномерным вращением по окружности с центром Т и с радиусом TN. Окружность с центром в точке T и с радиусом TN называется деферентом. Так как сторона ТО неподвижна, a NP всегда параллельна ей, отсюда следует, что сторона NP перемещается в плоскости параллельно самой себе и, следовательно, она совершает в плоскости поступательное движение. Но относительно стороны TN отрезок NP совершает вращение по часовой стрелке и точка Р описывает равномерное круговое вращение вокруг точки N по окружности радиуса NP, называемой эпициклом. Нетрудно догадаться, что угловая скорость движения точки N по деференту вокруг точки Т и угловая скорость движения точки Р по эпициклу вокруг N равны между собой, так как один оборот точки N по деференту совершается за то же время, что и один оборот точки Р по эпициклу.

Окружность, которую в равномерном движении описывает точка Р вокруг неподвижного центра О, называется эксцентрическим, кругом (относительно центра Т) или эксцентром. Отношение сторон параллелограмма (или, что то же самое, отношение радиуса эпицикла к радиусу деферента)

называется эксцентриситетом эксцентра.

Радиусы эксцентра и деферента, естественно, равны между собой.

В теории движения планет приведенная кинематическая модель применяется следующим образом.

Если точка Р представляет некоторую реальную планету, равномерно вращающуюся по эпициклу вокруг средней, "фиктивной" планеты N, а наблюдатель находится в точке Т (как говорили древние астрономы, в "центре мира"), то относительно него планета Р будет двигаться неравномерно, в точке П (в перигее) она будет ближе всего к наблюдателю, а в точке А (в апогее) она будет дальше всего от наблюдателя.

Использование этих кинематических понятий древними астрономами значительно облегчалось благодаря изящной теореме Аполлония Пергского, жившего в III веке до нашей эры: кинематическая модель эпицикла и деферента с равными и противоположно направленными вращениями эквивалентна неподвижному эксцентру.

Эту теорему можно, следуя Аполлонию, сформулировать так: если средняя планета N обращается вокруг центра мира Т по деференту в прямом направлении с постоянной угловой скоростью, а реальная планета Р обращается по эпициклу с той же угловой скоростью, но в обратном направлении, то при этих условиях движение планеты Р будет такое же, как если бы она обращалась с той же скоростью в прямом направлении по эксцентру, радиус которого равен радиусу деферента, а центр эксцентра О удален от центра мира на отрезок ОТ, равный и параллельный радиусу эпицикла NP.

При соответствующем подборе отношения радиусов деферента и эпицикла древним астрономам удалось свести неравномерное вращение отрезка (радиуса-вектора) ТР (это единственное наблюдаемое движение) к равномерным вращениям. При этом следует сказать, что в этой кинематической схеме никакой роли не играют сами расстояния TN и NP, а ишь их отношение, т. е. эксцентриситет эксцентра ε.

Это один из существенных пороков геоцентрической системы мира, так как такой подход к описанию движений небесных светил не стимулировал определение реальных расстояний между телами солнечной системы и, следовательно, ее реальных размеров.

И тем не менее построенные античными астрономами описательные, чисто кинематические теории движения видимых невооруженным глазом и посему известных с древних времен пяти планет Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера, Сатурна, к которым добавлялись Луна и Солнце, оказались достаточно очными для предсказания положений этих небесных светил на протяжении многих веков. Это интересное обстоятельство обусловлено прежде всего двумя характерными особенностями планетных движений:

1. Плоскости орбит перечисленных выше планет Луны почти совпадают с плоскостью воображаемой траектории движения Солнца вокруг Земли (иначе - с плоскостью земной орбиты вокруг Солнца), называемой плоскостью эклиптики.

Самый большой наклон^* к плоскости эклиптики имеет орбита Меркурия; он равен 7°. Другие планетные орбиты (для известных в то время планет) имеют значительно меньшие наклоны: у Венеры i = 3° 24', у Марса i = 1°51/, у Юпитера i = 1° 18', у Сатурна i = 2° 30'. Лунная орбита наклонена к плоскости эклиптики под углом 5°9'.

^* (Наклон - это двугранный угол между плоскостями орбит двух небесных тел. В астрономии чаще всего обозначается буквой i.)

Малые наклоны планетных орбит обуславливают малые изменения широт планет, и древним астрономам нужно было в основном объяснять изменения со временем только одной из координат - долготы планеты^*.

^* (Широта и долгота - две сферические координаты, определяющие положение светила на небесной сфере. Они аналогичны географической широте и географической долготе. Отличие состоит в том, что за основную координатную плоскость принята плоскость эклиптики (а не плоскость экватора).)

2. Согласно законам планетных движений, открытым позднее Кеплером, каждая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце. Как оказалось, сплюснутость эллиптических орбит невелика, и по этой причине даже в быстро изменяющейся координате (в долготе) замена истинных эллиптических планетных орбит движением по эксцентру приводит к очень малым ошибкам (они, однако, не ускользнули от проницательного ума Кеплера). Движение по эллипсу не является равномерным, т. е. за одно и то же время радиус-вектор планеты Р (переменное расстояние от Солнца до планеты Р) описывает разные углы с вершиной в Солнце S, однако площади эллиптических секторов равны между собой (рис. 15):

Рис. 15. Эллиптическое движение планеты Р вокруг Солнца S, находящегося в фокусе эллипса

Сплюснутость эллипса характеризуется его эксцентриситетом, который равен отношению расстояния SO от центра эллипса О до фокуса 5 к большой полуоси эллипса а = ОП, т. е.

Для планетных орбит эта величина мала, близка к нулю.

Зависимость между радиусом-вектором планеты r и ее истинной аномалией и дается формулой, справедливость которой доказывается в аналитической геометрии^*:

(1)

^* (Истинной аномалией v называется полярный угол текущей точки эллипса, отсчитываемый от большой оси эллипса (для планет -от направления на перигелий орбиты).)

Положение планеты в плоскости орбиты в любой момент времени t полностью определяется координатами r и v, для чего достаточно знать истинную аномалию v в этот момент t, так как по написанной формуле легко можно вычислить r.

Из теории эллиптического движения, полностью разработанной уже после Кеплера и Ньютона, следует, что явная зависимость истинной аномалии v от времени t выражается бесконечным тригонометрическим рядом, коэффициенты которого зависят от эксцентриситета e планетной орбиты. Если отбросить в этом разложении все слагаемые, содержащие третьи и более высокие степени эксцентриситета (e³, e⁴ и т. д.), то для v получим приближенную формулу

(2)

Величина М называется средней аномалией^* планеты и вычисляется по формуле

(3)

^* (Средняя аномалия представляет собой угол поворота радиуса-вектора планеты, вычисленный в предположении, что планета равномерно движется по окружности с центром в притягивающем теле, радиус которой равен большой полуоси эллиптической орбиты планеты (при неизменном периоде обращения).)

в которой М₀ - это значение средней аномалии в момент времени t₀, принятый за начальный, n - средняя угловая скорость поворота радиуса-вектора планеты (в небесной механике n называют средним суточным движением), получаемая из соотношения

Здесь Т - период обращения планеты вокруг Солнца, выраженный в сутках. Разность

называется уравнением центра. Из последней формулы видно, что в случае круговой орбиты планеты (эксцентриситет e = 0) x = 0 и истинная аномалия v совпадает со средней аномалией планеты М. Уравнение центра характеризует степень неравномерности движения по эллипсу по сравнению с равномерным круговым движением.

Если воспользоваться уравнением центра, то из (1) и (4) в результате математических преобразований можно получить явную зависимость радиуса-вектора планеты г от средней аномалии М (или, что то же самое, от времени t). С принятой выше точностью будем иметь

Таковы современные формулы, определяющие невозмущенное кеплеровское движение.

Что же дает теория эпицикла и деферента или эквивалентная ей теория эксцентра древних?

Если наблюдатель находится в центре эксцентра О, то относительно него планета Р будет двигаться равномерно по эксцентру, следовательно, ее угловая скорость будет постоянной,а угол ПОР будет представлять собой линейную функцию времени. Другими словами, ∠ПОР есть средняя аномалия для теории эксцентра. Можно показать, что она почти не отличается от средней аномалии эллиптического движения, и для наших рассуждений можно предположить, что они совпадают (поэтому мы сохраняем для этой средней аномалии то же самое обозначение М). Угол ПSP = v будет играть роль истинной аномалии планеты Р. Из рис. 16 видно, что величина х, входящая в уравнение центра, представляет угол OPS.

Рис. 16. Изображение основных углов в долготной теории планет

Итак, найдем теперь выражения для r и v, исходя из модели эксцентра, и сопоставим их с кеплеровскими значениями для r и и, полученными выше. Это позволит нам оценить точность теорий Птолемея и Коперника.

Заметим, что древние астрономы и Коперник не пользовались тригонометрическими соотношениями, записанными в виде формул, а давали им словесные описания, но мы здесь ради удобства будем использовать принятую в тригонометрии символику.

Из прямоугольных треугольников ΔKPS, ΔКРО, ΔPRN и ΔPRS имеем соотношения:

(6)

(7)

Из первых двух равенств легко получаем, что

или

(8)

где а - радиус эксцентра, ε - его эксцентриситет. Сохраняя в последней формуле величины ε и ε², с помощью обобщенной формулы бинома Ньютона^* найдем

(9)

^* (Справедлива следующая обобщенная формула бинома Ньютона:

где x мало, а α - любое вещественное число. В данном случае следует положить

)

Приведенные формулы дают также соотношение

(10)

Пользуясь приближенными формулами

справедливыми для достаточно малых величин x и ε, получим

или

(11)

Формулы (9) и (11) дают соответственно радиус-вектор и уравнение центра планеты с точностью до квадрата эксцентриситета эксцентра.

Полагая теперь эксцентриситет эксцентра равным удвоенному эксцентриситету эллипса (ε = 2e), для модели эксцентра находим

Сравнивая теперь формулы для истинной аномалии эллиптического кеплеровского движения (2) и теории эксцентра (12), получим, что ошибка δv в истинной аномалии (или ошибка в долготе δl)^*, выраженная в радианах, равна ±0,75 e²sin 2M и по модулю не превосходит δl_max = 0,75 e².

^* (Долгота планеты l отличается от ее истинной аномалии на некоторый постоянный угол, поэтому ошибки в l и v всегда одинаковы.)

Один из основоположников древней астрономии, Гиппарх, вычислил эксцентриситет эксцентра Солнца (или Земли) и нашел его равным ε = 0,03348. Эксцентриситет земной эллиптической орбиты на самом деле равен e = 0,016751. Но ε = 2e, и, следовательно, мы имеем прекрасное согласие между этими числами.

Учитывая значение эксцентриситета орбиты Земли, находим, что наибольшая ошибка в долготе Земли, если бы Земля наблюдалась с Солнца, или в долготе Солнца для земного наблюдателя не превышает 43" (это число получается, если δl_max = 0,75 e² преобразовать к градусной мере). Погрешность в долготе значительно меньше погрешности наблюдений древних, и этим объясняется длительное успешное применение теории эксцентра для предсказания видимого положения Солнца относительно звезд. Заметим, что если эксцентриситет орбиты Земли был бы равен эксцентриситету орбиты Марса e = 0,09334, то тогда погрешность в долготе была бы в 30 раз больше (около 21') и несостоятельность теории эксцентра была бы обнаружена намного раньше.

Но для вычисления расстояний теория эксцентра с самого начала оказывается непригодной. Если погрешность в истинной аномалии планеты, обусловленная заменой эллиптической орбиты эксцентром, является величиной, пропорциональной квадрату эксцентриситета, то погрешность в величине радиуса-вектора планеты пропорциональна эксцентриситету. Действительно, сравнивая формулы (5) и (13), получаем, что погрешность

и даже для малых эксцентриситетов величина δr значительна. Но в древних планетных теориях вопросы определения реальных расстояний не затрагивались, и поэтому существенный изъян теории эксцентра остался незамеченным.

Естественно, что большой погрешностью обременены также наименьшее и наибольшее расстояния от наблюдателя до эпицентра (расстояния от центра до перигелия П и до афелия A; см. рис. 16). Согласно теории кеплерова движения, эти расстояния равны

в то время как из теории эксцентра Гиппарха имеем

Птолемей существенным образом улучшил теорию эксцентра, по праву приписываемую Гиппарху, разработав красивый геометрический прием, получивший название "метода биссекции эксцентриситета". Смысл этого метода иллюстрируется на рис. 17. Птолемей предложил считать, что равномерным вращением обладает не радиус эксцентра PC, центр которого, точка С, находится на расстоянии ^аε/₂ от наблюдателя, а прямая ОР или, что то же самое, радиус ОР' окружности, называемой эквантом^*.

^* (Эквант - это круг равномерного движения (буквально - Уравновешивающий круг). Эквантом также называется и центр С - точка выравнивания. Эта точка делит на две равные части отрезок ОТ. Отсюда и название "биссекция эксцентриситета".)

Рис. 17. Изображение кинематической схемы - биссекции эксцентриситета, изобретенной Птолемеем

С помощью тригонометрических соотношений, аналогичных приводившимся выше, для схемы биссекции эксцентриситета можно получить приближенные формулы Птолемея: